Ця стаття є сирим з іншої мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. (лютий 2015) |
Інтуїтивна логіка (інколи конструктивна логіка) — система символічної логіки, яка відрізняється від класичної логіки, замінюючи традиційне поняття істини поняттям конструктивно доказової істини. Наприклад, у класичній логіці, пропозиціональні формули (предикати) завжди приймають значення істинності з множини двох тривіальних елементів тверджень («істина» і «хиба» відповідно) незалежно від того, чи є у нас прямий доказ для будь-якого випадку. Навпаки, пропозиціональним формулам (предикатам) в інтуїтивній логіці взагалі не надається жодного певного значення істинності: натомість вони вважаються «істинними» лише тоді, коли у нас є прямий доказ. (Замість «формула істинна на основі прямого доказу» можна також сказати, що формула [en] доказом у сенсі Каррі — Говарда). Тому операції в інтуїтивній логіці зберігають [ru], щодо доказу та доказової операції, а не оцінки істини.
Недоведеним твердженням в інтуїтивній логіці не надаються проміжні значення істинності (як іноді помилково стверджується). Справді, можна довести, що у них немає третього значення істинності, що було визначено Гливенком у 1928. Замість цього вони залишаються з невідомим значенням істинності, доти, доки вони або не доведені, або не спростовані. Твердження спростовуються, виводом з них протиріччя.
Наслідком цього погляду є те, що в інтуїтивної логіки немає інтерпретації як двозначної логіки, або навіть як логіки з кінцевим знаком. Попри те, що інтуїтивна логіка зберігає тривіальні судження наслідувані від класичної логіки, кожен доказ пропозиціональної формули вважається допустимим пропозиціональним значенням, таким чином, за поняттям твердження [en] про множини, пропозиціональні формули (потенційні чи не кінцеві) — це множини особистих доказів.
Семантично, інтуїтивна логіка є обмеженням класичної логіки, в якій закон виключеного третього та усунення подвійного заперечення не допускаються як аксіоми. Закон виключеного третього та усунення подвійного заперечення можуть все ще бути доведені для деяких висловлювань на індивідуальній основі, але не виконуватися універсально, як вони це робили з класичною логікою.
Кілька семантик інтуїтивної логіки було вивчено. Одна семантика відбиває класичну [en], але використовує алгебру Гейтінга замість булевої алгебри. Інша семантика використовує модель Кріпке.
Інтуїтивна логіка практично корисна, бо її обмеження створюють докази, у яких є [en], роблячи її також відповідною для інших форм математичного конструктивізму. Неофіційно, це означає, що, якщо у Вас є конструктивний доказ того, що об'єкт існує, то Ви можете перетворити цей конструктивний доказ в алгоритм для генерації його прикладу.
Формалізована інтуїтивна логіка була спочатку розроблена Арендом Гейтінгом, щоб забезпечити формальну основу для програми інтуїтивізму Брауера.
Синтаксис
Синтаксис формул інтуїтивної логіки подібний логіці висловлювань або логіці першого порядку. Проте, інтуїціоністські зв'язки не визначені один з одним таким самим чином, як у класичній логіці, отже, їх вибір має значення. В інтуїціоністській логіці прийнято використовувати →, ∧, ∨, ⊥ як основні зв'язки, розглядаючи ¬A як скорочення для (A → ⊥). В інтуїціоністській логіці першого порядку необхідні обидва квантора ∃, ∀.
Багато тавтологій класичної логіки більше не можуть доводитися в інтуїтивній логіці. Приклади включають не лише закон виключеного третього p ∨ ¬p, але також і закон Пірса ((p → q) → p) → p, і навіть усунення подвійного заперечення. У класичній логіці і p → ¬¬p, і також ¬¬p → p є теоремами. В інтуїтивній логіці лише для першого є теорема: подвійне заперечення може бути представлено, але воно не може бути усунуто. Відкидання p ∨ ¬p може здаватися дивним для тих, хто більш знайомий з класичною логікою, але доказ цієї пропозиціональної формули в інтуїтивній логіці вимагав би створення доказів для істинності або хибності всіх можливих пропозиціональних формул, які неможливі для ряду причин.
