Межа Бекенштейна — це верхня межа ентропії S, або кількості інформації I, які можуть міститися в заданій обмеженій області простору, що має скінченну кількість енергії; або, з іншого боку, максимальна кількість інформації, необхідна для ідеального опису заданої фізичної системи аж до квантового рівня. Мається на увазі, що інформація про фізичну систему, або інформація, необхідна для ідеального опису системи, повинна бути скінченною, якщо система займає скінченний простір і має скінченну енергію.
З точки зору інформатики це означає, що існує максимум швидкості обробки інформації (межа Бремерманна) для фізичної системи, яка має скінченні розміри і енергію, і що машина Тюринга з скінченними фізичними розмірами і необмеженої пам'яттю фізично не може бути реалізована.
Бекенштейн показав, що максимум ентропії, пов'язаний з тілом, досягається при перетворенні його в чорну діру. Іншими словами, при досягненні межі Бекенштейна носій інформації здійснює гравітаційний колапс, перетворюючись в чорну діру.
Формули
Універсальне формулювання обмеження було спочатку відкрите Яаковом Бекенштейном як нерівність
де S — ентропія, k — стала Больцмана, R — радіус сфери, що охоплює цю систему, Е — сумарна маса-енергія, включаючи масу спокою, ħ — приведена стала Планка, а c — швидкість світла. Незважаючи на істотну роль гравітації, вираз не містить гравітаційної сталої G.
У застосуванні до інформації, обмеження формулюється у вигляді
де I — кількість інформації, виражена як число бітів, що містяться в квантових станах в сфері. Множник ln2 походить від визначення кількості інформації як логарифма за основою 2 від числа квантових станів (). Використовуючи еквівалентність маси і енергії, інформаційна межа може бути переформульована як
де m — маса системи в кілограмах, а радіус R виражений в метрах.
Походження
Бекенштейн вивів межу, виходячи з евристичних аргументів, що стосуються чорних дір. Якщо існує система, що порушує межу, тобто має надлишок ентропії, тоді, як стверджував Бекенштейн, можна було б порушити другий закон термодинаміки, опустивши систему в чорну діру. У 1995 році Тед Джекобсон показав, що рівняння Ейнштейна (рівняння гравітаційного поля в загальній теорії відносності) можуть бути виведені з припущення про істинність межі Бекенштейна і законів термодинаміки. Однак, незважаючи на ряд запропонованих аргументів, які показували, що в тій чи іншій формі межа неминуче повинна існувати для взаємної несуперечливості законів термодинаміки і загальної теорії відносності, точне формулювання межі було предметом дискусій.
Доведення у квантовій теорії поля
Доказ зв'язку Бекенштейна в рамках квантової теорії поля був наданий Казіні в 2008 році. Одним із найважливіших інсайтів доведення було знайти правильну інтерпретацію величин, що з’являються з обох сторін виразу.
Наївні визначення ентропії та густини енергії в квантовій теорії поля страждають від ультрафіолетової розбіжності. У випадку з межею Бекенштейна ультрафіолетових розбіжностей можна уникнути, взявши різницю між величинами, обчисленими в збудженому стані, і тими ж величинами, обчисленими у стані вакууму. Наприклад, для заданої області простору Казіні визначає ентропію ліворуч від межі Бекенштейна як:
де - це ентропія фон Неймана зниженої матриці густини , пов'язана з у збудженому стані , а - відповідна ентропія фон Неймана для стану вакууму .
Праворуч від межі Бекенштейна важким моментом є суворе тлумачення величини , де є характерною шкалою довжини системи і є характерною енергією. Цей виріб має ті самі одиниці виміру, що і генератор імпульса Лоренца, і природним аналогом імпульсу в цій ситуації є модульний гамільтоніан стану вакууму . Казіні визначає праву частину межі Бекенштейна як різницю між значенням очікування модульного гамільтоніана в збудженому стані та вакуумному стані,
Відповідно до цих визначень межа читається як
які можна переставити, щоб отримати
.
Це просто твердження про позитивність відносної ентропії, що доводить межу Бекенштейна.
