Для задач фізичної природи висуваються такі вимоги:
- Існування розв'язку. Задача повинна мати розв'язок (задача яка має розв'язок не представляє інтересу як математична модель).
- Єдиність розв'язку. Не повинно існувати декілька розв'язків задачі.
- Неперервна залежність від вхідних даних. Розв'язок задачі повинен мало змінюватись при малій зміні вхідних даних.
Розглянемо математичну модель у вигляді наступної граничної задачі:
Формулювання диференціального рівняння і граничних умов ще недостатньо щоб гранична задача була сформульована однозначно. Необхідно додатково вказати які аналітичні властивості вимагаються від розв'язку, в якому розумінні задовольняється рівняння і граничні умови.
При аналізі граничної задачі виникають наступні питання:
- Чи може існувати розв'язок з відповідними властивостями?
- Які аналітичні властивості треба вимагати від вхідних даних , коефіцієнтів диференціального оператора і граничних умов?
- Які умови треба накладати на гладкість границі S?
- Чи достатньо сформульованих умов для однозначного знаходження розв'язку?
- Чи можна гарантувати що малі зміни приведуть до малих змін розв'язку?
Перелічені проблеми зручно розв'язувати звівши граничну задачу до операторного рівняння і застосувавши загальні методи теорії операторів та операторних рівнянь.
В першу чергу виберемо два банахових простора E та F. Шуканий розв'язок розглядається як елемент E, а сукупність правих частин - як елемент F. Визначимо оператор A як відображення , тоді гранична задача зводиться до операторного рівняння
Позначимо R(A) та D(A) - область значень та область визначення оператора A. Коректність операторного рівняння визначають для пари просторів E та F.
В термінах операторного рівняння існування розв'язку означає що область значень оператора R(A) є непорожня підмножина F.
Єдиність розв'язку означає, що відображення А ін'єктивне і на R(A) визначений обернений оператор .
Вимога неперервної залежності розв'язку від правої частини або зводиться до неперервності або обмеженості оператора .
Приклад некоректної постановки задачі Коші: Приклад Адамара.
Якщо задача поставлена некоректно, то її майже неможливо розв'язати чисельними методами, оскільки якщо початкові умови або праві частини задані з похибкою (яка виникає навіть при округленні), то чисельний розв'язок може значно відрізнятись від точного. Якщо задача поставлена коректно, то є шанс її розв'язати використовуючи . Якщо задача поставлена некоректно її треба переформулювати. Зазвичай це робиться з використанням методів регуляризації, а регуляризація Тихонова - найбільш розповсюджений метод для лінійних некоректно поставлених задач.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dlya zadach fizichnoyi prirodi visuvayutsya taki vimogi Isnuvannya rozv yazku Zadacha povinna mati rozv yazok zadacha yaka maye rozv yazok ne predstavlyaye interesu yak matematichna model Yedinist rozv yazku Ne povinno isnuvati dekilka rozv yazkiv zadachi Neperervna zalezhnist vid vhidnih danih Rozv yazok zadachi povinen malo zminyuvatis pri malij zmini vhidnih danih Rozglyanemo matematichnu model u viglyadi nastupnoyi granichnoyi zadachi L u f x W l u f x S W displaystyle begin cases Lu f amp x in Omega lu varphi amp x in S partial Omega end cases Formulyuvannya diferencialnogo rivnyannya i granichnih umov she nedostatno shob granichna zadacha bula sformulovana odnoznachno Neobhidno dodatkovo vkazati yaki analitichni vlastivosti vimagayutsya vid rozv yazku v yakomu rozuminni zadovolnyayetsya rivnyannya i granichni umovi Pri analizi granichnoyi zadachi vinikayut nastupni pitannya Chi mozhe isnuvati rozv yazok z vidpovidnimi vlastivostyami Yaki analitichni vlastivosti treba vimagati vid vhidnih danih f f displaystyle f varphi koeficiyentiv diferencialnogo operatora i granichnih umov Yaki umovi treba nakladati na gladkist granici S Chi dostatno sformulovanih umov dlya odnoznachnogo znahodzhennya rozv yazku Chi mozhna garantuvati sho mali zmini f f displaystyle f varphi privedut do malih zmin rozv yazku Perelicheni problemi zruchno rozv yazuvati zvivshi granichnu zadachu do operatornogo rivnyannya i zastosuvavshi zagalni metodi teoriyi operatoriv ta operatornih rivnyan V pershu chergu viberemo dva banahovih prostora E ta F Shukanij rozv yazok rozglyadayetsya yak element E a sukupnist pravih chastin yak element F Viznachimo operator A yak vidobrazhennya u L u f displaystyle u rightarrow left Lu varphi right todi granichna zadacha zvoditsya do operatornogo rivnyannya A u g g f f displaystyle Au g g left f varphi right Poznachimo R A ta D A oblast znachen ta oblast viznachennya operatora A Korektnist operatornogo rivnyannya viznachayut dlya pari prostoriv E ta F V terminah operatornogo rivnyannya isnuvannya rozv yazku oznachaye sho oblast znachen operatora R A ye neporozhnya pidmnozhina F Yedinist rozv yazku oznachaye sho vidobrazhennya A in yektivne i na R A viznachenij obernenij operator A 1 displaystyle A 1 Vimoga neperervnoyi zalezhnosti rozv yazku vid pravoyi chastini abo zvoditsya do neperervnosti abo obmezhenosti operatora A 1 displaystyle A 1 Priklad nekorektnoyi postanovki zadachi Koshi Priklad Adamara Yaksho zadacha postavlena nekorektno to yiyi majzhe nemozhlivo rozv yazati chiselnimi metodami oskilki yaksho pochatkovi umovi abo pravi chastini zadani z pohibkoyu yaka vinikaye navit pri okruglenni to chiselnij rozv yazok mozhe znachno vidriznyatis vid tochnogo Yaksho zadacha postavlena korektno to ye shans yiyi rozv yazati vikoristovuyuchi Yaksho zadacha postavlena nekorektno yiyi treba pereformulyuvati Zazvichaj ce robitsya z vikoristannyam metodiv regulyarizaciyi a regulyarizaciya Tihonova najbilsh rozpovsyudzhenij metod dlya linijnih nekorektno postavlenih zadach