Для випадку двовимірної поверхні в тривимірному просторі кривиною Га́уса називається добуток головних кривин . Природним буде таке узагальнення кривини Гаусса на випадок -вимірної гіперповерхні.
Означення кривини Гаусса для гіперповерхні
Як відомо, кривина -вимірної гіперповерхні в точці повністю описується головними кривинами:
та відповідними головними напрямками, в яких напрямках кривина геодезичних дорівнює головним кривинам.
Розглянемо (з точністю до знаку) симетричні многочлени, складені з чисел :
Назвемо вищенаведені величини кривинами Гаусса відповідного степеня. Загальна формула кривини Гаусса степеня запишеться так:
Кривини Гаусса є коефіцієнтами характеристичного многочлена для матриці тензора повної кривини гіперповерхні:
Тензорна формула для кривин Гаусса
Формула (3) визначає кривини Гаусса через власні числа тензора повної кривини гіперповерхні . Спробуємо виразити ці величини через компоненти самого тензора в будь-якій системі координат. Для обчислення визначника довільного тензора другого рангу ми маємо таку формулу з використанням тензора метричної матрьошки (дивіться статтю Одиничний антисиметричний тензор):
Підставимо в цю формулу , щоб обчислити лівий вираз формули (4), тоді маємо:
Розкриємо дужки у формулі (6). Оскільки тензор метричної матрьошки не змінюється при синхронній перестановці верхніх та нижніх індексів, то всі доданки при однаковому степені будуть однаковими (їхня кількість дорівнює біноміальному коефіцієнту ), і ми одержуємо:
Оскільки послідовні згортки тензора метричної матрьошки дорівнюють:
То з формули (7) і формули для біноміальних коефіцієнтів знаходимо таку формулу для характеристичного многочлена (поділивши обидві сторони рівняння (7) на ):
Порівнюючи формули (9) і (4), знаходимо таку формулу для кривин Гаусса:
Вираження кривин Гаусса парного степеня через тензор Рімана
Для скалярної кривини гіперповерхні ми мали таку формулу (дивіться статтю Гіперповерхня):
Щоб узагальнити цю формулу на вищі степені, спробуємо замінити добуток двох метричних тензорів у формулі (11) на тензор метричної матрьошки четвертого рангу (дивіться статтю Одиничний антисиметричний тензор):
Для подальших обчислень ми перейдемо в локальну декартову систему координат в одній з точок многовида , та орієнтуємо її вздовж головних напрямків гіперповерхні. В точці матриця метричного тензора буде одиничною:
а тому ми можемо чисельно не розрізняти коваріантні та відповідні контраваріантні компоненти тензорів (верхні та нижні індекси). Тензор Рімана в точці буде в деякому розумінні діагональним, а саме, його ненульові компоненти дорівнюють:
і дорівнюють нулю всі ті компоненти , де друга пара індексів не збігається з з точністю до перестановки в парі.
Ліва частина формули (12) є лінійною формою від тензора Рімана, а коефіцієнтами цієї форми служать компоненти тензора метричної матрьошки. Очевидним узагальненням є розгляд білінійної форми та форм вищих степенів від компонент тензора Рімана. Проведемо обчислення формули (12) ще раз і в такий спосіб, щоб ці обчислення можна було легко узагальнити. Маємо, враховуючи діагональність тензора Рімана:
Далі, два доданки в правій частині формули (15) однакові внаслідок антисиметрії за індексами всередині пари як тензора метричної матрьошки, так і тензора Рімана. Крім того, діагональна компонента метричної матрьошки дорівнює одиниці, оскільки (в наступній формулі додавання за однаковими індексами не проводиться, а індекси різні):
Враховуючи вищесказане і формулу (14), перетворюємо формулу (15) далі:
Тепер перейдемо до обчислення наступної квадратичної форми:
Коефіцієнтами цієї форми служать компоненти тензора метричної матрьошки восьмого рангу. Цей тензор має дві групи індексів, і є антисиметричним за перестановкою індексів всередині цих груп. Обчислюємо аналогічно до формули (15).
Перепозначимо індекси на для спрощення запису:
Всі чотири індекси мають бути попарно різними, оскільки компоненти тензора метричної матрьошки дорівнюють нулю при наявності двох однакових індексів в одній групі. В правій сумі формули (19a) стоять діагональні компоненти тензора метричної матрьошки, які дорівнюють одиниці (аналогічно формулі 16).
