Метод матеріальної точки (ММТ, англ. material point method, MPM) — це числовий метод, який використовується для моделювання поведінки твердих тіл, рідин, газів та будь-якого іншого суцільного матеріалу. Зокрема, це стійкий метод дискретизації простору для моделювання багатофазових взаємодій (тверде тіло-рідина-газ). У ММТ неперервне тіло описується кількома невеликими елементами Лагранжа, які називаються «матеріальними точками». Ці матеріальні точки оточені фоновою сіткою, яка використовується для обчислення різних характеристик, зокрема, таких як градієнт деформації. На відміну від інших методів на основі сітки, таких як метод скінченних елементів, метод скінченних об'ємів або скінченних різниць, ММТ не є методом на основі сітки, а натомість класифікується як безсітковий або неперервний метод на основі частинок, прикладами якого є гідродинаміка згладжених частинок та перидинаміка. Попри наявність фонової сітки, ММТ не стикається з недоліками методів на основі сітки (висока деформація заплутування, похибки адвекції тощо), що робить його перспективним і потужним інструментом у обчислювальній механіці.
ММТ був запропонований на початку 1990-х років професорами Деборою Л. Сульскі, Чженем Ченом та Говардом Л. Шрайером із університету Нью-Мексико, як розширення подібного методу, відомого як FLIP (подальше розширення [en], англ. Particle-in-cell, PIC) для обчислювальної динаміки твердого тіла. Після цієї початкової розробки ММТ вже отримав подальший розвиток як у національних лабораторіях, як в університеті Нью-Мексико, так і в університеті штату Орегон, університеті Юти та інших закладах США та світу. Останнім часом кількість інституцій, які досліджують ММТ, зростає завдяки популярності та обізнаності з різних джерел, зокрема, таким як використання ММТ у діснеївському фільмі Крижане серце.
Алгоритм
Моделювання ММТ складається з наступних етапів:
(До фази інтеграції часу)
- Ініціалізація сітки та матеріальних точок.
- Геометрія розбивається на сукупність матеріальних точок, кожна зі своїми властивостями матеріалу та початковими умовами (швидкість, напруження, температура тощо).
- Сітка, яка використовується лише для надання місця для розрахунків градієнта, зазвичай створюється для покриття достатньо великої області, щоб заповнити очікуваний обсяг обчислювальної області, необхідної для моделювання.
(Під час фази інтеграції часу — явне формулювання)
- Величини матеріальних точок екстраполюються на вузли сітки.
- Маса матеріальної точки (), імпульс (), напруження (), і зовнішні сили () екстраполюються на вузли в кутах комірок, всередині яких знаходяться матеріальні точки. Найчастіше це робиться за допомогою стандартних функцій лінійної форми (), які так само використовуються в МСЕ.
- Сітка використовує значення матеріальної точки для створення мас (), швидкості (), внутрішніх та зовнішніх векторів сил (, ) для вузлів:
- На сітці розв'язуються рівняння руху.
- 2-й закон Ньютона розв'язується, щоб отримати прискорення у вузлі ()
- У вузлах обчислюються нові швидкості ().
- Похідні терміни екстраполюються назад до матеріальних точок
- Прискорення матеріальної точки (), градієнт деформації () (або швидкість деформації () залежно від того, яка теорія деформацій використовується) екстраполюється з навколишніх вузлів за допомогою функцій, аналогічним тим, що раніше були застосовані до ().
- Змінні в матеріальних точках: положення, швидкості, деформації, напруження тощо, потім оновлюються цими швидкостями залежно від вибраної схеми інтегрування та відповідної моделі побудови.
- Скидання сітки.
- Тепер, коли матеріальні точки повністю оновлено на наступному часовому кроці, сітка скидається, щоб дозволити почати наступний часовий крок.
Історія PIC та ММТ
PIC спочатку був задуманий для розв'язання задач динаміки рідини і розроблений [en] в Лос-Аламосській національній лабораторії в 1957 році. Одним із перших кодів PIC була програма Fluid-Implicit Particle (FLIP), яка була створена Брекбілом у 1986 році і відтоді постійно розвивалася. До 1990-х років метод PIC використовувався в основному в гідродинаміці.
Мотивовані потребою кращого моделювання проблем проникнення в твердій динаміці, Сулскі, Чен і Шрайер почали в 1993 році переформулювати PIC і розробляти ММТ при фінансовій підтримці Sandia National Laboratories. Початковий ММТ був потім додатково розширений Барденхагеном та іншими, щоб додати у модель фрикційний контакт, що дозволило моделювати зернистий потік, і за Нейрном включити явні тріщини та поширення тріщини (відоме як CRAMP).
Нещодавно реалізація ММТ, заснована на мікрополярному континуумі Коссера, була використана для моделювання зернистого потоку з високим зсувом, такого як скидання силосу. Використання ММТ було розширено в геотехнічній інженерії завдяки нещодавній розробці квазістатичного, неявного вирішувача ММТ, який забезпечує чисельно стабільний аналіз задач великої деформації в механіці ґрунтів.
Щорічні семінари з використання ММТ проводяться в різних місцях у Сполучених Штатах. П'ятий семінар ММТ відбувся в Університеті штату Орегон, в Корваллісі, штат Орегон, 2 і 3 квітня 2009 року.
Застосування PIC та ММТ
Використання методу PIC або ММТ можна розділити на дві великі категорії: по-перше, існує багато застосувань, що включають динаміку рідини, фізику плазми, магнітогідродинаміку та багатофазні застосунки. Друга категорія застосунків включає задачі з механіки твердого тіла.
Динаміка рідини та багатофазне моделювання
Метод PIC був використаний для моделювання широкого спектра взаємодій рідини і твердого тіла, включаючи динаміку морського льоду, проникнення в біологічні м'які тканини, фрагментацію наповнених газом балонів, розсіювання атмосферних забруднювачів, багатомасштабне моделювання, що поєднує молекулярну динаміку з ММТ та взаємодією рідина-мембрана. Крім того, код FLIP на основі PIC був застосований в інструментах магнітогідродинаміки та обробки плазми, а також для моделювання в астрофізиці та течії по вільній поверхні.
