Повний алгебричний многовид

В алгебричній геометрії абстрактний алгебричний многовид ${\displaystyle X}$ називається повним, якщо він є відокремлюваним (тобто діагональ є замкнутою підмножиною у ${\displaystyle X\times X}$), і якщо для будь-якого многовида ${\displaystyle Y}$ проєкція ${\displaystyle \pi _{Y}\colon X\times Y\to Y}$ із добутку алгебричних многовидів із топологією Зариського на другий множник є замкнутим морфізмом, тобто образ довільної замкнутої множини теж є замкнутою множиною. Повні многовиди є певною мірою аналогом в алгебричній геометрії компактних просторів.

Властивості

• Замкнутий підмноговид повного многовида теж є повним многовидом.
• Прямий добуток повних многовидів теж є повним многовидом.
• Алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли всі його незвідні компоненти є повними.
• Алгебричний многовид ${\displaystyle X}$ є повним тоді і тільки тоді коли для всіх ${\displaystyle m\geqslant 1}$ проєкція ${\displaystyle \pi _{\mathbb {A} ^{m}}\colon X\times \mathbb {A} ^{m}\to \mathbb {A} ^{m}}$ є замкнутим морфізмом.

Нехай спочатку ${\displaystyle Y}$ — афінний многовид, тобто замкнена підмножина деякого афінного простору ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$. Тоді будь-яка замкнена підмножина ${\displaystyle Z\subset X\times Y}$ також замкнена в ${\displaystyle X\times \mathbb {A} ^{m}}$, отже, ${\displaystyle \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)=\pi _{Y}}$ замкнена в ${\displaystyle Y}$.

Далі, для будь-якого многовиду ${\displaystyle Y}$ існує відкрите покриття ${\displaystyle Y=\bigcup _{i}Y_{i}}$ , де ${\displaystyle Y_{i}}$ — афінні многовиди. Якщо ${\displaystyle Z}$ — замкнена підмножина в ${\displaystyle X\times Y}$ , то ${\displaystyle Z=\bigcup _{i}Z_{i}}$ , де ${\displaystyle Z_{i}=Z\cap (X\times Y_{i})}$ , і ${\displaystyle \pi _{Y}(Z)\cap Y_{i}=\pi _{Y}(Z_{i})}$. З попереднього, кожна ${\displaystyle \pi _{Y}(Z_{i})}$ є замкнутою в ${\displaystyle Y_{i}}$, а тому pr ${\displaystyle \pi _{Y}(Z)}$ замкнута в ${\displaystyle Y}$ . Отже, відображення ${\displaystyle \pi _{Y}}$ замкнуте.

• Образ повного многовида ${\displaystyle X}$ при регулярному відображенні у відокремлюваний многовид ${\displaystyle Y}$є замкнутою множиною і повним многовидом. Зокрема, регулярна функція на повному зв'язаному многовиді є константою.

Оскільки замкнута підмножина повного многовида є повною достатньо довести, що образ ${\displaystyle f}$ є замкнутим в ${\displaystyle Y}$. Позначимо через ${\displaystyle \Gamma \subseteq X\times Y}$ графік відображення ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \Gamma =\{(p,f(p))|p\in X\}}$. Оскільки ${\displaystyle Y}$ є відокремлюваним многовидом то цей графік є замкнутою множиною. Тому ${\displaystyle f(X)=\pi _{Y}(\Gamma )}$ теж є замкнутою множиною.

Оскільки ${\displaystyle f(X)}$ є замкнутою множиною алгебричного многовида, то він теж є алгебричним многовидом. Тоді, ввівши морфізм ${\displaystyle f\times \operatorname {Id} :X\times Y\to f(X)\times Y}$, для довільної замкнутої множини ${\displaystyle Z\subset f(X)\times Y}$ множина ${\displaystyle (f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z}$ є замкнутою у ${\displaystyle X\times Y}$ і ${\displaystyle \pi _{Y}(f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z=\pi _{Y}Z}$, де кожна проєкція визначена на відповідній множині. Оскільки ${\displaystyle X}$ є повним многовидом то ${\displaystyle \pi _{Y}(f\times \operatorname {Id} )^{-1}Z}$, а тому і ${\displaystyle \pi _{Y}Z}$ є замкнутою множиною.

