Поверхня Еннепера

У диференціальній геометрії та алгебраїчній геометрії поверхня Еннепера є самоперетинна поверхня, що задається параметрично:$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$Її описав Альфред Еннепер у 1864 році у досліджуючи теорією мінімальних поверхонь.

Частина поверхні Еннепера

Параметризація Вейєрштрасса–Еннепера дуже проста, ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z}$, і дійснозначну параметричну форму можна легко вивести з неї. Поверхня сполучена сама з собою.

Методи імпліцизації алгебраїчної геометрії можна використати, щоб з’ясувати, що точки на поверхні Еннепера, наведені вище, задовольняють поліноміальне рівняння 9 степеня$${\displaystyle {\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}}$$Подвійно, дотична площина в точці із заданими параметрами є ${\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }$ де$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$Його коефіцієнти задовольняють неявне рівняння полінома 6 степеня$${\displaystyle {\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}}$$Кривизна Якобіана, Гауса та середня кривина:$${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}}$$Загальна кривина становить ${\displaystyle -4\pi }$ . Оссерман довів, що повна мінімальна поверхня в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ з повним викривленням ${\displaystyle -4\pi }$ є або катеноїдом, або поверхнею Еннепера.

Інша властивість полягає в тому, що всі бікубічні мінімальні поверхні Безьє є частинами поверхні з точністю до афінного перетворення.

Поврхню можна узагальнити на обертальні симетрії вищого порядку за допомогою параметризації Вейєрштрасса–Еннепера ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$ для цілого k>1. Також можна узагальнити поверхню на вищі виміри; відомо, що еннеперподібні поверхні існують в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для n до 7.

Джерела

1. J.C.C. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
2. Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3
3. Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. .
4. Weisstein, Eric W. Enneper's Minimal Surface(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
5. R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).
6. Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81
7. Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569

Ланки

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), surface Enneper surface, Математична енциклопедія, , ISBN