Приклади
Чорні діри
Ентропія тривимірних чорних дір, яка обчислюється за формулою Бекенштейна і Хокінга, точно насичує межу Бекенштейна:
де k — стала Больцмана, A — двовимірна площа горизонту подій чорної діри в одиницях планківської довжини, . Межа тісно пов'язана з термодинамікою чорних дір, голографічним принципом і [en] в квантової гравітації і може бути виведена з передбачуваної сильної форми останнього.
Людський мозок
У середньому людський мозок має масу 1,5 кг і об'ємом 1,26 л. Якщо мозок апроксимувати сферою, її радіус буде 6,7 см.
Межа Бекенштейна для кількості інформації в такому випадку складе близько біт, що представляє максимальну кількість інформації, необхідну для повного відтворення середнього людського мозку аж до квантового рівня, а кількість квантових станів людського мозку має бути менше приблизно .
Див. також
Примітки
- Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, DOI:10.1103/PhysRevD.23.287, Bibcode: 1981PhRvD..23..287B..
- Jacob D. Bekenstein. Black Holes and Entropy // Physical Review D. — 1973-04-15. — Т. 7, вип. 8. — С. 2339. — DOI:10.1103/PhysRevD.7.2333.
- (англ.). www.pbs.org. Архів оригіналу за 13 жовтня 2018. Процитовано 30 листопада 2018.
- Stephen Hawking. {{{Заголовок}}}. — .
- Frank J. Tipler, The structure of the world from pure numbers// [en], Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897—964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode: 2005RPPh...68..897T, p. 902.. Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // arXiv:0704.3276, April 24, 2007, p. 8.
- [en]. Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State // Physical Review Letters, Vol. 75, Issue 7 (August 14, 1995), pp. 1260—1263, DOI:10.1103/PhysRevLett.75.1260, Bibcode: 1995PhRvL..75.1260J. Also at arXiv:gr-qc/9504004, April 4, 1995. Also available here [ 7 жовтня 2012 у Wayback Machine.] and here [ 9 липня 2010 у Wayback Machine.]. Additionally available as an entry [ 2011-10-01 у Wayback Machine.]in the [en] 1995 essay competition. .
- [en]. [en]. — New York, N.Y.: Basic Books. — 2002. — p. 173, 175.
- Jacob D. Bekenstein. How Does the Entropy/Information Bound Work? // [en], Vol. 35, No. 11 (November 2005), p. 1805—1823, DOI:10.1007/s10701-005-7350-7, Bibcode: 2005FoPh...35.1805B. Also at arXiv:quant-ph/0404042, April 7, 2004.
- Jacob D. Bekenstein. Bekenstein bound [ 24 серпня 2019 у Wayback Machine.] // Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (October 31, 2008), p. 7374, DOI:10.4249/scholarpedia.7374.
- Raphael Bousso. Holography in general space-times // [en], Vol. 1999, Issue 6 (June 1999), Art. No. 28, 24 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/06/028, Bibcode: 1999JHEP...06..028B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/9906022, 3 June 1999.
- Raphael Bousso. A covariant entropy conjecture // [en], Vol. 1999, Issue 7 (July 1999), Art. No. 4, 34 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/07/004, Bibcode: 1999JHEP...07..004B. Mirror link. Also at arXiv:hep-th/9905177, 24 May 1999.
- Raphael Bousso. The holographic principle for general backgrounds // [en], Vol. 17, No. 5 (March 7, 2000), p. 997—1005, DOI:10.1088/0264-9381/17/5/309, Bibcode: 2000CQGra..17..997B. Also at arXiv:hep-th/9911002, 2 November 1999.
- Jacob D. Bekenstein. Holographic bound from second law of thermodynamics // [en], Vol. 481, Issues 2-4 (May 25, 2000), p. 339—345, DOI:10.1016/S0370-2693(00)00450-0, Bibcode: 2000PhLB..481..339B. Also at arXiv:hep-th/0003058, 8 March 2000.
- Raphael Bousso. The holographic principle [ 2011-08-12 у Wayback Machine.]// Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No. 3 (July 2002), p. 825—874, DOI:10.1103/RevModPhys.74.825, Bibcode: 2002RvMP...74..825B.. Also at arXiv:hep-th/0203101, 12 March 2002.