В результаті спільних зусиль математичного факультету Каліфорнійського університету в Лос-Анджелесі та студії Walt Disney Animation Studios ММТ було успішно використано для імітації снігу в комп'ютерному анімаційному фільмі Крижане серце 2013 року.
Механіка твердого тіла
ММТ також широко використовується в механіці твердого тіла для імітації удару, проникнення, зіткнення та відскоку, а також поширення тріщини. ММТ також став широко використовуваним методом у галузі механіки ґрунтів: його використовували для моделювання зернистого потоку, випробування на швидкість чутливих глин, зсувів, силосного розвантаження, забивання паль, випробування на падіння конуса, наповнення ковша та руйнування матеріалу; а також моделювання розподілу напружень у ґрунті, ущільнення та зміцнення. Зараз він використовується в проблемах механіки деревини, таких як моделювання поперечного стиснення на рівні клітин, включаючи контакт клітинної стінки. Ця робота також отримала нагороду Джорджа Марра як наукова стаття року від Товариства деревознавства та технологій.
Класифікація кодів PIC та ММТ
ММТ в контексті чисельних методів
Однією з підмножин числових методів є [en], які визначаються як методи, для яких «попередньо визначена сітка не потрібна, принаймні в інтерполяції змінних поля». В ідеалі такий метод не використовує сітку «у процесі розв'язання задачі, що обумовлена диференціальними рівняннями в часткових похідних, у заданій довільній області, з урахуванням усіх видів граничних умов», хоча наявні методи не є ідеальними та не вдаються до хоча б один із цих підходів. Безсіткові методи, які також іноді називають методами частинок, мають «загальну особливість, що історія змінних, які описують стан, простежується в точках (частинках), які не пов'язані з жодним елементом сітки, спотворення якої є джерелом чисельних ускладнень». Як видно з цих різних інтерпретацій, деякі вчені вважають ММТ безсітковим методом, а інші — ні. Проте всі погоджуються, що ММТ є методом частинок.
Довільні методи Лагранжа-Ейлера (Arbitrary Lagrangian Eulerian, ALE) утворюють ще одну підмножину числових методів, яка включає ММТ. Чисто [en] методи використовують структуру, в якій простір розбивається на початкові підоб'єми, шляхи потоків яких потім відображаються в часі. Чисто [en] методи, з іншого боку, використовують структуру, в якій описується рух матеріалу відносно сітки, яка залишається нерухомою в просторі протягом усього розрахунку. Як видно з назви, методи ALE поєднують лагранжеву та ейлерову системи відліку.
Підкласифікація ММТ та PIC
Методи PIC можуть бути засновані або на колокації сильної форми, або на дискретизації слабкої форми основного диференціального рівняння в частинних похідних (ДРЧП). Методи, засновані на сильній формі, правильно називаються PIC методами скінченного об'єму. Ті, що ґрунтуються на слабкій дискретизації форми ДРЧП, можна назвати PIC або ММТ.
Розв'язувачі ММТ можуть моделювати задачі в одному, двох або трьох просторових вимірах, а також можуть моделювати осесиметричні задачі. ММТ може бути реалізований для розв'язування квазістатичних або динамічних рівнянь руху залежно від типу задачі, яку потрібно моделювати. Декілька версій ММТ включають метод узагальненої інтерполяційної точки; метод інтерполяції в області конвекційних частинок; метод інтерполяції найменших квадратів конвекційних частинок.
Інтеграція за часом, що використовується для ММТ, може бути як [en], так і неявною. Перевагою неявної інтеграції є гарантована стабільність навіть для великих часових кроків. З іншого боку, явна інтеграція виконується набагато швидше і простіше у реалізації.
Переваги
Порівняння з МСЕ
На відміну від методу скінченних елементів (МСЕ), ММТ не вимагає періодичних кроків перемішування та перетворення змінних стану, і тому краще підходить для моделювання великих деформацій матеріалу. У ММТ усю інформацію про стан обчислення зберігають частинки, а не точки сітки. Таким чином, коли сітка повертається у вихідне положення після кожного циклу обчислення, числова помилка не виникає, і не потрібен алгоритм повторної сітки.
Основа частинок ММТ дозволяє йому краще розглядати поширення тріщин та інші розриви, ніж МСЕ, який, як відомо, накладає орієнтацію сітки на поширення тріщини в матеріалі. Крім того, методи частинок краще обробляють моделі побудови, для яких важливе використання даних з історії обчислення.
Порівняння з чистими методами частинок
Оскільки в ММТ вузли залишаються фіксованими на звичайній сітці, обчислення градієнтів є тривіальним.
У моделюванні з двома або більше фазами досить легко виявити контакт між сутностями, оскільки частинки можуть взаємодіяти через сітку з іншими частинками в тому самому тілі, з іншими твердими тілами та з рідинами.
Недоліки ММТ
ММТ є дорожчим з точки зору зберігання даних, ніж інші методи, оскільки ММТ використовує сітку, а також дані частинок. ММТ є дорожчим з точки зору обчислень, ніж МСЕ, оскільки сітку потрібно скинути в кінці кожного кроку обчислення ММТ та повторно ініціалізувати на початку наступного кроку. У ММТ можуть виникнути помилкові коливання, коли частинки перетинають межі сітки в ММТ, хоча цей ефект можна мінімізувати за допомогою узагальнених методів інтерполяції (GIMP). У ММТ, як і в МСЕ, розмір і орієнтація сітки можуть впливати на результати обчислень: наприклад, у ММТ, як відомо, місце надриву особливо чутливе до точності сітки. Однією з проблем стабільності в ММТ, яка не виникає в МСЕ, є помилки перетину комірок і помилки порожнього простору, оскільки кількість точок інтегрування (матеріальних точок) не залишається постійною в комірці.