Нехай ${\displaystyle f:X\to K}$ — регулярна функція. Ототожнюючи ${\displaystyle K}$ з ${\displaystyle \mathbb {A} _{0}^{1}\subset \mathbb {P} ^{n}}$, можна розглядати ${\displaystyle f}$ як морфізм у ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Отже, ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ є замкнутою множиною, що не збігається з усім ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}}$, і тому ${\displaystyle \operatorname {Im} f=\{a_{1},a_{2},...,a_{k}\}}$ . Тоді ${\displaystyle X=\bigsqcup _{i=1}^{k}f^{-1}(a_{i})}$ (диз'юнктне об'єднання прообразів). Оскільки всі ${\displaystyle f^{-1}(a_{i})}$ замкнені, а ${\displaystyle X}$ зв'язаний, ${\displaystyle m=1}$ , тобто ${\displaystyle f}$ є константою.

• Якщо квазіпроективний многовид ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ є повним, то він є проективним.

Простий наслідок попередньої властивості, адже образ морфізму включення має бути замкнутою множиною.

• Над полем комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ алгебричний многовид є повним тоді і тільки тоді, коли він є компактним у класичній топології.
• Теорема Нагати: Будь-який відокремлюваний многовид є ізоморфним відкритому підмноговиду деякого повного многовида.
• Лема Чжоу. Повний многовид є образом деякого проективного многовида при сюр'єктивному біраціональному морфізмі.

Приклади

• Проєкція ${\displaystyle \pi _{\mathbb {A} ^{1}}\colon \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{1}}$ не є замкнутою. Образом гіперболи ${\displaystyle V(xy-1)}$ є множина ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\},}$ що не є замкнутою. Тому афінна пряма не є повною. Також це випливає з того, що афінна пряма є квазіпроективним многовидом але не є проективним.
• Натомість довільний проективний многовид завжди є повним.

Враховуючи властивості повних многовидів достатньо лише довести, що проєкція ${\displaystyle \pi _{\mathbb {A} ^{m}}:\mathbb {P} ^{m}\times \mathbb {A} ^{m}\to \mathbb {A} ^{m}}$ є замкнутою. Позначимо однорідні координати в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ через ${\displaystyle x=(x_{0}:x_{1}:\ldots :x_{n})}$ , а координати в ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ через ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},...,y_{m})}$. Нехай ${\displaystyle Z}$ — замкнута підмножина у ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {A} ^{m}}$. Вона є множиною спільних нулів множини многочленів ${\displaystyle S=\{F_{1},F_{2},\ldots ,F_{r}\}\subset K[X,Y]}$, які є однорідними по змінних ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Точка ${\displaystyle q\in \mathbb {A} ^{m}}$ належить до ${\displaystyle \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)}$ тоді й лише тоді, коли існує точка ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{n}}$ , така що ${\displaystyle (p,q)\in Z}$ , тобто ${\displaystyle F_{i}(p,q)=0}$ для всіх ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$ . Отже, ${\displaystyle q\not \in \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle PV(S_{q})=\varnothing }$ , де ${\displaystyle S_{q}=\{F_{1}(x,q),...,F_{r}(x,q)\}}$ . По проективній Теоремі Гільберта про нулі, це означає, що ${\displaystyle I_{+}^{k}\subseteq S_{q}}$ для деякого ${\displaystyle k}$ , тобто кожен одночлен степеня ${\displaystyle k}$ може бути представлений у вигляді ${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}H_{i}F_{i}(x,q)}$ для деяких однорідних многочленів ${\displaystyle H_{i}(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Позначимо через ${\displaystyle P_{k}}$ векторний простір всіх однорідних многочленів степеня ${\displaystyle k}$ з ${\displaystyle K[x]}$. Остання умова означає, що множина ${\displaystyle \{w_{j}F_{i}(x,q)|i=1,\ldots ,r\}}$ де ${\displaystyle w_{j}}$ пробігає всі одночлени степеня ${\displaystyle k-\operatorname {deg} F_{i}}$ породжує ${\displaystyle P_{k}}$ , або, що те саме, ${\displaystyle \operatorname {rk} M_{k}=\operatorname {dim} P_{k}}$ , де ${\displaystyle M_{k}}$ — матриця, рядки якої складаються з коефіцієнтів усіх можливих ${\displaystyle w_{j}F_{i}}$ (записаних у заданому порядку). Позначимо ${\displaystyle D=\operatorname {dim} P_{k}}$ . Оскільки завжди ${\displaystyle \operatorname {rk} M_{k}\leqslant \operatorname {dim} P_{k}}$ , остання умова означає, що принаймні один ${\displaystyle D\times D}$ мінор ${\displaystyle M_{k}}$ ненульовий. Коефіцієнти матриці ${\displaystyle M}$ — многочлени від ${\displaystyle q}$ , отже, множина ${\displaystyle U_{k}=\{q\in \mathbb {A} ^{m}|\operatorname {rk} M_{k}=\operatorname {dim} P_{k}\}}$, відкрита в ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$. Тому множина ${\displaystyle U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}}$ є також відкритою. Але ${\displaystyle U=\mathbb {A} ^{n}\setminus \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)}$ , отже, ${\displaystyle \pi _{\mathbb {A} ^{m}}(Z)}$ є замкнутою.