- Jacob D. Bekenstein. Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram// Scientific American, Vol. 289, No. 2 (August 2003), p. 58—65..
- Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan, [en]. Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound // Physical Review D, Vol. 68, Issue 6 (15 September 2003), Art. No. 064001, 7 pages, DOI:10.1103/PhysRevD.68.064001, Bibcode: 2003PhRvD..68f4001B. Also at arXiv:hep-th/0305149, 19 May 2003.
- Jacob D. Bekenstein. Black holes and information theory // [en], Vol. 45, Issue 1 (January 2004), p. 31—43, DOI:10.1080/00107510310001632523, Bibcode: 2003ConPh..45...31B. Also at arXiv:quant-ph/0311049, 9 November 2003. Also at arXiv:quant-ph/0311049, 9 November 2003.
- Frank J. Tipler. The structure of the world from pure numbers] // [en], Vol. 68, No. 4 (April 2005), p. 897—964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode: 2005RPPh...68..897T. . Also released as Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything // arXiv:0704.3276, 24 April 2007. Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein's original formulation of the bound is the correct form. See in particular the paragraph beginning with «A few points …» on p. 903 of the Rep. Prog. Phys. article (or p. 9 of the arXiv version), and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the article.
- Casini, Horacio (2008). Relative entropy and the Bekenstein bound. Classical and Quantum Gravity. 25 (20): 205021. arXiv:0804.2182. Bibcode:2008CQGra..25t5021C. doi:10.1088/0264-9381/25/20/205021.
Література
- J. D. Bekenstein, «Black Holes and the Second Law», Lettere al Nuovo Cimento, Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737—740, DOI:10.1007/BF02757029, Bibcode: 1972NCimL...4..737B. Mirror link.
- Jacob D. Bekenstein, «Black Holes and Entropy», Physical Review D, Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333—2346, DOI:10.1103/PhysRevD.7.2333, Bibcode: 1973PhRvD...7.2333B. Mirror link.
- Jacob D. Bekenstein, «Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics», Physical Review D, Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292-3300, DOI:10.1103/PhysRevD.9.3292, Bibcode: 1974PhRvD...9.3292B. Mirror link.
- Jacob D. Bekenstein, «Statistical black-hole thermodynamics», Physical Review D, Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077-3085, DOI:10.1103/PhysRevD.12.3077, Bibcode: 1975PhRvD..12.3077B. Mirror link.
- Jacob D. Bekenstein, «Black-hole thermodynamics», Physics Today, Vol. 33, Issue 1 (January 1980), pp. 24-31, DOI:10.1063/1.2913906, Bibcode: 1980PhT....33a..24B. Mirror link.
- Jacob D. Bekenstein, «Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems», Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287—298, DOI:10.1103/PhysRevD.23.287, Bibcode: 1981PhRvD..23..287B. Mirror link.
- Jacob D. Bekenstein, «Energy Cost of Information Transfer», Physical Review Letters, Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623—626, DOI:10.1103/PhysRevLett.46.623, Bibcode: 1981PhRvL..46..623B. Mirror link.
- Jacob D. Bekenstein, «Specific entropy and the sign of the energy», Physical Review D, Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950—953, DOI:10.1103/PhysRevD.26.950, Bibcode: 1982PhRvD..26..950B.
- Jacob D. Bekenstein, «Entropy content and information flow in systems with limited energy», Physical Review D, Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669—1679, DOI:10.1103/PhysRevD.30.1669, Bibcode: 1984PhRvD..30.1669B. Mirror link.
- Jacob D. Bekenstein, «Communication and energy», Physical Review A, Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437-3449, DOI:10.1103/PhysRevA.37.3437, Bibcode: 1988PhRvA..37.3437B. Mirror link.
- Marcelo Schiffer and Jacob D. Bekenstein, «Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields», Physical Review D, Vol. 39, Issue 4 (February 15, 1989), pp. 1109—1115, DOI:10.1103/PhysRevD.39.1109 PMID 9959747, Bibcode: 1989PhRvD..39.1109S.
