Нерозкладна матриця

Нерозкладна матриця — невід'ємна матриця яку перестановкою рядків і стовпців не можна привести до блочного трикутного вигляду. Нерозкладні матриці є деяким узагальненням додатних матриць, для яких зберігаються властивості теореми Перрона — Фробеніуса.

Означення

Квадратна матриця A розмірності n з невід'ємними елементами називається розкладною якщо вона задовольняє такі еквівалентні умови:

• Існує така підмножина ${\displaystyle S\subset \{1,2,\ldots ,n\},}$ що виконуються рівності: ${\displaystyle a_{ij}=0\quad \forall i\in S,j\notin S}$
• Деякою перестановкою рядків і стовпців матрицю можна привести до вигляду:

${\displaystyle PAP^{-1}={\begin{bmatrix}B&0\\C&D\end{bmatrix}}}$

де B і D — деякі квадратні матриці, 0 — нуль-матриця, P — матриця перестановки.

Якщо такої множини індексів S не існує (і матрицю не можна привести до вказаного виду), то матриця називається нерозкладною.

Іншими еквівалентними означеннями нерозкладних матриць є:

• ${\displaystyle (I+A)^{n-1}>0}$

де I — одинична матриця.

• Для будь-яких цілих чисел (i, j) таких що ${\displaystyle 1\leqslant i,j\leqslant n}$ існує число ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n,}$ що виконується: ${\displaystyle (A^{k})_{ij}>0}$
• Нехай введено орієнтований граф вершини якого відповідають рядкам і стовпцям матриці і від вершини i до вершини j дуга йде тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle a_{ij}>0.}$ Тоді матриця A є нерозкладною тоді і тільки тоді, коли відповідний граф є сильно зв'язаним.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)