Лема Осґуда

У комплексному аналізі кількох змінних лемою Осґуда називається твердження про еквівалентність кількох означень голоморфної функції кількох змінних. Лема стверджує, що неперервна функція кількох комплексних змінних, що є голоморфною по кожній змінній окремо є голоморфною. Вимога неперервності у твердженні насправді не є необхідною, що є змістом сильнішої теореми Хартогса. Лема названа на честь американського математика Вільяма Фогга Осґуда, який довів її у 1899 році.

Твердження

Якщо комплексна функція ${\displaystyle f(z)}$ є неперервною у відкритій множині ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$і голоморфною по кожній змінній окремо, то вона є голоморфною в D.

Доведення

Виберемо будь-яку точку ${\displaystyle \omega \in D}$ і замкнутий полікруг ${\displaystyle {\bar {\Delta }}(\omega ,r).}$ Оскільки ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною по кожній змінній окремо, багаторазове застосування інтегральної формули Коші (для функцій однієї змінної) приводить до формули

${\displaystyle f(z)=\left({\frac {1}{2\pi i}}\right)^{n}\int \limits _{|\omega _{1}-\xi _{1}|=r_{1}}{d\xi _{1} \over \xi _{1}-z_{1}}\ \int \limits _{|\omega _{2}-\xi _{2}|=r_{2}}{d\xi _{2} \over \xi _{2}-z_{2}}\ \ldots \ \int \limits _{|\omega _{n}-\xi _{n}|=r_{n}}{d\xi _{n} \over \xi _{n}-z_{n}}f(\xi )}$

справедливої ​​при всіх ${\displaystyle z\in \Delta (\omega ,r).}$

Для будь-якої фіксованої точки z підінтегральний вираз у цій формулі є неперервною функцією на компактній області інтегрування, тому повторний інтеграл можна замінити одним кратним інтегралом

${\displaystyle f(z)=\left({\frac {1}{2\pi i}}\right)^{n}\int \limits _{|\omega _{i}-\xi _{i}|=r_{i}}{f(\xi )\ d\xi _{1}\ldots d\xi _{1} \over (\xi _{1}-z_{1})\ldots (\xi _{n}-z_{n})}.}$

Для фіксованої точки ${\displaystyle z\in \Delta (\omega ,r)}$ ряд

${\displaystyle {1 \over (\xi _{1}-z_{1})\ldots (\xi _{n}-z_{n})}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }{(z_{1}-\omega _{1})^{k_{1}}\ldots (z_{n}-\omega _{n})^{k_{n}} \over (\xi _{1}-\omega _{1})^{k_{1}+1}\ldots (\xi _{n}-\omega _{n})^{k_{n}+1}}}$

є абсолютно і рівномірно збіжним при для ${\displaystyle \xi }$ з області інтегрування у кратному інтегралі. Отже, після підстановки цього розкладу в інтеграл і зміни порядку сумування і інтегрування одержується розклад функції ${\displaystyle f(z)}$ у степеневий ряд виду

${\displaystyle \sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z_{1}-\omega _{1})^{k_{1}}\ldots (z_{n}-\omega _{n})^{k_{n}}}$

з коефіцієнтами

${\displaystyle c_{k_{1},\ldots ,k_{n}}=\left({\frac {1}{2\pi i}}\right)^{n}\int \limits _{|\omega _{i}-\xi _{i}|=r_{i}}{f(\xi )\ d\xi _{1}\ldots d\xi _{1} \over (\xi _{1}-\omega _{1})^{k_{1}+1}\ldots (\xi _{n}-\omega _{n})^{k_{n}+1}}.}$

Отже ${\displaystyle f(z)}$є голоморфною функцією.

Примітки

1. Osgood, William F. (1899), Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen, Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg, 52: 462—464, doi:10.1007/BF01476172, ISSN 0025-5831

Див. також

• Голоморфна функція
• Теорема Хартогса

Література

• Morrow, James; Kodaira, Kunihiko (2006) [1971], Complex manifolds, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN , MR 0302937