- Jacob D. Bekenstein, «Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible?», [en], Vol. 28, Issue 9 (September 1989), pp. 967—981, DOI:10.1007/BF00670342, Bibcode: 1989IJTP...28..967B.
- Jacob D. Bekenstein, «Entropy bounds and black hole remnants», Physical Review D, Vol. 49, Issue 4 (February 15, 1994), pp. 1912—1921, DOI:10.1103/PhysRevD.49.1912, Bibcode: 1994PhRvD..49.1912B. Also at arXiv:gr-qc/9307035, July 25, 1993.
- Oleg B. Zaslavskii, «Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes», [en], Vol. 13, No. 1 (January 1996), pp. L7-L11, DOI:10.1088/0264-9381/13/1/002, Bibcode: 1996CQGra..13L...7Z. See also O. B. Zaslavskii, «Corrigendum to 'Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes'», [en], Vol. 13, No. 9 (September 1996), p. 2607, DOI:10.1088/0264-9381/13/9/024, Bibcode: 1996CQGra..13.2607Z.
- Jacob D. Bekenstein, «Non-Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics», Physical Review D, Vol. 60, Issue 12 (December 15, 1999), Art. No. 124010, 9 pages, DOI:10.1103/PhysRevD.60.124010, Bibcode: 1999PhRvD..60l4010B. Also at arXiv:gr-qc/9906058, June 16, 1999.
Джерела
- Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein bound» [ 14 квітня 2021 у Wayback Machine.], Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374, DOI:10.4249/scholarpedia.7374.
- Jacob D. Bekenstein, «Bekenstein-Hawking entropy» [ 16 жовтня 2011 у Wayback Machine.], Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, DOI:10.4249/scholarpedia.7375.
- Jacob D. Bekenstein's website [ 8 жовтня 2018 у Wayback Machine.] at [en], Hebrew University of Jerusalem, which contains a number of articles on the Bekenstein bound.
- сторінка Яакова Бекенштейна [ 8 жовтня 2018 у Wayback Machine.] (Єврейський університет у Єрусалимі), на якій опубліковано ряд статей про межу Бекенштейна.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Mezha Bekenshtejna ce verhnya mezha entropiyi S abo kilkosti informaciyi I yaki mozhut mistitisya v zadanij obmezhenij oblasti prostoru sho maye skinchennu kilkist energiyi abo z inshogo boku maksimalna kilkist informaciyi neobhidna dlya idealnogo opisu zadanoyi fizichnoyi sistemi azh do kvantovogo rivnya Mayetsya na uvazi sho informaciya pro fizichnu sistemu abo informaciya neobhidna dlya idealnogo opisu sistemi povinna buti skinchennoyu yaksho sistema zajmaye skinchennij prostir i maye skinchennu energiyu Vidpovidno do mezhi Bekenshtejna entropiya chornoyi diri proporcijna chislu plankivskih odinic ploshi yaki potribni dlya pokrittya gorizontu podij chornoyi diri Z tochki zoru informatiki ce oznachaye sho isnuye maksimum shvidkosti obrobki informaciyi mezha Bremermanna dlya fizichnoyi sistemi yaka maye skinchenni rozmiri i energiyu i sho mashina Tyuringa z skinchennimi fizichnimi rozmirami i neobmezhenoyi pam yattyu fizichno ne mozhe buti realizovana Bekenshtejn pokazav sho maksimum entropiyi pov yazanij z tilom dosyagayetsya pri peretvorenni jogo v chornu diru Inshimi slovami pri dosyagnenni mezhi Bekenshtejna nosij informaciyi zdijsnyuye gravitacijnij kolaps peretvoryuyuchis v chornu diru FormuliUniversalne formulyuvannya obmezhennya bulo spochatku vidkrite Yaakovom Bekenshtejnom yak nerivnist S 2 p k R E ℏ c displaystyle S leqslant