Множник 4! при переході до другої суми в формулі (19a) виник внаслідок того, що одному доданку в правій сумі, який характеризується фіксованим набором чотирьох різних чисел , відповідає 4! = 24 однакових за величиною доданки в лівій сумі, які характеризуються перестановками цих чотирьох чисел.
Формули (19), (19a), (19b) легко узагальнюються на форми вищих степенів. Таким чином одержуємо загальну формулу для знаходження кривин Гаусса парного степеня :
Альтернативне виведення формули для кривин Гаусса парного степеня
Скористаємося наступним вираженням тензора Рімана через тензор повної кривини (дивіться статтю Гіперповерхня):
і почнемо в формулі (10) групувати співмножники по два, наприклад починаючи з перших двох (тут ми вважаємо, що степінь кривини Гаусса не менший 2 (), і для спрощення запису опустимо позначення ):
Останнє перетворення справедливе внаслідок антисиметрії тензора метричної матрьошки щодо індексів в верхній групі. Далі, в останньому виразі поміняємо місцями індекси :
Тепер додамо рівняння (22) і (23), при цьому врахувавши (21). Одержуємо, знову перепозначивши індекси:
Множник 2 в лівій частині рівняння (24) з'явився внаслідок групування двох множників . Очевидно, ми можемо подібним чином згрупувати попарно і решту співмножників, тоді в лівій частині ми одержимо множник , а в правій — вираз, в якому бере участь тільки тензор Рімана і тензор метричної матрьошки, тобто ми одержимо формулу (20).
Кривини Гаусса непарного степеня
Кривини Гаусса непарного степеня також пов'язані з тензором Рімана, але складнішими формулами аніж (20). До того ж з цих формул кривина Гаусса виражається неоднозначно через тензор Рімана. Оскільки тут багато нюансів, доцільно буде присвятити окрему статтю .
Значення кривин Гаусса
На початку ми дали означення кривини Гаусса тільки для гіперповерхні (формули 2, 3). Але формула (20), як і формули для знаходження кривини Гаусса непарного степеня, дають змогу поширити це поняття на довільні (абстрактні) многовиди. Таким чином ми можемо розглядати кривини Гаусса як скалярні інваріанти тензора Рімана.
Внутрішня кривина многовида повністю описується тензором Рімана. Але сам по собі тензор — це складний об'єкт. Ми можемо поставити щодо кривини многовида три питання: яка (усереднена) величина цієї кривини, яка анізотропність, яка орієнтація цієї анізотропності. На перші два питання можна дати відповідь, проаналізувавши кривини Гаусса, подібно до того як це робиться для лінійного оператора (тензора другого рангу) через коефіцієнти характеристичного многочлена.
Кривини Гаусса, як скаляри, можна інтегрувати за об'ємом всього многовида (дивіться статтю ). Виявляється, що інтеграл від є топологічним інваріантом -вимірного многовида (не змінюється при неперервній деформації многовида).
Див. також
Джерела
- Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — . Архівовано з джерела 23 січня 2022
- О. Пришляк, Диференціальна геометрія [ 21 січня 2022 у Wayback Machine.], Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2004.
- Погорєлов О. В. Диференціальна геометрія. — М. : Наука, 1974. — 184 с. — .