Примітки
- Johnson, N. L. (1996). The legacy and future of CFD at Los Alamos. Proceedings of the 1996 Canadian CFD Conference (англ.). 244662.
- Brackbill, J. U.; Ruppel, H. M. (1986). FLIP: A method for adaptively zoned, particle-in-cell calculations of fluid flows in two dimensions. Journal of Computational Physics. 65 (2): 314—343. Bibcode:1986JCoPh..65..314B. doi:10.1016/0021-9991(86)90211-1. ISSN 0021-9991.
- Sulsky, D.; Chen, Z.; Schreyer, H. L. (1994). . Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 118 (1): 179—196. doi:10.1016/0045-7825(94)90112-0. ISSN 0045-7825. Архів оригіналу за 6 лютого 2022. Процитовано 6 квітня 2022.
- Bardenhagen, S. G.; Brackbill, J. U.; Sulsky, D. L. (1998). Shear deformation in granular materials (англ.). doi:10.2172/329539. 329539.
- Więckowski, Zdzisław; Youn, Sung-Kie; Yeon, Jeoung-Heum (1999). A particle-in-cell solution to the silo discharging problem. International Journal for Numerical Methods in Engineering (англ.). 45 (9): 1203—1225. Bibcode:1999IJNME..45.1203W. doi:10.1002/(SICI)1097-0207(19990730)45:9<1203::AID-NME626>3.0.CO;2-C. ISSN 1097-0207.
- Nairn, J. A. (2003). Material Point Method Calculations with Explicit Cracks. Computer Modeling in Engineering & Sciences. 4 (6): 649—664. doi:10.3970/cmes.2003.004.649.
- Coetzee, Corne J. (2004). (Дипломна робота PhD) (англ.). Stellenbosch : University of Stellenbosch. Архів оригіналу за 18 червня 2019. Процитовано 29 червня 2022.
- Beuth, L., Coetzee, C.J., Bonnier, P. and van den Berg, P. «Formulation and validation of a quasi-static material point method.» In 10th International Symposium on Numerical Methods in Geomechanics, 2007.
- Wang, R.-X; Ji, S.-Y.; Shen, Hung Tao; Yue, Q.-J. (2005). Modified PIC method for sea ice dynamics. China Ocean Engineering. 19: 457—468 — через ResearchGate.
- Ionescu, I., Guilkey, J., Berzins, M., Kirby, R., and Weiss, J. «Computational simulation of penetrating trauma in biological soft tissues using MPM [ 15 квітня 2021 у Wayback Machine.].»
- Banerjee, Biswajit (2012). Material point method simulations of fragmenting cylinders. ResearchGate (англ.). arXiv:1201.2439. Bibcode:2012arXiv1201.2439B. Процитовано 18 червня 2019.
- Patankar, N. A.; Joseph, D. D. (2001). Lagrangian numerical simulation of particulate flows. International Journal of Multiphase Flow. 27 (10): 1685—1706. doi:10.1016/S0301-9322(01)00025-8. ISSN 0301-9322.
- Lu, H.; Daphalapurkar, N. P.; Wang, B.; Roy, S.; Komanduri, R. (2006). Multiscale simulation from atomistic to continuum – coupling molecular dynamics (MD) with the material point method (MPM). Philosophical Magazine. 86 (20): 2971—2994. Bibcode:2006PMag...86.2971L. doi:10.1080/14786430600625578. ISSN 1478-6435. S2CID 137383632.
- Ma, Jin (2006). (Дипломна робота PhD). Oklahoma State University. Архів оригіналу за 19 вересня 2015. Процитовано 6 квітня 2022.
- York, Allen R.; Sulsky, Deborah; Schreyer, Howard L. (2000). Fluid–membrane interaction based on the material point method. International Journal for Numerical Methods in Engineering (англ.). 48 (6): 901—924. Bibcode:2000IJNME..48..901Y. doi:10.1002/(SICI)1097-0207(20000630)48:6<901::AID-NME910>3.0.CO;2-T. ISSN 1097-0207.
- Liu, Wing Kam; Li, Shaofan (2002). Meshfree and particle methods and their applications. Applied Mechanics Reviews. 55 (1): 1—34. Bibcode:2002ApMRv..55....1L. doi:10.1115/1.1431547. ISSN 0003-6900.
- Marquez, Letisia (27 лютого 2014). . UCLA Today. Архів оригіналу за 10 March 2014. Процитовано 6 березня 2014.
- Alexey Stomakhin; Craig Schroeder; Lawrence Chai; Joseph Teran; Andrew Selle (August 2013). (PDF). Walt Disney Animation Studios. Архів оригіналу (PDF) за 24 March 2014. Процитовано 6 березня 2014.
- . CG Meetup. 21 листопада 2013. Архів оригіналу за 7 січня 2014. Процитовано 18 січня 2014.
- Karuppiah, Venkatesh (2004). Implementation of irregular mesh in MPM for simulation of mixed mode crack opening in tension (Дипломна робота Master's). Oklahoma State University.
- Daphalapurkar, Nitin P.; Lu, Hongbing; Coker, Demir; Komanduri, Ranga (1 січня 2007). Simulation of dynamic crack growth using the generalized interpolation material point (GIMP) method. International Journal of Fracture (англ.). 143 (1): 79—102. doi:10.1007/s10704-007-9051-z. ISSN 1573-2673. S2CID 20013793.
- Tran, Quoc-Anh; Solowski, Wojciech; Thakur, Vikas; Karstunen, Minna (2017). . Landslides in Sensitive Clays. Advances in Natural and Technological Hazards Research. 46: 323—326. doi:10.1007/978-3-319-56487-6_29. ISBN . Архів оригіналу за 6 квітня 2022. Процитовано 6 квітня 2022.
- Tran, Quoc-Anh; Solowski, Wojciech (2019). . Computers and Geotechnics. 106 (1): 249—265. doi:10.1016/j.compgeo.2018.10.020. Архів оригіналу за 6 квітня 2022. Процитовано 6 квітня 2022.