frac 2 pi kRE hbar c de S entropiya k stala Bolcmana R radius sferi sho ohoplyuye cyu sistemu E sumarna masa energiya vklyuchayuchi masu spokoyu ħ privedena stala Planka a c shvidkist svitla Nezvazhayuchi na istotnu rol gravitaciyi viraz ne mistit gravitacijnoyi staloyi G U zastosuvanni do informaciyi obmezhennya formulyuyetsya u viglyadi I 2 p R E ℏ c ln 2 displaystyle I leqslant frac 2 pi RE hbar c ln 2 de I kilkist informaciyi virazhena yak chislo bitiv sho mistyatsya v kvantovih stanah v sferi Mnozhnik ln2 pohodit vid viznachennya kilkosti informaciyi yak logarifma za osnovoyu 2 vid chisla kvantovih staniv I l o g 2 O displaystyle I log 2 O Vikoristovuyuchi ekvivalentnist masi i energiyi informacijna mezha mozhe buti pereformulovana yak I 2 p c R m ℏ ln 2 2 576 9082 10 43 m R displaystyle I leqslant frac 2 pi cRm hbar ln 2 approx 2 5769082 cdot 10 43 mR de m masa sistemi v kilogramah a radius R virazhenij v metrah PohodzhennyaBekenshtejn viviv mezhu vihodyachi z evristichnih argumentiv sho stosuyutsya chornih dir Yaksho isnuye sistema sho porushuye mezhu tobto maye nadlishok entropiyi todi yak stverdzhuvav Bekenshtejn mozhna bulo b porushiti drugij zakon termodinamiki opustivshi sistemu v chornu diru U 1995 roci Ted Dzhekobson pokazav sho rivnyannya Ejnshtejna rivnyannya gravitacijnogo polya v zagalnij teoriyi vidnosnosti mozhut buti vivedeni z pripushennya pro istinnist mezhi Bekenshtejna i zakoniv termodinamiki Odnak nezvazhayuchi na ryad zaproponovanih argumentiv yaki pokazuvali sho v tij chi inshij formi mezha neminuche povinna isnuvati dlya vzayemnoyi nesuperechlivosti zakoniv termodinamiki i zagalnoyi teoriyi vidnosnosti tochne formulyuvannya mezhi bulo predmetom diskusij Dovedennya u kvantovij teoriyi polyaDokaz zv yazku Bekenshtejna v ramkah kvantovoyi teoriyi polya buv nadanij Kazini v 2008 roci Odnim iz najvazhlivishih insajtiv dovedennya bulo znajti pravilnu interpretaciyu velichin sho z yavlyayutsya z oboh storin virazu Nayivni viznachennya entropiyi ta gustini energiyi v kvantovij teoriyi polya strazhdayut vid ultrafioletovoyi rozbizhnosti U vipadku z mezheyu Bekenshtejna ultrafioletovih rozbizhnostej mozhna uniknuti vzyavshi riznicyu mizh velichinami obchislenimi v zbudzhenomu stani i timi zh velichinami obchislenimi u stani vakuumu Napriklad dlya zadanoyi oblasti prostoru V displaystyle V Kazini viznachaye entropiyu livoruch vid mezhi Bekenshtejna yak S V S r V S r V 0 t r r V log r V t r r V 0 log r V 0 displaystyle S V S rho V S rho V 0 mathrm tr rho V log rho V mathrm tr rho V 0 log rho V 0 de S r V displaystyle S rho V ce entropiya fon Nejmana znizhenoyi matrici gustini r V displaystyle rho V pov yazana z V displaystyle V u zbudzhenomu stani r displaystyle rho a S r V 0 displaystyle S rho V 0 vidpovidna entropiya fon Nejmana dlya stanu vakuumu r 0 displaystyle rho 0 Pravoruch vid mezhi Bekenshtejna vazhkim momentom ye suvore tlumachennya velichini 2 p R E displaystyle 2 pi RE de R displaystyle R ye harakternoyu shkaloyu dovzhini sistemi i E displaystyle E ye harakternoyu energiyeyu Cej virib maye ti sami odinici vimiru sho i generator impulsa Lorenca i prirodnim analogom impulsu v cij situaciyi ye modulnij gamiltonian stanu vakuumu K log r V 0 