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). [ 10 вересня 2011 у Wayback Machine.] М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dlya vipadku dvovimirnoyi poverhni v trivimirnomu prostori krivinoyu Ga usa nazivayetsya dobutok golovnih krivin k 1 k 2 displaystyle k 1 k 2 Prirodnim bude take uzagalnennya krivini Gaussa na vipadok n displaystyle n vimirnoyi giperpoverhni Zliva napravo poverhnya z vid yemnoyu gausovoyu krivinoyu giperboloyid poverhnya z nulovoyu gausovoyu krivinoyu cilindr ta poverhnya z dodatnoyu gausovoyu krivinoyu sfera Oznachennya krivini Gaussa dlya giperpoverhniYak vidomo krivina n displaystyle n vimirnoyi giperpoverhni v tochci povnistyu opisuyetsya golovnimi krivinami 1 k 1 k 2 k n displaystyle 1 qquad k 1 k 2 dots k n ta vidpovidnimi golovnimi napryamkami v yakih napryamkah krivina geodezichnih dorivnyuye golovnim krivinam Rozglyanemo z tochnistyu do znaku simetrichni mnogochleni skladeni z chisel 1 k 1 k 2 k n displaystyle 1 qquad k 1 k 2 dots k n 2 K 1 k 1 k 2 k n ik i displaystyle 2 qquad K 1 k 1 k 2 dots k n sum i k i K 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k n 1 k n i lt jk i k j displaystyle qquad K 2 k 1 k 2 k 1 k 3 dots k n 1 k n sum i lt j k i k j displaystyle qquad cdots cdots cdots K n 1 nk 1 k 2 k n displaystyle qquad K n 1 n k 1 k 2 cdots k n Nazvemo vishenavedeni velichini krivinami Gaussa vidpovidnogo stepenya Zagalna formula krivini Gaussa stepenya m displaystyle m zapishetsya tak 3 K m i1 lt i2 lt lt imk i1 k i2 k im displaystyle 3 qquad K m sum i 1 lt i 2 lt dots lt i m k i 1 k i 2 cdots k i m Krivini Gaussa ye koeficiyentami harakteristichnogo mnogochlena dlya matrici tenzora povnoyi krivini giperpoverhni 4 det ldji bji ln K 1 ln 1 K n 1 l K n displaystyle 4 qquad det lambda delta j i b j i lambda n K 1 lambda n 1 dots K n 1 lambda K n Tenzorna formula dlya krivin GaussaFormula 3 viznachaye krivini Gaussa cherez vlasni chisla tenzora povnoyi krivini giperpoverhni bij displaystyle b ij Sprobuyemo viraziti ci velichini cherez komponenti samogo tenzora bij displaystyle b ij v bud yakij sistemi koordinat Dlya obchislennya viznachnika dovilnogo tenzora drugogo rangu aji displaystyle a j i mi mayemo taku formulu z vikoristannyam tenzora metrichnoyi matroshki divitsya stattyu Odinichnij antisimetrichnij tenzor 5 det aji 1n gj1j2 jni1i2 inai1j1ai2j2 ainjn displaystyle 5 qquad det a j i 1 over n g j 1 j 2 dots j n i 1 i 2 dots i n a i 1 j 1 a i 2 j 2 cdots a i n j n Pidstavimo v cyu formulu aji ldji bji displaystyle a j i lambda delta j i b j i shob obchisliti livij viraz formuli 4 todi mayemo 6 n det ldji bji gj1j2 jni1i2 in ldi1j1 bi1j1 ldinjn binjn displaystyle 6 qquad n det lambda delta j i b j i g j 1 j 2 dots j n i 1 i 2 dots i n lambda delta i 1 j 1 b i 1 j 1 cdots lambda delta i n j n b i n j n Rozkriyemo duzhki u formuli 6 Oskilki tenzor metrichnoyi matroshki gj1j2 jni1i2 in displaystyle g j 1 j 2 dots j n i 1 i 2 dots i n ne zminyuyetsya pri sinhronnij perestanovci verhnih ta nizhnih indeksiv to vsi dodanki pri odnakovomu stepeni lm displaystyle lambda m budut odnakovimi yihnya kilkist dorivnyuye binomialnomu koeficiyentu Cnm displaystyle C n m i mi oderzhuyemo 7 n det ldji bji lngs1s2 sns1s2 sn Cn1ln 1gjs2 snis2 snbij Cn2ln 2gj1j2 sni1i2 snbi1j1bi2j2 displaystyle 7 qquad n det lambda delta j i b j i