- Llano-Serna, Marcelo A.; Farias, Márcio M.; Pedroso, Dorival M. (2016). An assessment of the material point method for modelling large scale run-out processes in landslides. Landslides (англ.). 13 (5): 1057—1066. doi:10.1007/s10346-015-0664-4. ISSN 1612-510X.
- Llano Serna, Marcelo Alejandro; Muniz-de Farias, Márcio; Martínez-Carvajal, Hernán Eduardo (21 грудня 2015). . DYNA. 82 (194): 150—159. doi:10.15446/dyna.v82n194.48179. ISSN 2346-2183. Архів оригіналу за 18 серпня 2020. Процитовано 6 квітня 2022.
- Tran, Quoc-Anh; Solowski, Wojciech; Karstunen, Minna; Korkiala-Tanttua, Leena (2017). . Procedia Engineering. 175: 293—301. doi:10.1016/j.proeng.2017.01.029. Архів оригіналу за 6 квітня 2022. Процитовано 6 квітня 2022.
- Llano-Serna, M.A.; Farias, M.M.; Pedroso, D.M.; Williams, David J.; Sheng, D. (2016). Simulations of Fall Cone Test in Soil Mechanics Using the Material Point Method. Applied Mechanics and Materials. 846: 336—341. doi:10.4028/www.scientific.net/AMM.846.336. ISSN 1662-7482.
- Llano-Serna, M; Farias, M (3 червня 2014), Hicks, Michael; Brinkgreve, Ronald; Rohe, Alexander (ред.), Use of generalized material point method (GIMP) to simulate shallow wedge penetration, Numerical Methods in Geotechnical Engineering (англ.), CRC Press: 259—264, doi:10.1201/b17017-48, ISBN
- Llano-Serna, M.A.; Farias, M.M. (2016). Validación numérica, teórica y experimental del método del punto material para resolver problemas geotécnicos. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería (ісп.). 32 (2): 110—115. doi:10.1016/j.rimni.2015.02.008.
- Nairn, John A. (2007). . Wood and Fiber Science (амер.). 38 (4): 576—591. ISSN 0735-6161. Архів оригіналу за 5 липня 2020. Процитовано 6 квітня 2022.
- . 2007. Архів оригіналу за 23 вересня 2007. Процитовано 18 червня 2019.
- Bardenhagen, S. G.; Kober, E. M. (2004). . Computer Modeling in Engineering & Sciences. 5: 477—496. doi:10.3970/cmes.2004.005.477. Архів оригіналу за 19 січня 2022. Процитовано 6 квітня 2022.
- Sadeghirad, A.; Brannon, R. M.; Burghardt, J. (2011). . International Journals for Numerical Methods in Engineering. 86 (12): 1435—1456. doi:10.1002/nme.3110. Архів оригіналу за 19 січня 2022. Процитовано 6 квітня 2022.
- Tran, Quoc-Anh; Solowski, Wojciech; Berzins, Martin; Gulkey, James (2020). . International Journals for Numerical Methods in Engineering. 121 (6): 1068—1100. doi:10.1002/nme.6257. Архів оригіналу за 6 квітня 2022. Процитовано 6 квітня 2022.
- Tran, Quoc-Anh; Solowski, Wojciech (2017). . International Journal for Numerical Methods in Engineering. 120 (3): 328—360. doi:10.1002/nme.6138. Архів оригіналу за 6 квітня 2022. Процитовано 6 квітня 2022.
Посилання
- Центр моделювання випадкових пожеж і вибухів — доступний код ММТ
- NairnMPM — з відкритим кодом
- MPM3D — є відкритий код (MPM3D-F90) і безкоштовна пробна версія (MPM3D)
- Taichi — бібліотека комп'ютерної графіки на фізичній основі — доступний ММТ-код з відкритим вихідним кодом
- Anura3D з відкритим вихідним кодом — програмне забезпечення для геотехнічних проблем і взаємодії грунт-вода-структура від Anura3D MPM Research Community
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Metod materialnoyi tochki MMT angl material point method MPM ce chislovij metod yakij vikoristovuyetsya dlya modelyuvannya povedinki tverdih til ridin gaziv ta bud yakogo inshogo sucilnogo materialu Zokrema ce stijkij metod diskretizaciyi prostoru dlya modelyuvannya bagatofazovih vzayemodij tverde tilo ridina gaz U MMT neperervne tilo opisuyetsya kilkoma nevelikimi elementami Lagranzha yaki nazivayutsya materialnimi tochkami Ci materialni tochki otocheni fonovoyu sitkoyu yaka vikoristovuyetsya dlya obchislennya riznih harakteristik zokrema takih yak gradiyent deformaciyi Na vidminu vid inshih metodiv na osnovi sitki takih yak metod skinchennih elementiv metod skinchennih ob yemiv abo skinchennih riznic MMT ne ye metodom na osnovi sitki a natomist klasifikuyetsya yak bezsitkovij abo neperervnij metod na osnovi chastinok prikladami yakogo ye gidrodinamika zgladzhenih chastinok ta peridinamika Popri nayavnist fonovoyi sitki MMT ne stikayetsya z nedolikami metodiv na osnovi sitki visoka deformaciya zaplutuvannya pohibki advekciyi tosho sho robit jogo perspektivnim i potuzhnim instrumentom u obchislyuvalnij mehanici MMT buv zaproponovanij na pochatku 1990 h rokiv profesorami Deboroyu L Sulski Chzhenem Chenom ta Govardom L Shrajerom iz universitetu Nyu Meksiko yak rozshirennya podibnogo metodu vidomogo yak FLIP podalshe rozshirennya en angl Particle in cell PIC dlya obchislyuvalnoyi dinamiki tverdogo tila Pislya ciyeyi pochatkovoyi rozrobki MMT vzhe otrimav podalshij rozvitok yak u nacionalnih laboratoriyah yak v universiteti Nyu Meksiko