Модель Друде — класична модель електропровідності твердих тіл: металів і напівпровідників. Застосовується також для пояснення магнітопровідності, оптичних властивостей матеріалів тощо. Модель розроблена у 1900 році .
Математичне формулювання
Модель Друде виходить із припущення, що носіями струму в провідниках є заряджені вільні частинки (електрони у випадку металів), які рухаються в середовищі із певною в'язкістю, по якому рівномірно розмазаний протилежний заряд (модель желе). Рух електронів у зовнішньому електричному полі з напруженістю можна описати рівняннями:
де: m — маса електрона, — його радіус-вектор,
— в'язкість середовища, в якому рухаються електрони, e — заряд електрона, взятий із знаком мінус, оскільки електрони негативно заряджені частки.
У випадку постійного електричного поля встановлюється середня швидкість руху електронів:
.
Густина струму в такому випадку визначається формулою:
,
де: n — густина вільних електронів.
Час релаксації
Величина має розмірність часу і називається часом релаксації. З фізичної точки зору — це середній час вільного прискорення електрона в електричному полі, проміжок між зіткненнями з іншими електронами чи з атомами кристалічної ґратки.
Виражаючи густину струму через час релаксації, можна записати:
.
Довжина вільного пробігу
За проміжок часу між зіткненнями електрон долає віддаль:
,
яку називають довжиною вільного пробігу.
Провідність
Провідність в моделі Друде записується, як:
,
і, відповідно, рухливість:
.
Аналогічним чином можна провести розгляд у разі, коли до металу прикладене не тільки електричне поле, а й магнітне поле, визначаючи магнетоопір і поперечну магнітопровідність.
Низькочастотна провідність
Якщо прикладене електричне поле змінне, але його частота менша за , то залежну від частоти провідність можна оцінити за формулою:
,
де: — циклічна частота.
Оптичні властивості металів
Якщо частота змінного електричного поля більша за обернений час релаксації, то нехтувати другою похідною у рівняння руху електронів уже не можна. В такому випадку, вважаючи, що зовнішне електричне поле міняється як , і шукаючи розв'язок рівняння руху в аналогічному вигляді, знаходимо:
Поляризація одиниці об'єму металу дорівнює:
,
а вектор електричної індукції:
,
тому діелектрична проникність металу на частоті визначається формулою:
,
де — плазмова частота.
При частотах, менших за плазмову частоту, дійсна частина діелектричної проникності металів від'ємна, і, як наслідок, у цьому діапазоні метали не пропускають світло, що є причиною металевого блиску і дозволяє використовувати метали для виготовлення дзеркал.
Удосконалення моделі
При застосуванні моделі Друде для металів виявилося, що для пояснення реальних провідностей, довжина вільного пробігу електронів повинна бути менша, ніж віддаль між атомами. Проте, із розвитком квантової теорії твердого тіла, стало зрозумілим, що внесок у електричний струм в металах дають не всі електрони, а лише ті, енергія яких близька до рівня Фермі. Інші електрони не дають внеску, тому що їхнє розсіяння заборонене принципом Паулі. Таким чином, зіткнення між електронами в металах набагато рідші.
Модель Друде з успіхом застосовується також до напівпровідників, в яких до електричного струму дають внесок не лише електрони зони провідності, а також і дірки.
Основні рівняння моделі Друде виводяться із загальніших рівнянь Больцмана. Рівняння Больцмана також відкривають шлях для розрахунку часу релаксації, виходячи із мікроскопічного розгляду процесів розсіювання електронів.
Примітки
- Zur Elektronentheorie der Metalle(нім.)
- Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в Міжнародну систему величин (ISQ) дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему ISQ.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Model Drude klasichna model elektroprovidnosti tverdih til metaliv i napivprovidnikiv Zastosovuyetsya takozh dlya poyasnennya magnitoprovidnosti optichnih vlastivostej materialiv tosho Model rozroblena u 1900 roci Matematichne formulyuvannyaModel Drude vihodit iz pripushennya sho nosiyami strumu v providnikah ye zaryadzheni vilni chastinki elektroni u vipadku metaliv yaki ruhayutsya v seredovishi iz pevnoyu v yazkistyu po yakomu rivnomirno rozmazanij protilezhnij zaryad model zhele Ruh elektroniv u zovnishnomu elektrichnomu poli z napruzhenistyu E displaystyle mathbf E mozhna opisati rivnyannyami m r g r e E displaystyle m ddot mathbf r gamma dot mathbf r e mathbf E de m masa elektrona r displaystyle mathbf r jogo radius vektor g displaystyle gamma v yazkist seredovisha v yakomu ruhayutsya elektroni e zaryad elektrona vzyatij iz znakom minus oskilki elektroni negativno zaryadzheni chastki U vipadku postijnogo elektrichnogo polya vstanovlyuyetsya serednya shvidkist ruhu elektroniv v e g E displaystyle langle mathbf v rangle frac e gamma mathbf E Gustina strumu v takomu vipadku viznachayetsya formuloyu j e n v n e 2 g E displaystyle mathbf j en langle mathbf v rangle n frac e 2 gamma mathbf E de n gustina vilnih elektroniv Chas relaksaciyi Velichina t m g displaystyle tau m gamma maye rozmirnist chasu i nazivayetsya chasom relaksaciyi Z fizichnoyi tochki zoru ce serednij chas vilnogo priskorennya elektrona v elektrichnomu poli promizhok mizh zitknennyami z inshimi elektronami chi z atomami kristalichnoyi gratki Virazhayuchi gustinu strumu cherez chas relaksaciyi mozhna zapisati j n e 2 t m E displaystyle mathbf j n frac e 2 tau m mathbf E Dovzhina vilnogo probigu Za promizhok chasu mizh zitknennyami elektron dolaye viddal l v t displaystyle l langle v rangle tau yaku nazivayut dovzhinoyu vilnogo probigu Providnist Providnist v modeli Drude zapisuyetsya yak s 0 n e 2 t m displaystyle sigma 0 frac ne 2 tau m i vidpovidno ruhlivist m e 2 t m displaystyle mu frac e 2 tau m Analogichnim chinom mozhna provesti rozglyad u razi koli do metalu prikladene ne tilki elektrichne pole a j magnitne pole viznachayuchi magnetoopir i poperechnu magnitoprovidnist Nizkochastotna providnistYaksho prikladene elektrichne pole zminne ale jogo chastota mensha za 1 t displaystyle 1 tau to zalezhnu vid chastoti providnist mozhna ociniti za formuloyu s s 0 1 i w t displaystyle sigma frac sigma 0 1 i omega tau de w displaystyle omega ciklichna chastota Optichni vlastivosti metalivYaksho chastota zminnogo elektrichnogo polya bilsha za obernenij chas relaksaciyi to nehtuvati drugoyu pohidnoyu u rivnyannya ruhu elektroniv uzhe ne mozhna V takomu vipadku vvazhayuchi sho zovnishne elektrichne pole minyayetsya yak E E 0 e i w t displaystyle mathbf E mathbf E 0 e i omega t i shukayuchi rozv yazok rivnyannya ruhu v analogichnomu viglyadi znahodimo m w 2 i g w r e E displaystyle m omega 2 i gamma omega mathbf r e mathbf E Polyarizaciya odinici ob yemu metalu dorivnyuye P e n r displaystyle mathbf P en langle mathbf r rangle a vektor elektrichnoyi indukciyi D E 4 p P displaystyle mathbf D mathbf E 4 pi mathbf P tomu dielektrichna proniknist metalu na chastoti w displaystyle omega viznachayetsya formuloyu e 1 w p 2 w w i t displaystyle varepsilon 1 frac omega p 2 omega omega i tau de w p 4 p e 2 N m displaystyle omega p sqrt 4 pi e 2 N m plazmova chastota Pri chastotah menshih za plazmovu chastotu dijsna chastina dielektrichnoyi proniknosti metaliv vid yemna i yak naslidok u comu diapazoni metali ne propuskayut svitlo sho ye prichinoyu metalevogo blisku i dozvolyaye vikoristovuvati metali dlya vigotovlennya dzerkal Udoskonalennya modeliPri zastosuvanni modeli Drude dlya metaliv viyavilosya sho dlya poyasnennya realnih providnostej dovzhina vilnogo probigu elektroniv povinna buti mensha nizh viddal mizh atomami Prote iz rozvitkom kvantovoyi teoriyi tverdogo tila stalo zrozumilim sho vnesok u elektrichnij strum v metalah dayut ne vsi elektroni a lishe ti energiya yakih blizka do rivnya Fermi Inshi elektroni ne dayut vnesku tomu sho yihnye rozsiyannya zaboronene principom Pauli Takim chinom zitknennya mizh elektronami v metalah nabagato ridshi Model Drude z uspihom zastosovuyetsya takozh do napivprovidnikiv v yakih do elektrichnogo strumu dayut vnesok ne lishe elektroni zoni providnosti a takozh i dirki Osnovni rivnyannya modeli Drude vivodyatsya iz zagalnishih rivnyan Bolcmana Rivnyannya Bolcmana takozh vidkrivayut shlyah dlya rozrahunku chasu relaksaciyi vihodyachi iz mikroskopichnogo rozglyadu procesiv rozsiyuvannya elektroniv PrimitkiZur Elektronentheorie der Metalle nim Formuli na cij storinci zapisani v sistemi SGS SGSG Dlya peretvorennya v Mizhnarodnu sistemu velichin ISQ divis Pravila perevodu formul iz sistemi SGS v sistemu ISQ