lambda n g s 1 s 2 dots s n s 1 s 2 dots s n C n 1 lambda n 1 g js 2 dots s n is 2 dots s n b i j C n 2 lambda n 2 g j 1 j 2 dots s n i 1 i 2 dots s n b i 1 j 1 b i 2 j 2 dots Oskilki poslidovni zgortki tenzora metrichnoyi matroshki dorivnyuyut 8 gj1j2 jmsm 1sm2 sni1i2 imsm 1sm 2 sn n m gj1 jmi1 im displaystyle 8 qquad g j 1 j 2 dots j m s m 1 s m 2 dots s n i 1 i 2 dots i m s m 1 s m 2 dots s n n m g j 1 dots j m i 1 dots i m To z formuli 7 i formuli dlya binomialnih koeficiyentiv Cnm n m n m displaystyle C n m n over m n m znahodimo taku formulu dlya harakteristichnogo mnogochlena podilivshi obidvi storoni rivnyannya 7 na n displaystyle n 9 det ldji bji ln ln 11 gjibij ln 22 gj1j2i1i2bi1j1bi2j2 displaystyle 9 qquad det lambda delta j i b j i lambda n lambda n 1 over 1 g j i b i j lambda n 2 over 2 g j 1 j 2 i 1 i 2 b i 1 j 1 b i 2 j 2 dots Porivnyuyuchi formuli 9 i 4 znahodimo taku formulu dlya krivin Gaussa 10 K m 1 mm gj1j2 jmi1i2 imbi1j1bi2j2 bimjm displaystyle 10 qquad K m 1 m over m g j 1 j 2 dots j m i 1 i 2 dots i m b i 1 j 1 b i 2 j 2 dots b i m j m Virazhennya krivin Gaussa parnogo stepenya cherez tenzor RimanaDlya skalyarnoyi krivini giperpoverhni mi mali taku formulu divitsya stattyu Giperpoverhnya 11 R gikgjlRijkl 2 i lt jk i k j 2K 2 displaystyle 11 qquad R g ik g jl R ijkl 2 sum i lt j k i k j 2K 2 Shob uzagalniti cyu formulu na vishi stepeni sprobuyemo zaminiti dobutok dvoh metrichnih tenzoriv u formuli 11 na tenzor metrichnoyi matroshki chetvertogo rangu divitsya stattyu Odinichnij antisimetrichnij tenzor 12 gijklRijkl gikgilgjkgjl Rijkl gikgjl gilgjk Rijkl 2R 4K 2 displaystyle 12 qquad g ijkl R ijkl begin vmatrix g ik amp g il g jk amp g jl end vmatrix R ijkl g ik g jl g il g jk R ijkl 2R 4K 2 Dlya podalshih obchislen mi perejdemo v lokalnu dekartovu sistemu koordinat v odnij z tochok mnogovida P displaystyle P ta oriyentuyemo yiyi vzdovzh golovnih napryamkiv giperpoverhni V tochci P displaystyle P matricya metrichnogo tenzora bude odinichnoyu 13 gij dij 1 i j0 i j displaystyle 13 qquad g ij delta ij begin cases 1 amp i j 0 amp i neq j end cases a tomu mi mozhemo chiselno ne rozriznyati kovariantni ta vidpovidni kontravariantni komponenti tenzoriv verhni ta nizhni indeksi Tenzor Rimana v tochci P displaystyle P bude v deyakomu rozuminni diagonalnim a same jogo nenulovi komponenti dorivnyuyut 14 Rijij Rijji k i k j i j displaystyle 14 qquad R ijij R ijji k i k j qquad i neq j i dorivnyuyut nulyu vsi ti komponenti Rijkl displaystyle R ijkl de druga para indeksiv kl displaystyle kl ne zbigayetsya z ij displaystyle ij z tochnistyu do perestanovki v pari Liva chastina formuli 12 ye linijnoyu formoyu vid tenzora Rimana a koeficiyentami ciyeyi formi sluzhat komponenti tenzora metrichnoyi matroshki Ochevidnim uzagalnennyam ye rozglyad bilinijnoyi formi ta form vishih stepeniv vid komponent tenzora Rimana Provedemo obchislennya formuli 12 she raz i v takij sposib shob ci obchislennya mozhna bulo legko uzagalniti Mayemo vrahovuyuchi diagonalnist tenzora Rimana 15 gklijRijkl i j k lgklijRijkl i j gijijRijij gjiijRijji displaystyle 15 qquad g kl ij R ij kl sum i j left sum k l g kl ij R ij kl right sum i j left g ij ij R ij ij g ji ij R ij ji right Dali dva dodanki v pravij chastini formuli 15 odnakovi vnaslidok antisimetriyi za indeksami vseredini pari yak tenzora metrichnoyi matroshki tak i tenzora Rimana Krim togo diagonalna komponenta metrichnoyi matroshki dorivnyuye odinici oskilki v nastupnij formuli dodavannya za odnakovimi indeksami ne provoditsya a indeksi i j displaystyle i j rizni 16 gijij diidjidijdjj 1001 1 displaystyle 16 qquad g ij ij begin vmatrix delta i i amp delta j i delta i j amp delta j j end vmatrix begin vmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end vmatrix 1 Vrahovuyuchi visheskazane i formulu 14 peretvoryuyemo formulu 15 dali 17 gklijRijkl 2 i j1 k i k j 2 2 i lt jk i k j 2 2 K 2 displaystyle 17 qquad g kl ij R ij kl 2 sum i neq j 1 cdot k i k j 2 cdot 2 sum i lt j k i k j 2 cdot 2 K 2 Teper perejdemo do obchislennya nastupnoyi kvadratichnoyi formi 18 F2 R gk1l1k2l2i1j1i2j2Ri1j1k1l1Ri2j2k2l2 displaystyle 18 qquad Phi 2 R g k 1 l 1 k 2 l 2 i 1 j 1 i 2 j 2 R i 1 j 1 k 1 l 1 R i 2 j 2 k 2 l 2 Koeficiyentami ciyeyi formi sluzhat komponenti tenzora metrichnoyi matroshki vosmogo rangu Cej tenzor maye dvi grupi indeksiv i ye antisimetrichnim za perestanovkoyu indeksiv vseredini cih grup Obchislyuyemo analogichno do formuli 15 19 F2 R i1 j1 i2 j2 k1 l1 k2 l2gk1l1k2l2i1j1i2j2Ri1j1k1l1Ri2j2k2l2 22 i1 j1 i2 j2gi1j1i2j2i1j1i2j2Ri1j1i1j1Ri2j2i2j2 displaystyle 19 qquad Phi 2 R sum i 1 j 1 i 2 j 2 left sum k 1 l 1 k 2 l 2 g k 1 l 1 k 2 l 2 i 1 j 1 i 2 j 2 R i 1 j 1 k 1 l 1 R i 2 j 2 k 2 l 2 right 2 2 sum i 1 j 1 i 2 j 2 g i 1 j 1 i 2 j 2 i 1 j 1 i 2 j 2 R i 1 j 1 i 1 j 1 R i 2 j 2 i 2 j 2 Perepoznachimo indeksi i1 j1 i2 j2 displaystyle i 1 j 1 i 2 j 2 na i j k l displaystyle i j k l dlya sproshennya zapisu 19a F2 R 22 i j k lgijklijklRijijRklkl 224 i j k lalldifferentgijklijklk i k j k k k l displaystyle 19a qquad Phi 2 R 2 2 sum i j k l g ijkl ijkl R ij ij R kl kl 2 2 4 sum i j k l over all different g ijkl ijkl k i k j k k k l Vsi chotiri indeksi i j k l displaystyle i j k l mayut buti poparno riznimi oskilki komponenti tenzora metrichnoyi matroshki dorivnyuyut nulyu pri nayavnosti dvoh odnakovih indeksiv v odnij grupi V pravij sumi formuli 19a stoyat diagonalni komponenti tenzora metrichnoyi matroshki yaki dorivnyuyut odinici analogichno formuli 16 19b F2 R 22 i j k lalldifferentk i k j k k k l 22 4 i lt j lt k lt lk i k j k k k l 22 4 K 4 displaystyle 19b qquad Phi 2 R 2 2 sum i j k l over all different k i k j k k k l 2 2 cdot 4 sum i lt j lt k lt l k i k j k k k l 2 2 cdot 4 K 4 Mnozhnik 4 pri perehodi do drugoyi sumi v formuli 19a vinik vnaslidok togo sho odnomu dodanku v pravij sumi yakij harakterizuyetsya fiksovanim naborom chotiroh riznih chisel i lt j lt k lt l displaystyle i lt j lt k lt l vidpovidaye 4 24 odnakovih za velichinoyu dodanki v livij sumi yaki harakterizuyutsya perestanovkami cih chotiroh chisel Formuli 19 19a 19b legko uzagalnyuyutsya na formi vishih stepeniv Takim chinom oderzhuyemo zagalnu formulu dlya znahodzhennya krivin Gaussa parnogo stepenya 2m displaystyle 2m 20 K 2m 12m 2m gk1l1 kmlmi1j1 imjmRi1j1k1l1 Rimjmkmlm displaystyle 20 qquad K 2m 1 over 2 m 2m g k 1 l 1 dots k m l m i 1 j 1 dots i m j m R i 1 j 1 k 1 l 1 cdots R i m j m k m l m Alternativne vivedennya formuli dlya krivin Gaussa parnogo stepenyaSkoristayemosya nastupnim virazhennyam tenzora Rimana cherez tenzor povnoyi krivini divitsya stattyu Giperpoverhnya 21 Rijkl bikbjl bjkbil displaystyle 21 qquad R ij kl b i k b j l b j