• Хоча більшість повних многовидів, що зустрічаються на практиці є проективними, існують і непроективні повні многовиди. Візьмемо спочатку ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ і роздуємо на ньому точку ${\displaystyle (0,0)}$. Після цього одержується лінійчата поверхня ${\displaystyle \varphi :Y\to \mathbb {P} ^{1}}$ з одним виродженим шаром над 0, який складається з двох компонент ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle G}$ ізоморфних ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$.

Тепер візьмемо ще один екземпляр такої поверхні ${\displaystyle \varphi ':Y'\to \mathbb {P} ^{1}}$ з виродженим шаром ${\displaystyle \varphi '^{-1}(0)=F'\cup G'}$ і склеїмо ${\displaystyle Y}$ з ${\displaystyle Y'}$, ототожнюючи криву ${\displaystyle F}$ з шаром ${\displaystyle \varphi '^{-1}(\infty )}$ і ${\displaystyle F'}$ з шаром ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\infty )}$.

Отримана поверхня ${\displaystyle X}$, складається з двох компонент ${\displaystyle Y}$ і ${\displaystyle Y'}$, кожна з яких є проективною, тому ${\displaystyle X}$ є повним многовидом. Однак ${\displaystyle X}$ не можна вкласти в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$.

В іншому випадку, візьмемо гіперплощину ${\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{n}}$, яка трансверсально перетинає ${\displaystyle F,G,F',G'}$ відповідно в ${\displaystyle \nu ,\mu \nu ',\mu '}$ точках. Так як шар ${\displaystyle \varphi ^{-1}(0)=F+G}$ «неперервно деформується» в шар ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\infty )=F'}$, ми отримуємо ${\displaystyle \nu +\mu =\nu '}$. Аналогічно ${\displaystyle \nu '+\mu '=\nu }$ звідки ${\displaystyle \mu +\mu '=0}$ . Це означає, що гіперплощина ${\displaystyle H}$ не перетинається з кривими ${\displaystyle G,G'}$, тобто вони лежать в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\setminus H}$. Але ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\setminus H\cong \mathbb {A} ^{n}}$ — афінний многовид і він не може містити повних кривих.

• Будь-яка гладка повна крива і гладка повна поверхня є проективними. В розмірності три існують гладкі повні непроективні многовиди.

Див. також

• Алгебричний многовид
• Компактний простір
• Морфізм алгебричних многовидів
• Алгебрична поверхня

Література

• Дрозд, Ю. А. (2004). Вступ до алгебричної геометрії (PDF). Львів: ВНТЛ–Класика. ISBN . (укр.)
• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, , 6. Complete Varieties.
• Mumford, David (1999), The red book of varieties and schemes, Lecture notes in mathematics, т. 1358 (вид. Second, expanded), Springer-Verlag, doi:10.1007/b62130, ISBN