Конфо́рмно-евклі́дова моде́ль або моде́ль Пуанкаре́ — модель простору Лобачевського. Існують різновиди моделі — в колі (стереографічна проєкція) і на півплощині для планіметрії Лобачевського, а також у кулі і в півпросторі — для стереометрії Лобачевського, відповідно.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlk0TDFWdWFXWnZjbTFmZEdsc2FXNW5YemN6TFhReUxuQnVaeTh5TURCd2VDMVZibWxtYjNKdFgzUnBiR2x1WjE4M015MTBNaTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Конформно-евклідова модель має таку назву тому, що гіперболічні кути дорівнюють відповідним кутам на евклідовій площині між відповідними півдотичними. Для проєктивної моделі, гіперболічні кути дорівнюють евклідовим кутам лише у виключних випадках, наприклад, така рівність є у початку координат проєктивної моделі.
Історія
Цю модель, як і проективну модель і модель псевдосфери, запропонував Еудженіо Бельтрамі. Метрику в конформно-евклідовій моделі використано також у знаменитій лекції Рімана «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», але зв'язок з геометрією Лобачевського виявив саме Бельтрамі. Згодом Анрі Пуанкаре виявив зв'язки цієї моделі з задачами теорії функцій комплексної змінної, що дало одне з перших серйозних застосувань геометрії Лобачевського.
Моделі в крузі і в кулі
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd3TDFCdmFXNWpZWEpsWDIxdlpHVnNMbk4yWnk4eU5UQndlQzFRYjJsdVkyRnlaVjl0YjJSbGJDNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
За площину Лобачевського приймається внутрішність круга (див. мал.) в евклідовому просторі; межа даного круга (коло) називається «абсолютом». Роль геодезичних ліній виконують дуги кіл , перпендикулярних до абсолюту, і його діаметри; роль рухів — перетворення, одержувані комбінаціями інверсій відносно кіл, дуги яких служать прямими.
Метрика площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі в одиничному крузі є:
де і
— вісь абсцис і ординат, відповідно.
Аналогічно, для конформно-евклідової моделі в кулі роль абсолюту виконує обмежувальна сфера в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевского є внутрішність кулі.
Відстані
У комплексних координатах на одиничному колі відстані можна обчислити за допомогою такої формули:
Відстань можна виразити через подвійне відношення. Якщо на дузі ,
точки розташовано в такому порядку:
,
,
,
то відстань між точками
і
, у геометрії Лобачевського дорівнює
.
Моделі на півплощині й у півпросторі
В моделі Пуанкаре в півплощині за площину Лобачевського приймається верхня півплощина. Пряма, що обмежує півплощину (тобто вісь абсцис), називається «абсолютом». Роль прямих виконують півкола з центрами на абсолюті, що містяться в цій півплощині, і перпендикулярні до абсолюту промені, що починаються на ньому (тобто вертикальні промені). Роль рухів — перетворення, одержувані композицією скінченного числа інверсій із центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні до абсолюту.
Метрика площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі у верхній півплощині має вигляд:
, де
і
— прямокутні координати, відповідно паралельно і перпендикулярно до абсолюту.
Відповідно, в конформно-евклідовій моделі в півпросторі роль абсолюту виконує площина в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевського є півпростір, що лежить на цій площині.
Див. також
- Теорема Піка — інваріантна форма леми Шварца, що використовує відстані в конформно-евклідовій моделі.
- Ідеальний трикутник
Примітка
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 20 березня 2022. Процитовано 1 травня 2021.
- Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
- Загалом можна не виокремлювати діаметри, оскільки, всі вказані об'єкти є узагальненими прямими, які можна відобразити одну на іншу за допомогою руху
Література
- [недоступне посилання — історія]
- Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». — Журнал «Квант». — 1984 год. — номер 6. [ 18 липня 2020 у Wayback Machine.]