tak i v universiteti shtatu Oregon universiteti Yuti ta inshih zakladah SShA ta svitu Ostannim chasom kilkist institucij yaki doslidzhuyut MMT zrostaye zavdyaki populyarnosti ta obiznanosti z riznih dzherel zokrema takim yak vikoristannya MMT u disneyivskomu filmi Krizhane serce AlgoritmModelyuvannya MMT skladayetsya z nastupnih etapiv Do fazi integraciyi chasu Inicializaciya sitki ta materialnih tochok Geometriya rozbivayetsya na sukupnist materialnih tochok kozhna zi svoyimi vlastivostyami materialu ta pochatkovimi umovami shvidkist napruzhennya temperatura tosho Sitka yaka vikoristovuyetsya lishe dlya nadannya miscya dlya rozrahunkiv gradiyenta zazvichaj stvoryuyetsya dlya pokrittya dostatno velikoyi oblasti shob zapovniti ochikuvanij obsyag obchislyuvalnoyi oblasti neobhidnoyi dlya modelyuvannya Pid chas fazi integraciyi chasu yavne formulyuvannya Velichini materialnih tochok ekstrapolyuyutsya na vuzli sitki Masa materialnoyi tochki m m p textstyle m mp impuls P m p textstyle vec P mp napruzhennya s m p displaystyle boldsymbol bar bar sigma mp i zovnishni sili b displaystyle vec b ekstrapolyuyutsya na vuzli v kutah komirok vseredini yakih znahodyatsya materialni tochki Najchastishe ce robitsya za dopomogoyu standartnih funkcij linijnoyi formi N n d m p textstyle N nd mp yaki tak samo vikoristovuyutsya v MSE Sitka vikoristovuye znachennya materialnoyi tochki dlya stvorennya mas M n o d e textstyle M node shvidkosti V n o d e textstyle vec V node vnutrishnih ta zovnishnih vektoriv sil F n o d e i n t e r n a l textstyle vec F node mathsf internal F n o d e e x t e r n a l textstyle vec F node mathsf external dlya vuzliv M n o d e m p m m p N m p n d displaystyle M node sum mp m mp N mp nd V n o d e 1 M n o d e m p P m p N m p n d displaystyle vec V node 1 over M node sum mp vec P mp N mp nd F n o d e i n t e r n a l m p s m p N m p n d displaystyle vec F node internal sum mp bar bar sigma mp nabla N mp nd F n o d e e x t e r n a l m p b N m p n d displaystyle vec F node mathsf external sum mp vec b N mp nd Na sitci rozv yazuyutsya rivnyannya ruhu 2 j zakon Nyutona rozv yazuyetsya shob otrimati priskorennya u vuzli A n o d e displaystyle vec A node A n o d e F n o d e e x t e r n a l F n o d e i n t e r n a l M n o d e displaystyle vec A node vec F node external vec F node internal over M node U vuzlah obchislyuyutsya novi shvidkosti V n o d e displaystyle tilde vec V node V n o d e V n o d e A n o d e d t displaystyle tilde vec V node vec V node vec A node mathrm d t Pohidni termini ekstrapolyuyutsya nazad do materialnih tochok Priskorennya materialnoyi tochki a m p displaystyle vec a mp gradiyent deformaciyi F m p displaystyle mathcal bar bar F mp abo shvidkist deformaciyi e m p displaystyle bar bar dot varepsilon mp zalezhno vid togo yaka teoriya deformacij vikoristovuyetsya ekstrapolyuyetsya z navkolishnih vuzliv za dopomogoyu funkcij analogichnim tim sho ranishe buli zastosovani do N n d m p displaystyle N nd mp a m p n d A n o d e N n d m p displaystyle vec a mp sum nd vec A node N nd mp e m p n d 1 2 V n o d e N n d m p V n o d e N n d m p T displaystyle bar bar dot varepsilon mp sum nd 1 over 2 vec V node nabla N nd mp V node nabla N nd mp T Zminni v materialnih tochkah polozhennya shvidkosti deformaciyi napruzhennya tosho potim onovlyuyutsya cimi shvidkostyami zalezhno vid vibranoyi shemi integruvannya ta vidpovidnoyi modeli pobudovi Skidannya sitki Teper koli materialni tochki povnistyu onovleno na nastupnomu chasovomu kroci sitka skidayetsya shob dozvoliti pochati nastupnij chasovij krok Istoriya PIC ta MMTPIC spochatku buv zadumanij dlya rozv yazannya zadach dinamiki ridini i rozroblenij en v Los Alamosskij nacionalnij laboratoriyi v 1957 roci Odnim iz pershih kodiv PIC bula programa Fluid Implicit Particle FLIP yaka bula stvorena Brekbilom u 1986 roci i vidtodi postijno rozvivalasya Do 1990 h rokiv metod PIC vikoristovuvavsya v osnovnomu v gidrodinamici Motivovani potreboyu krashogo modelyuvannya problem proniknennya v tverdij dinamici Sulski Chen i Shrajer pochali v 1993 roci pereformulyuvati PIC i rozroblyati MMT pri finansovij pidtrimci Sandia National Laboratories Pochatkovij MMT buv potim dodatkovo rozshirenij Bardenhagenom ta inshimi shob dodati u model frikcijnij kontakt sho dozvolilo modelyuvati zernistij potik i za Nejrnom vklyuchiti yavni trishini ta poshirennya trishini vidome yak CRAMP Neshodavno realizaciya MMT zasnovana na mikropolyarnomu kontinuumi Kossera bula vikoristana dlya modelyuvannya zernistogo potoku z visokim zsuvom takogo yak skidannya silosu Vikoristannya MMT bulo rozshireno v geotehnichnij inzheneriyi zavdyaki neshodavnij rozrobci kvazistatichnogo neyavnogo virishuvacha MMT yakij