displaystyle K log rho V 0 Kazini viznachaye pravu chastinu mezhi Bekenshtejna yak riznicyu mizh znachennyam ochikuvannya modulnogo gamiltoniana v zbudzhenomu stani ta vakuumnomu stani K V t r K r V t r K r V 0 displaystyle K V mathrm tr K rho V mathrm tr K rho V 0 Vidpovidno do cih viznachen mezha chitayetsya yak S V K V displaystyle S V leq K V yaki mozhna perestaviti shob otrimati t r r V log r V t r r V log r V 0 0 displaystyle mathrm tr rho V log rho V mathrm tr rho V log rho V 0 geq 0 Ce prosto tverdzhennya pro pozitivnist vidnosnoyi entropiyi sho dovodit mezhu Bekenshtejna PrikladiChorni diri Entropiya trivimirnih chornih dir yaka obchislyuyetsya za formuloyu Bekenshtejna i Hokinga tochno nasichuye mezhu Bekenshtejna r s 2 G M c 2 displaystyle r s frac 2GM c 2 A 4 p r s 2 16 p G 2 M 2 c 4 displaystyle A 4 pi r s 2 frac 16 pi G 2 M 2 c 4 l P 2 ℏ G c 3 displaystyle l P 2 hbar G c 3 S k A 4 l P 2 4 p k G M 2 ℏ c displaystyle S frac kA 4l P 2 frac 4 pi kGM 2 hbar c de k stala Bolcmana A dvovimirna plosha gorizontu podij chornoyi diri v odinicyah plankivskoyi dovzhini l P 2 ℏ G c 3 displaystyle l P 2 hbar G c 3 Mezha tisno pov yazana z termodinamikoyu chornih dir golografichnim principom i en v kvantovoyi gravitaciyi i mozhe buti vivedena z peredbachuvanoyi silnoyi formi ostannogo Lyudskij mozok U serednomu lyudskij mozok maye masu 1 5 kg i ob yemom 1 26 l Yaksho mozok aproksimuvati sferoyu yiyi radius bude 6 7 sm Mezha Bekenshtejna dlya kilkosti informaciyi v takomu vipadku sklade blizko 2 6 10 42 displaystyle 2 6 cdot 10 42 bit sho predstavlyaye maksimalnu kilkist informaciyi neobhidnu dlya povnogo vidtvorennya serednogo lyudskogo mozku azh do kvantovogo rivnya a kilkist O 2 I displaystyle O 2 I kvantovih staniv lyudskogo mozku maye buti menshe priblizno 10 7 8 10 41 displaystyle 10 7 8 cdot 10 41 Div takozhPrincip Landauera Kolmogorovska skladnist Termodinamika chornih dir Bolcmanivskij mozok Cifrova fizika ru Mezha ChandrasekaraPrimitkiJacob D Bekenstein Universal upper bound on the entropy to energy ratio for bounded systems Physical Review D Vol 23 No 2 January 15 1981 pp 287 298 DOI 10 1103 PhysRevD 23 287 Bibcode 1981PhRvD 23 287B Jacob D Bekenstein Black Holes and Entropy Physical Review D 1973 04 15 T 7 vip 8 S 2339 DOI 10 1103 PhysRevD 7 2333 angl www pbs org Arhiv originalu za 13 zhovtnya 2018 Procitovano 30 listopada 2018 Stephen Hawking Zagolovok ISBN 9781473696006 Frank J Tipler The structure of the world from pure numbers en Vol 68 No 4 April 2005 pp 897 964 DOI 10 1088 0034 4885 68 4 R04 Bibcode 2005RPPh 68 897T p 902 Also released as Feynman Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything arXiv 0704 3276 April 24 2007 p 8 en Thermodynamics of Spacetime The Einstein Equation of State Physical Review Letters Vol 75 Issue 7 August 14 1995 pp 1260 1263 DOI 10 1103 PhysRevLett 75 1260 Bibcode 1995PhRvL 75 1260J Also at arXiv gr qc 9504004 April 4 1995 Also available here 7 zhovtnya 2012 u Wayback Machine and here 9 lipnya 2010 u Wayback Machine Additionally available as an entry 2011 10 01 u Wayback Machine in the en 1995 essay competition en en New York N Y Basic Books 2002 p 173 175 Jacob D Bekenstein How Does the Entropy Information Bound Work en