Лемніска́та Бу́та — плоска алгебрична крива четвертого порядку, частковий випадок кривої Персея. Названа на честь англо-ірландського математика [en].
Рівняння у декартових координатах:
Види
Форма кривої залежить від співвідношення між параметрами і . Якщо , то рівняння лемніскати набуде вигляду
- , де і
У цьому випадку лемніската Бута є подерою еліпса відносно його центра і називається еліптичною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд
Якщо , то рівняння лемніскати набуде виду
- , де і
У цьому випадку лемніската Бута є подерою гіперболи відносно її центра і називається гіперболічною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд
Часткові випадки
- При лемніската Бута вироджується у два кола
- При лемніската Бута вироджується у лемніскату Бернуллі.
Властивості
- Лемніската Бута — ортогональна проєкція на площину xOy лінії перетину поверхні параболоїда з поверхнею конуса
- Лемніскату Бута можна отримати інверсією кривої другого порядку з центром у початку координат.
Площа
За допомогою рівняння лемніскати у полярних координатах можна визначити площу, яку вона обмежує. Для еліптичної лемніскати:
Для гіперболічної лемніскати:
Див. також
Джерела
- А. А. Савелов. Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / Под ред. А. П. Нордена. — М. : Физматлит, 1960. — С. 144—146.
- Математическая энциклопедия / Под. ред. И. М. Виноградова. — Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 566.
- Weisstein, Eric W. Hippopede(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Courbe de Booth [ 12 травня 2020 у Wayback Machine.](фр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lemniska ta Bu ta ploska algebrichna kriva chetvertogo poryadku chastkovij vipadok krivoyi Perseya Nazvana na chest anglo irlandskogo matematika en Lemniskata Buta Rivnyannya u dekartovih koordinatah x2 y2 2 2m2 c x2 2m2 c y2 0 displaystyle x 2 y 2 2 2m 2 c x 2 2m 2 c y 2 0 VidiForma krivoyi zalezhit vid spivvidnoshennya mizh parametrami m displaystyle m i c displaystyle c Yaksho c gt 2m2 displaystyle c gt 2m 2 to rivnyannya lemniskati nabude viglyadu x2 y2 2 a2x2 b2y2 displaystyle x 2 y 2 2 a 2 x 2 b 2 y 2 de a2 2m2 c displaystyle a 2 2m 2 c i b2 c 2m2 displaystyle b 2 c 2m 2 U comu vipadku lemniskata Buta ye poderoyu elipsa vidnosno jogo centra i nazivayetsya eliptichnoyu Yiyi rivnyannya u polyarnih koordinatah maye viglyad r2 a2cos2 ϕ b2sin2 ϕ displaystyle rho 2 a 2 cos 2 phi b 2 sin 2 phi Yaksho c lt 2m2 displaystyle c lt 2m 2 to rivnyannya lemniskati nabude vidu x2 y2 2 a2x2 b2y2 displaystyle x 2 y 2 2 a 2 x 2 b 2 y 2 de a2 2m2 c displaystyle a 2 2m 2 c i b2 2m2 c displaystyle b 2 2m 2 c U comu vipadku lemniskata Buta ye poderoyu giperboli vidnosno yiyi centra i nazivayetsya giperbolichnoyu Yiyi rivnyannya u polyarnih koordinatah maye viglyad r2 a2cos2 ϕ b2sin2 ϕ displaystyle rho 2 a 2 cos 2 phi b 2 sin 2 phi Chastkovi vipadkiPri c 2m2 displaystyle c 2m 2 lemniskata Buta virodzhuyetsya u dva kola x2 y2 2mx 0 displaystyle x 2 y 2 pm 2mx 0 Pri c 0 displaystyle c 0 lemniskata Buta virodzhuyetsya u lemniskatu Bernulli VlastivostiLemniskata Buta ortogonalna proyekciya na ploshinu xOy liniyi peretinu poverhni paraboloyida x2 y2 cz displaystyle x 2 y 2 cz z poverhneyu konusa a2x2 b2y2 c2z2 displaystyle a 2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 Lemniskatu Buta mozhna otrimati inversiyeyu krivoyi drugogo poryadku a2x2 b2y2 k4 displaystyle a 2 x 2 pm b 2 y 2 k 4 z centrom u pochatku koordinat PloshaZa dopomogoyu rivnyannya lemniskati u polyarnih koordinatah mozhna viznachiti ploshu yaku vona obmezhuye Dlya eliptichnoyi lemniskati 2 0p2 a2cos2 ϕ b2sin2 ϕ dϕ p2 a2 b2 displaystyle 2 int limits 0 frac pi 2 a 2 cos 2 phi b 2 sin 2 phi d phi frac pi 2 a 2 b 2 Dlya giperbolichnoyi lemniskati 0arctg ab a2cos2 ϕ b2sin2 ϕ dϕ a2 b22arctg ab ab2 displaystyle int limits 0 operatorname arctg frac a b a 2 cos 2 phi b 2 sin 2 phi d phi frac a 2 b 2 2 operatorname arctg frac a b frac ab 2 Div takozhLemniskata Bernulli Oval KassiniDzherelaA A Savelov Krivye Perseya Ploskie krivye sistematika svojstva primenenie Pod red A P Nordena M Fizmatlit 1960 S 144 146 Matematicheskaya enciklopediya Pod red I M Vinogradova Sovetskaya enciklopediya 1977 T 1 S 566 Weisstein Eric W Hippopede angl na sajti Wolfram MathWorld Courbe de Booth 12 travnya 2020 u Wayback Machine fr