zabezpechuye chiselno stabilnij analiz zadach velikoyi deformaciyi v mehanici gruntiv Shorichni seminari z vikoristannya MMT provodyatsya v riznih miscyah u Spoluchenih Shtatah P yatij seminar MMT vidbuvsya v Universiteti shtatu Oregon v Korvallisi shtat Oregon 2 i 3 kvitnya 2009 roku Zastosuvannya PIC ta MMTVikoristannya metodu PIC abo MMT mozhna rozdiliti na dvi veliki kategoriyi po pershe isnuye bagato zastosuvan sho vklyuchayut dinamiku ridini fiziku plazmi magnitogidrodinamiku ta bagatofazni zastosunki Druga kategoriya zastosunkiv vklyuchaye zadachi z mehaniki tverdogo tila Dinamika ridini ta bagatofazne modelyuvannya Metod PIC buv vikoristanij dlya modelyuvannya shirokogo spektra vzayemodij ridini i tverdogo tila vklyuchayuchi dinamiku morskogo lodu proniknennya v biologichni m yaki tkanini fragmentaciyu napovnenih gazom baloniv rozsiyuvannya atmosfernih zabrudnyuvachiv bagatomasshtabne modelyuvannya sho poyednuye molekulyarnu dinamiku z MMT ta vzayemodiyeyu ridina membrana Krim togo kod FLIP na osnovi PIC buv zastosovanij v instrumentah magnitogidrodinamiki ta obrobki plazmi a takozh dlya modelyuvannya v astrofizici ta techiyi po vilnij poverhni V rezultati spilnih zusil matematichnogo fakultetu Kalifornijskogo universitetu v Los Andzhelesi ta studiyi Walt Disney Animation Studios MMT bulo uspishno vikoristano dlya imitaciyi snigu v komp yuternomu animacijnomu filmi Krizhane serce 2013 roku Mehanika tverdogo tila MMT takozh shiroko vikoristovuyetsya v mehanici tverdogo tila dlya imitaciyi udaru proniknennya zitknennya ta vidskoku a takozh poshirennya trishini MMT takozh stav shiroko vikoristovuvanim metodom u galuzi mehaniki gruntiv jogo vikoristovuvali dlya modelyuvannya zernistogo potoku viprobuvannya na shvidkist chutlivih glin zsuviv silosnogo rozvantazhennya zabivannya pal viprobuvannya na padinnya konusa napovnennya kovsha ta rujnuvannya materialu a takozh modelyuvannya rozpodilu napruzhen u grunti ushilnennya ta zmicnennya Zaraz vin vikoristovuyetsya v problemah mehaniki derevini takih yak modelyuvannya poperechnogo stisnennya na rivni klitin vklyuchayuchi kontakt klitinnoyi stinki Cya robota takozh otrimala nagorodu Dzhordzha Marra yak naukova stattya roku vid Tovaristva derevoznavstva ta tehnologij Klasifikaciya kodiv PIC ta MMTMMT v konteksti chiselnih metodiv Odniyeyu z pidmnozhin chislovih metodiv ye en yaki viznachayutsya yak metodi dlya yakih poperedno viznachena sitka ne potribna prinajmni v interpolyaciyi zminnih polya V ideali takij metod ne vikoristovuye sitku u procesi rozv yazannya zadachi sho obumovlena diferencialnimi rivnyannyami v chastkovih pohidnih u zadanij dovilnij oblasti z urahuvannyam usih vidiv granichnih umov hocha nayavni metodi ne ye idealnimi ta ne vdayutsya do hocha b odin iz cih pidhodiv Bezsitkovi metodi yaki takozh inodi nazivayut metodami chastinok mayut zagalnu osoblivist sho istoriya zminnih yaki opisuyut stan prostezhuyetsya v tochkah chastinkah yaki ne pov yazani z zhodnim elementom sitki spotvorennya yakoyi ye dzherelom chiselnih uskladnen Yak vidno z cih riznih interpretacij deyaki vcheni vvazhayut MMT bezsitkovim metodom a inshi ni Prote vsi pogodzhuyutsya sho MMT ye metodom chastinok Dovilni metodi Lagranzha Ejlera Arbitrary Lagrangian Eulerian ALE utvoryuyut she odnu pidmnozhinu chislovih metodiv yaka vklyuchaye MMT Chisto en metodi vikoristovuyut strukturu v yakij prostir rozbivayetsya na pochatkovi pidob yemi shlyahi potokiv yakih potim vidobrazhayutsya v chasi Chisto en metodi z inshogo boku vikoristovuyut strukturu v yakij opisuyetsya ruh materialu vidnosno sitki yaka zalishayetsya neruhomoyu v prostori protyagom usogo rozrahunku Yak vidno z nazvi metodi ALE poyednuyut lagranzhevu ta ejlerovu sistemi vidliku Pidklasifikaciya MMT ta PIC Metodi PIC mozhut buti zasnovani abo na kolokaciyi silnoyi formi abo na diskretizaciyi slabkoyi formi osnovnogo diferencialnogo rivnyannya v chastinnih pohidnih DRChP Metodi zasnovani na silnij formi pravilno nazivayutsya PIC metodami skinchennogo ob yemu Ti sho gruntuyutsya na slabkij diskretizaciyi formi DRChP mozhna nazvati PIC abo MMT Rozv yazuvachi MMT mozhut modelyuvati zadachi v odnomu dvoh abo troh prostorovih vimirah a takozh mozhut modelyuvati osesimetrichni zadachi MMT mozhe buti realizovanij dlya rozv yazuvannya kvazistatichnih abo dinamichnih rivnyan ruhu zalezhno vid tipu zadachi yaku potribno modelyuvati Dekilka versij MMT vklyuchayut metod uzagalnenoyi interpolyacijnoyi tochki metod interpolyaciyi v oblasti konvekcijnih chastinok metod interpolyaciyi najmenshih kvadrativ konvekcijnih chastinok Integraciya za chasom sho vikoristovuyetsya dlya MMT mozhe buti yak en tak i neyavnoyu Perevagoyu neyavnoyi integraciyi ye garantovana