Vol 35 No 11 November 2005 p 1805 1823 DOI 10 1007 s10701 005 7350 7 Bibcode 2005FoPh 35 1805B Also at arXiv quant ph 0404042 April 7 2004 Jacob D Bekenstein Bekenstein bound 24 serpnya 2019 u Wayback Machine Scholarpedia Vol 3 No 10 October 31 2008 p 7374 DOI 10 4249 scholarpedia 7374 Raphael Bousso Holography in general space times en Vol 1999 Issue 6 June 1999 Art No 28 24 pages DOI 10 1088 1126 6708 1999 06 028 Bibcode 1999JHEP 06 028B Mirror link Also at arXiv hep th 9906022 3 June 1999 Raphael Bousso A covariant entropy conjecture en Vol 1999 Issue 7 July 1999 Art No 4 34 pages DOI 10 1088 1126 6708 1999 07 004 Bibcode 1999JHEP 07 004B Mirror link Also at arXiv hep th 9905177 24 May 1999 Raphael Bousso The holographic principle for general backgrounds en Vol 17 No 5 March 7 2000 p 997 1005 DOI 10 1088 0264 9381 17 5 309 Bibcode 2000CQGra 17 997B Also at arXiv hep th 9911002 2 November 1999 Jacob D Bekenstein Holographic bound from second law of thermodynamics en Vol 481 Issues 2 4 May 25 2000 p 339 345 DOI 10 1016 S0370 2693 00 00450 0 Bibcode 2000PhLB 481 339B Also at arXiv hep th 0003058 8 March 2000 Raphael Bousso The holographic principle 2011 08 12 u Wayback Machine Reviews of Modern Physics Vol 74 No 3 July 2002 p 825 874 DOI 10 1103 RevModPhys 74 825 Bibcode 2002RvMP 74 825B Also at arXiv hep th 0203101 12 March 2002 Jacob D Bekenstein Information in the Holographic Universe Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram Scientific American Vol 289 No 2 August 2003 p 58 65 Raphael Bousso Eanna E Flanagan en Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound Physical Review D Vol 68 Issue 6 15 September 2003 Art No 064001 7 pages DOI 10 1103 PhysRevD 68 064001 Bibcode 2003PhRvD 68f4001B Also at arXiv hep th 0305149 19 May 2003 Jacob D Bekenstein Black holes and information theory en Vol 45 Issue 1 January 2004 p 31 43 DOI 10 1080 00107510310001632523 Bibcode 2003ConPh 45 31B Also at arXiv quant ph 0311049 9 November 2003 Also at arXiv quant ph 0311049 9 November 2003 Frank J Tipler The structure of the world from pure numbers en Vol 68 No 4 April 2005 p 897 964 DOI 10 1088 0034 4885 68 4 R04 Bibcode 2005RPPh 68 897T Also released as Feynman Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything arXiv 0704 3276 24 April 2007 Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein s original formulation of the bound is the correct form See in particular the paragraph beginning with A few points on p 903 of the Rep Prog Phys article or p 9 of the arXiv version and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the article Casini Horacio 2008 Relative entropy and the Bekenstein bound Classical and Quantum Gravity 25 20 205021 arXiv 0804 2182 Bibcode 2008CQGra 25t5021C doi 10 1088 0264 9381 25 20 205021 LiteraturaJ D Bekenstein Black Holes and the Second Law Lettere al Nuovo Cimento Vol 4 No 15 August 12 1972 pp 737 740 DOI 10 1007 BF02757029 Bibcode 1972NCimL 4 737B Mirror link Jacob D Bekenstein Black Holes and Entropy Physical Review D Vol 7 No 8 April 15 1973 pp 2333 2346 DOI 10 1103 PhysRevD 7 2333 Bibcode 1973PhRvD 7 2333B Mirror link Jacob D Bekenstein Generalized second law of thermodynamics in black hole physics Physical Review D