Метод Гаусса — Зайделя є класичним ітераційним методом розв'язку системи лінійних рівнянь.
Постановка задачі
Візьмемо систему: , де
Або
І покажемо, як її можна розв'язати за допомогою методу Гаусса — Зайделя.
Метод
Щоб пояснити зміст методу, перепишемо задачу у вигляді:
Тут в -му рівнянні ми перенесли в праву частину всі члени, що містять
, для
. Отримана система може бути представлена:
,
де в прийнятих позначеннях D означає матрицю, у якої на головній діагоналі стоять відповідні елементи матриці A, а всі інші — нулі; тоді як матриці U та L містять верхню і нижню трикутні частини A, на головній діагоналі яких нулі.
Ітеративний процес в методі Гаусса — Зайделя будується за формулою
після вибору відповідного початкового наближення .
Метод Гаусса — Зайделя можна розглядати як модифікацію (методу Якобі). Основна ідея модифікації полягає в тому, що нові значення використовуються тут одразу ж у міру отримання, в той час як у методі Якобі вони не використовуються до наступної ітерації:
де
Таким чином i-й компонент -го наближення обчислюється за формулою:
Умова збіжності
Наведемо достатню умову збіжності методу.
(Теорема). Нехай
|
Умова завершення
Умова завершення ітераційного процесу Гаусса — Зайделя при досягненні точності у спрощеній формі має вигляд:
Точніша умова завершення ітераційного процесу має вигляд
і потребує більше обчислень. Добре підходить для розріджених матриць.
Приклад алгоритму на С++
// Умова завершення bool converge(double *xk, double* xkp) { bool b = true; for (int i = 0; i < n; i++) { if (fabs(xk[i]-xkp[i]) > eps) { b = false; break; } } return b; } while(!converge(x,p)) { for(int i = 0; i < n; i++) { var = 0; for(int j = 0; j < n; j++) { if(j != i) var += (a[i][j]*x[j]); } p[i] = x[i]; x[i]=(b[i] - var)/a[i][i]; } }
Примітки
- МЕТОД ГАУСА-ЗЕЙДЕЛЯ: ПОЯСНЕННЯ, ДОДАТКИ, ПРИКЛАДИ - НАУКА. warbletoncouncil (укр.). Процитовано 11 лютого 2021.
- Філіп Людвіг Зейдель (1821—1896) — німецький астроном та математик, Карл Фрідріх Гаус (1777—1855) — німецький математик, астроном та фізик
Див. також
- Геометрична прогресія
- (Гаусса — Зайделя)
- (Метод простої ітерації)
- (Метод Якобі)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет