Опуклий і вгнутий многокутники

Опуклим многокутником називається многокутник, який обмежує опуклу множину. Тобто, для будь-яких двох точок многокутника відрізок, що їх з'єднує повністю належить многокутнику.

П'ятикутник — опуклий многокутник

Якщо многокутник не опуклий, то кажуть, що він увігнутий.

Визначення

Існує багато еквівалентних визначень опуклого многокутника:

• многокутник буде опуклим, якщо відносно будь-якої прямої, що проходить через сторону многокутника, многокутник повністю буде розташований у півплощині, утвореній цією прямою (тобто по один бік від прямої).
• многокутник без самоперетинів такий, що кожний внутрішній кут не перевищує ;
• многокутник такий, що всі його діагоналі повністю лежать всередині нього;
• многокутник є опукла оболонка кінцевого числа точок на площині;
• многокутник є перетином кінцевого числа замкнутих півплощин.

Слід, зауважити, що опуклий многокутник не обов'язково обмежена множина. Наприклад, півплощина буде необмеженим опуклим многокутником.

Приклади

• Будь-який невироджений трикутник є опуклим.
• Квадрат та прямокутник є опуклими.
• Якщо, при перетині опуклих многокутників отримуємо многокутник, то він буде опуклим.

Площа опуклого многокутника

• Нехай ${\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n}$ послідовність координат сусідніх одна одній вершин ${\displaystyle n}$-кутника без самоперетинів. Тоді його площа обчислюється за формулою:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}$, де ${\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}$.

Узагальнення

• Опукла множина
• Зірчастий многокутник
• Аналогом опуклого многокутника в тривимірному евклідовому просторі є опуклий багатогранник.

Див. також

• Опукла множина
• Опукла оболонка
• Симплекс

Посилання

• Weisstein, Eric W. Опуклий многокутник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.