Vol 9 No 12 June 15 1974 pp 3292 3300 DOI 10 1103 PhysRevD 9 3292 Bibcode 1974PhRvD 9 3292B Mirror link Jacob D Bekenstein Statistical black hole thermodynamics Physical Review D Vol 12 No 10 November 15 1975 pp 3077 3085 DOI 10 1103 PhysRevD 12 3077 Bibcode 1975PhRvD 12 3077B Mirror link Jacob D Bekenstein Black hole thermodynamics Physics Today Vol 33 Issue 1 January 1980 pp 24 31 DOI 10 1063 1 2913906 Bibcode 1980PhT 33a 24B Mirror link Jacob D Bekenstein Universal upper bound on the entropy to energy ratio for bounded systems Physical Review D Vol 23 No 2 January 15 1981 pp 287 298 DOI 10 1103 PhysRevD 23 287 Bibcode 1981PhRvD 23 287B Mirror link Jacob D Bekenstein Energy Cost of Information Transfer Physical Review Letters Vol 46 No 10 March 9 1981 pp 623 626 DOI 10 1103 PhysRevLett 46 623 Bibcode 1981PhRvL 46 623B Mirror link Jacob D Bekenstein Specific entropy and the sign of the energy Physical Review D Vol 26 No 4 August 15 1982 pp 950 953 DOI 10 1103 PhysRevD 26 950 Bibcode 1982PhRvD 26 950B Jacob D Bekenstein Entropy content and information flow in systems with limited energy Physical Review D Vol 30 No 8 October 15 1984 pp 1669 1679 DOI 10 1103 PhysRevD 30 1669 Bibcode 1984PhRvD 30 1669B Mirror link Jacob D Bekenstein Communication and energy Physical Review A Vol 37 Issue 9 May 1988 pp 3437 3449 DOI 10 1103 PhysRevA 37 3437 Bibcode 1988PhRvA 37 3437B Mirror link Marcelo Schiffer and Jacob D Bekenstein Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields Physical Review D Vol 39 Issue 4 February 15 1989 pp 1109 1115 DOI 10 1103 PhysRevD 39 1109 PMID 9959747 Bibcode 1989PhRvD 39 1109S Jacob D Bekenstein Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible en Vol 28 Issue 9 September 1989 pp 967 981 DOI 10 1007 BF00670342 Bibcode 1989IJTP 28 967B Jacob D Bekenstein Entropy bounds and black hole remnants Physical Review D Vol 49 Issue 4 February 15 1994 pp 1912 1921 DOI 10 1103 PhysRevD 49 1912 Bibcode 1994PhRvD 49 1912B Also at arXiv gr qc 9307035 July 25 1993 Oleg B Zaslavskii Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes en Vol 13 No 1 January 1996 pp L7 L11 DOI 10 1088 0264 9381 13 1 002 Bibcode 1996CQGra 13L 7Z See also O B Zaslavskii Corrigendum to Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes en Vol 13 No 9 September 1996 p 2607 DOI 10 1088 0264 9381 13 9 024 Bibcode 1996CQGra 13 2607Z Jacob D Bekenstein Non Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics Physical Review D Vol 60 Issue 12 December 15 1999 Art No 124010 9 pages DOI 10 1103 PhysRevD 60 124010 Bibcode 1999PhRvD 60l4010B Also at arXiv gr qc 9906058 June 16 1999 DzherelaJacob D Bekenstein Bekenstein bound 14 kvitnya 2021 u Wayback Machine Scholarpedia Vol 3 No 10 2008 p 7374 DOI 10 4249 scholarpedia 7374 Jacob D Bekenstein Bekenstein Hawking entropy 16 zhovtnya 2011 u Wayback Machine Scholarpedia Vol 3 No 10 2008 p 7375 DOI 10 4249 scholarpedia 7375 Jacob D Bekenstein s website 8 zhovtnya 2018 u Wayback Machine at en Hebrew University of Jerusalem which contains a number of articles on the Bekenstein bound storinka Yaakova Bekenshtejna 8 zhovtnya 2018 u Wayback Machine Yevrejskij universitet u Yerusalimi na yakij opublikovano ryad statej pro mezhu Bekenshtejna