stabilnist navit dlya velikih chasovih krokiv Z inshogo boku yavna integraciya vikonuyetsya nabagato shvidshe i prostishe u realizaciyi PerevagiPorivnyannya z MSE Na vidminu vid metodu skinchennih elementiv MSE MMT ne vimagaye periodichnih krokiv peremishuvannya ta peretvorennya zminnih stanu i tomu krashe pidhodit dlya modelyuvannya velikih deformacij materialu U MMT usyu informaciyu pro stan obchislennya zberigayut chastinki a ne tochki sitki Takim chinom koli sitka povertayetsya u vihidne polozhennya pislya kozhnogo ciklu obchislennya chislova pomilka ne vinikaye i ne potriben algoritm povtornoyi sitki Osnova chastinok MMT dozvolyaye jomu krashe rozglyadati poshirennya trishin ta inshi rozrivi nizh MSE yakij yak vidomo nakladaye oriyentaciyu sitki na poshirennya trishini v materiali Krim togo metodi chastinok krashe obroblyayut modeli pobudovi dlya yakih vazhlive vikoristannya danih z istoriyi obchislennya Porivnyannya z chistimi metodami chastinok Oskilki v MMT vuzli zalishayutsya fiksovanimi na zvichajnij sitci obchislennya gradiyentiv ye trivialnim U modelyuvanni z dvoma abo bilshe fazami dosit legko viyaviti kontakt mizh sutnostyami oskilki chastinki mozhut vzayemodiyati cherez sitku z inshimi chastinkami v tomu samomu tili z inshimi tverdimi tilami ta z ridinami Nedoliki MMTMMT ye dorozhchim z tochki zoru zberigannya danih nizh inshi metodi oskilki MMT vikoristovuye sitku a takozh dani chastinok MMT ye dorozhchim z tochki zoru obchislen nizh MSE oskilki sitku potribno skinuti v kinci kozhnogo kroku obchislennya MMT ta povtorno inicializuvati na pochatku nastupnogo kroku U MMT mozhut viniknuti pomilkovi kolivannya koli chastinki peretinayut mezhi sitki v MMT hocha cej efekt mozhna minimizuvati za dopomogoyu uzagalnenih metodiv interpolyaciyi GIMP U MMT yak i v MSE rozmir i oriyentaciya sitki mozhut vplivati na rezultati obchislen napriklad u MMT yak vidomo misce nadrivu osoblivo chutlive do tochnosti sitki Odniyeyu z problem stabilnosti v MMT yaka ne vinikaye v MSE ye pomilki peretinu komirok i pomilki porozhnogo prostoru oskilki kilkist tochok integruvannya materialnih tochok ne zalishayetsya postijnoyu v komirci PrimitkiJohnson N L 1996 The legacy and future of CFD at Los Alamos Proceedings of the 1996 Canadian CFD Conference angl 244662 Brackbill J U Ruppel H M 1986 FLIP A method for adaptively zoned particle in cell calculations of fluid flows in two dimensions Journal of Computational Physics 65 2 314 343 Bibcode 1986JCoPh 65 314B doi 10 1016 0021 9991 86 90211 1 ISSN 0021 9991 Sulsky D Chen Z Schreyer H L 1994 Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 118 1 179 196 doi 10 1016 0045 7825 94 90112 0 ISSN 0045 7825 Arhiv originalu za 6 lyutogo 2022 Procitovano 6 kvitnya 2022 Bardenhagen S G Brackbill J U Sulsky D L 1998 Shear deformation in granular materials angl doi 10 2172 329539 329539 Wieckowski Zdzislaw Youn Sung Kie Yeon Jeoung Heum 1999 A particle in cell solution to the silo discharging problem International Journal for Numerical Methods in Engineering angl 45 9 1203 1225 Bibcode 1999IJNME 45 1203W doi 10 1002 SICI 1097 0207 19990730 45 9 lt 1203 AID NME626 gt 3 0 CO 2 C ISSN 1097 0207 Nairn J A 2003 Material Point Method Calculations with Explicit Cracks Computer Modeling in Engineering amp Sciences 4 6 649 664 doi 10 3970 cmes 2003 004 649 Coetzee Corne J 2004 Diplomna robota PhD angl Stellenbosch University of Stellenbosch Arhiv originalu za 18 chervnya 2019 Procitovano 29 chervnya 2022 Beuth L Coetzee C J Bonnier P and van den Berg P Formulation and validation of a quasi static material point method In 10th International Symposium on Numerical Methods in Geomechanics 2007 Wang R X Ji S Y Shen Hung Tao Yue Q J 2005 Modified PIC method for sea ice dynamics China Ocean Engineering 19 457 468 cherez ResearchGate Ionescu I Guilkey J Berzins M Kirby R and Weiss J Computational simulation of penetrating trauma in biological soft tissues using MPM 15 kvitnya 2021 u Wayback Machine Banerjee Biswajit 2012 Material point method simulations of fragmenting cylinders ResearchGate angl arXiv 1201 2439 Bibcode 2012arXiv1201 2439B Procitovano 18 chervnya 2019 Patankar N A Joseph D D 2001 Lagrangian numerical simulation of particulate flows International Journal of Multiphase Flow 27 10 1685 1706 doi 10 1016 S0301 9322 01 00025 8 ISSN 0301 9322 Lu H Daphalapurkar N P Wang B Roy S Komanduri R 2006 Multiscale simulation from atomistic to continuum coupling molecular dynamics MD with the material point method MPM Philosophical Magazine 86 20 2971 2994 Bibcode 2006PMag 86 2971L doi 10 1080 14786430600625578 ISSN 1478 6435 S2CID 137383632 Ma Jin 2006 Diplomna robota PhD Oklahoma State University Arhiv originalu za 19 