k b i l i pochnemo v formuli 10 grupuvati spivmnozhniki po dva napriklad pochinayuchi z pershih dvoh tut mi vvazhayemo sho stepin 2m displaystyle 2m krivini Gaussa ne menshij 2 m 1 displaystyle m geq 1 i dlya sproshennya zapisu opustimo poznachennya m displaystyle m 22 2m K gkl ij bikbjl gkl ji bikbjl displaystyle 22 qquad 2m K g kl dots ij dots b i k b j l cdots g kl dots ji dots b i k b j l cdots Ostannye peretvorennya spravedlive vnaslidok antisimetriyi tenzora metrichnoyi matroshki shodo indeksiv v verhnij grupi Dali v ostannomu virazi pominyayemo miscyami indeksi i j displaystyle i j 23 2m K gkl ij bjkbil displaystyle 23 qquad 2m K g kl dots ij dots b j k b i l cdots Teper dodamo rivnyannya 22 i 23 pri comu vrahuvavshi 21 Oderzhuyemo znovu perepoznachivshi indeksi 24 2 2m K 2m gk1l1k2l2 kmlmi1j1i2j2 imjmRi1j1k1l1bi2k2 bimkmbjmlm displaystyle 24 qquad 2 2m K 2m g k 1 l 1 k 2 l 2 dots k m l m i 1 j 1 i 2 j 2 dots i m j m R i 1 j 1 k 1 l 1 b i 2 k 2 cdots b i m k m b j m l m Mnozhnik 2 v livij chastini rivnyannya 24 z yavivsya vnaslidok grupuvannya dvoh mnozhnikiv bi1k1bj1l1 displaystyle b i 1 k 1 b j 1 l 1 Ochevidno mi mozhemo podibnim chinom zgrupuvati poparno i reshtu spivmnozhnikiv todi v livij chastini mi oderzhimo mnozhnik 2m displaystyle 2 m a v pravij viraz v yakomu bere uchast tilki tenzor Rimana i tenzor metrichnoyi matroshki tobto mi oderzhimo formulu 20 Krivini Gaussa neparnogo stepenyaKrivini Gaussa neparnogo stepenya takozh pov yazani z tenzorom Rimana ale skladnishimi formulami anizh 20 Do togo zh z cih formul krivina Gaussa virazhayetsya neodnoznachno cherez tenzor Rimana Oskilki tut bagato nyuansiv docilno bude prisvyatiti okremu stattyu Znachennya krivin GaussaNa pochatku mi dali oznachennya krivini Gaussa tilki dlya giperpoverhni formuli 2 3 Ale formula 20 yak i formuli dlya znahodzhennya krivini Gaussa neparnogo stepenya dayut zmogu poshiriti ce ponyattya na dovilni abstraktni mnogovidi Takim chinom mi mozhemo rozglyadati krivini Gaussa yak skalyarni invarianti tenzora Rimana Vnutrishnya krivina mnogovida povnistyu opisuyetsya tenzorom Rimana Ale sam po sobi tenzor ce skladnij ob yekt Mi mozhemo postaviti shodo krivini mnogovida tri pitannya yaka userednena velichina ciyeyi krivini yaka anizotropnist yaka oriyentaciya ciyeyi anizotropnosti Na pershi dva pitannya mozhna dati vidpovid proanalizuvavshi krivini Gaussa podibno do togo yak ce robitsya dlya linijnogo operatora tenzora drugogo rangu cherez koeficiyenti harakteristichnogo mnogochlena Krivini Gaussa yak skalyari mozhna integruvati za ob yemom vsogo mnogovida divitsya stattyu Viyavlyayetsya sho integral vid K n displaystyle K n ye topologichnim invariantom n displaystyle n vimirnogo mnogovida ne zminyuyetsya pri neperervnij deformaciyi mnogovida Div takozhKrivina rimanovih mnogovidiv Karl Fridrih Gauss Krivina matematika DzherelaBorisenko O A Diferencialna geometriya i topologiya Navch posibnik dlya stud Harkiv Osnova 1995 S 41 46 ISBN 5 7768 0388 8 Arhivovano z dzherela 23 sichnya 2022 O Prishlyak Diferencialna geometriya 21 sichnya 2022 u Wayback Machine Kiyivskij nacionalnij universitet imeni Tarasa Shevchenka 2004 Pogoryelov O V Diferencialna geometriya M Nauka 1974 184 s ISBN 5 93972 068 4 Rashevskij P K Kurs differencialnoj geometrii 3 e izdanie 10 veresnya 2011 u Wayback Machine M L GITTL 1950