Парні і непарні функції

Парні функції і непарні функції — математичні функції, які задовольняють певним відношенням симетрії. Ця властивість функцій важлива в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є. Названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.

Парні функції

Приклад парної функції: f(x) = x²

Функція ${\displaystyle f:\mathrm {X} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ називається парною, якщо для будь-якого ${\displaystyle x}$ з області визначення функції виконується рівність${\displaystyle f(-x)=f(x)}$.

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Приклади парних функцій:

• ${\displaystyle y=|x|}$
• ${\displaystyle y=x^{2}}$
• ${\displaystyle y=\cos x}$

Алгоритм дослідження функції ${\displaystyle y=f(x)}$ на парність:

• Знайти для функції ${\displaystyle y=f(x)}$ область визначення функції ${\displaystyle D(y)}$ та встановити чи симетрична ${\displaystyle D(y)}$ відносно нуля.
• Якщо область визначення функції ${\displaystyle D(y)}$ симетрична відносно нуля, тоді:
  • скласти вираз ${\displaystyle f(-x)}$;
  • порівняти ${\displaystyle f(-x)}$ та${\displaystyle f(x)}$ , якщо функція ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ для будь-якого значення ${\displaystyle x}$ з області визначення функції ${\displaystyle D(y)}$, то функція ${\displaystyle y=f(x)}$ — парна.

Приклад

Дослідити на парність функцію ${\displaystyle y=4x^{6}-3x^{4}+5}$

Розв'язання: ${\displaystyle f(-x)=4(-x)^{6}-3(-x)^{4}+5=4(x)^{6}-3(x)^{4}+5=f(x)}$, отже функція парна.

Якщо точка ${\displaystyle M(a;b)}$ належить графіку парної функції ${\displaystyle f}$, то точка ${\displaystyle M(-a;b)}$ також належить її графіку.

Непарні функції

Приклад непарної функції: f(x) = x³.

Функція ${\displaystyle f:\mathrm {X} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ називається непарною, якщо для будь-якого ${\displaystyle x}$ з області визначення функції виконується рівність${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$.

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Приклади непарних функцій

• ${\displaystyle y=-x}$
• ${\displaystyle y=x^{3}}$
• ${\displaystyle y=\sin x}$

Алгоритм дослідження функції ${\displaystyle y=f(x)}$ на непарність:

• Скласти вираз ${\displaystyle f(-x)}$, для цього у функції ${\displaystyle y=f(x)}$ замінити аргумент ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle -x}$;
• Порівняти ${\displaystyle f(-x)}$ і ${\displaystyle -f(x)}$, якщо ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$, то функція — непарна.

Приклад

З'ясувати, чи функція ${\displaystyle f(x)=3x^{5}-8x^{3}}$ — парна, непарна або загального виду.

${\displaystyle f(-x)=3(-x)^{5}-8(-x)^{3}=-3x^{5}+8x^{3}=-(3x^{5}-8x^{3})=-f(x)}$, тобто, функція непарна.

Якщо точка ${\displaystyle M(a;b)}$ належить графіку непарної функції ${\displaystyle f}$, то точка ${\displaystyle M(-a;-b)}$ також належить її графіку.

Основні властивості

• Алгебраїчна сума двох парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією.
• Добуток двох парних або двох непарних функцій парною функцією.
• Добуток парної та непарної функцій є непарною функцією.
• Як для парної, так і для непарної функцій справедливо ${\displaystyle \left|f(x)\right|=\left|f(-x)\right|}$.
• Розклад в ряд Маклорена парної функції містить лише члени з парними степенями.
• Розклад в ряд Маклорена непарної функції містить лише члени з непарними степенями.
• Похідна парної функції — непарна; похідна непарної функції — парна.

Декомпозиція функцій

Довільну функцію ${\displaystyle f(x)}$ одного змінного, визначену в симетричній відносно початку координат області (разом із ${\displaystyle x}$ до області визначення належить і ${\displaystyle -x}$), можна представити у вигляді суми парної та непарної функцій:

${\displaystyle f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$

Тут перший доданок є парною, а другий — непарною функцією.

Див. також

• Парна функція
• Непарна функція

Примітки

1. Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Х.: Гімназія. ISBN .
2. Гельфанд И.М.; Глаголева Е.Г.; Шноль Э.Э. (1968). Функции и графики (основные приёмы). Математика. Библиотека физико-математической школы (російською) . М.: Наука.
3. . miyklas.com.ua. Архів оригіналу за 10 листопада 2021. Процитовано 11 листопада 2021.
4. Мерзляк, А.Г.; Полонський, В.Б.; Якір, М.С. (2017). Алгебра 9 клас. Гімназія.
5. Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — 320 с.(рос.)
6. W., Weisstein, Eric. . Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021.
7. W., Weisstein, Eric. . Архів оригіналу за 13 листопада 2021. Процитовано 13 листопада 2021.

Джерела

• Мерзляк, А.Г.; Номіровський, Д.А.; Полонський, В.Б; Якір, М.С. (2018). Алгебра профільний рівень 10 клас. Гімназія. ISBN .
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)