veresnya 2015 Procitovano 6 kvitnya 2022 York Allen R Sulsky Deborah Schreyer Howard L 2000 Fluid membrane interaction based on the material point method International Journal for Numerical Methods in Engineering angl 48 6 901 924 Bibcode 2000IJNME 48 901Y doi 10 1002 SICI 1097 0207 20000630 48 6 lt 901 AID NME910 gt 3 0 CO 2 T ISSN 1097 0207 Liu Wing Kam Li Shaofan 2002 Meshfree and particle methods and their applications Applied Mechanics Reviews 55 1 1 34 Bibcode 2002ApMRv 55 1L doi 10 1115 1 1431547 ISSN 0003 6900 Marquez Letisia 27 lyutogo 2014 UCLA Today Arhiv originalu za 10 March 2014 Procitovano 6 bereznya 2014 Alexey Stomakhin Craig Schroeder Lawrence Chai Joseph Teran Andrew Selle August 2013 PDF Walt Disney Animation Studios Arhiv originalu PDF za 24 March 2014 Procitovano 6 bereznya 2014 CG Meetup 21 listopada 2013 Arhiv originalu za 7 sichnya 2014 Procitovano 18 sichnya 2014 Karuppiah Venkatesh 2004 Implementation of irregular mesh in MPM for simulation of mixed mode crack opening in tension Diplomna robota Master s Oklahoma State University Daphalapurkar Nitin P Lu Hongbing Coker Demir Komanduri Ranga 1 sichnya 2007 Simulation of dynamic crack growth using the generalized interpolation material point GIMP method International Journal of Fracture angl 143 1 79 102 doi 10 1007 s10704 007 9051 z ISSN 1573 2673 S2CID 20013793 Tran Quoc Anh Solowski Wojciech Thakur Vikas Karstunen Minna 2017 Landslides in Sensitive Clays Advances in Natural and Technological Hazards Research 46 323 326 doi 10 1007 978 3 319 56487 6 29 ISBN 978 3 319 56486 9 Arhiv originalu za 6 kvitnya 2022 Procitovano 6 kvitnya 2022 Tran Quoc Anh Solowski Wojciech 2019 Computers and Geotechnics 106 1 249 265 doi 10 1016 j compgeo 2018 10 020 Arhiv originalu za 6 kvitnya 2022 Procitovano 6 kvitnya 2022 Llano Serna Marcelo A Farias Marcio M Pedroso Dorival M 2016 An assessment of the material point method for modelling large scale run out processes in landslides Landslides angl 13 5 1057 1066 doi 10 1007 s10346 015 0664 4 ISSN 1612 510X Llano Serna Marcelo Alejandro Muniz de Farias Marcio Martinez Carvajal Hernan Eduardo 21 grudnya 2015 DYNA 82 194 150 159 doi 10 15446 dyna v82n194 48179 ISSN 2346 2183 Arhiv originalu za 18 serpnya 2020 Procitovano 6 kvitnya 2022 Tran Quoc Anh Solowski Wojciech Karstunen Minna Korkiala Tanttua Leena 2017 Procedia Engineering 175 293 301 doi 10 1016 j proeng 2017 01 029 Arhiv originalu za 6 kvitnya 2022 Procitovano 6 kvitnya 2022 Llano Serna M A Farias M M Pedroso D M Williams David J Sheng D 2016 Simulations of Fall Cone Test in Soil Mechanics Using the Material Point Method Applied Mechanics and Materials 846 336 341 doi 10 4028 www scientific net AMM 846 336 ISSN 1662 7482 Llano Serna M Farias M 3 chervnya 2014 Hicks Michael Brinkgreve Ronald Rohe Alexander red Use of generalized material point method GIMP to simulate shallow wedge penetration Numerical Methods in Geotechnical Engineering angl CRC Press 259 264 doi 10 1201 b17017 48 ISBN 9781138001466 Llano Serna M A Farias M M 2016 Validacion numerica teorica y experimental del metodo del punto material para resolver problemas geotecnicos Revista Internacional de Metodos Numericos para Calculo y Diseno en Ingenieria isp 32 2 110 115 doi 10 1016 j rimni 2015 02 008 Nairn John A 2007 Wood and Fiber Science amer 38 4 576 591 ISSN 0735 6161 Arhiv originalu za 5 lipnya 2020 Procitovano 6 kvitnya 2022 2007 Arhiv originalu za 23 veresnya 2007 Procitovano 18 chervnya 2019 Bardenhagen S G Kober E M 2004 Computer Modeling in Engineering amp Sciences 5 477 496 doi 10 3970 cmes 2004 005 477 Arhiv originalu za 19 sichnya 2022 Procitovano 6 kvitnya 2022 Sadeghirad A Brannon R M Burghardt J 2011 International Journals for Numerical Methods in Engineering 86 12 1435 1456 doi 10 1002 nme 3110 Arhiv originalu za 19 sichnya 2022 Procitovano 6 kvitnya 2022 Tran Quoc Anh Solowski Wojciech Berzins Martin Gulkey James 2020 International Journals for Numerical Methods in Engineering 121 6 1068 1100 doi 10 1002 nme 6257 Arhiv originalu za 6 kvitnya 2022 Procitovano 6 kvitnya 2022 Tran Quoc Anh Solowski Wojciech 2017 International Journal for Numerical Methods in Engineering 120 3 328 360 doi 10 1002 nme 6138 Arhiv originalu za 6 kvitnya 2022 Procitovano 6 kvitnya 2022 PosilannyaCentr modelyuvannya vipadkovih pozhezh i vibuhiv dostupnij kod MMT NairnMPM z vidkritim kodom MPM3D ye vidkritij kod MPM3D F90 i bezkoshtovna probna versiya MPM3D Taichi biblioteka komp yuternoyi grafiki na fizichnij osnovi dostupnij MMT kod z vidkritim vihidnim kodom Anura3D z vidkritim vihidnim kodom programne zabezpechennya dlya geotehnichnih problem i vzayemodiyi grunt voda struktura vid Anura3D MPM Research Community