Оскільки багато класичних дійсних тавтологій не є теоремами інтуїтивної логіки, але всі теореми інтуїтивної логіки дійсні класично, інтуїціонізм можна розглядати як ослаблення класичної логіки, хоча з великою кількістю корисних властивостей.
Подальше обчислення
Ґергард Ґенцен виявив, що просте обмеження його системи, LK (його подальше обчислення для класичної логіки) приводить до системи, яка є звуковою та сповненою щодо інтуїтивної логіки. Він назвав цю систему LJ. У LK будь-якому числу формул дозволяють з'явитися на стороні укладення наступного; у відмінності LJ дозволяє не більше однієї формули у цій позиції. Інші похідні LK обмежені інтуїціоністськими похідними, але все ще дозволяють багаторазові укладення в наступному. LJ' є одним з прикладів.
Обчислення стилю Гільберта
Інтуїтивна логіка може бути визначена, використовуючи наступне обчислення [en]. Це схоже на спосіб аксіоматизації класичної логіки висловлювань. У логіці висловлювань правилом висновку є modus ponens.
- MP: від і виводять
Аксіоми логіки висловлювань:
- ТОДІ-1:
- ТОДІ-2:
- І-1:
- І-2:
- І-3:
- АБО-1:
- АБО-2:
- АБО-3:
- ХИБА:
Правила узагальнення роблять це системою логіки предикатів першого порядку
- — ГЕНЕРАЛ: від виводять , якщо не вільний в
— ГЕНЕРАЛ: від виводять , якщо не вільний в
І додаються разом з аксіомами
- PRED-1: , якщо термін t вільний для заміни на змінну x в (тобто, якщо ніяке виникнення якої-небудь змінної в t не стає пов'язаним в ),
- PRED-2: , з тим же обмеженням що стосується PRED-1
Додаткові зв'язки
Заперечення
Якщо Ви хочете включати з'єднувальний для заперечення, а не вважати його скороченням для , достатньо додати:
- НЕ-1':
- НЕ-2':
Є багато доступних альтернатив, якщо Ви хочете опустити з'єднувальний (хиба). Наприклад, можна замінити ці три аксіоми ХИБА, НЕ 1 ', і НЕ 2 ' цими двома аксіомами
- НЕ-1:
- НЕ-2:
як в аксіомах альтернативних числень. Альтернативи НЕ-1 або .
Еквівалентність
З'єднувальний для еквівалентності можна розглядати як скорочення з , позначається . Альтернативно, можна додати аксіоми
- ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ 1:
- ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ 2:
- ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ 3:
ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ 1 і ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ 2 можуть при бажанні бути об'єднані в єдину аксіому , використовуючи з'єднання.
Ставлення до класичної логіки
Система класичної логіки виходить шляхом додавання будь-якої однієї з наступних аксіом:
- (Закон виключеного третього. Може також бути сформульована як .)
- (Усунення подвійного заперечення)
- (закон Пірса)
У цілому можна взяти як додаткову аксіому будь-яку класичну тавтологію, яка не припустима в двоелементному кадрі Кріпке (іншими словами, який не включений в [en]).
Інше ставлення визначається [en], який забезпечує вбудовування класичної логіки першого порядку в інтуїтивну логіку: формула першого порядку доказова в класичній логіці, якщо і лише якщо, переклад Геделя-Гентцена її доводиться інтуїціоністськи. Тому інтуїтивна логіка замість цього може бути розглянута як засіб розширення класичної логіки з конструктивною семантикою. У 1932 Курт Гедель визначив систему логік Геделя, проміжну між класичною логікою та інтуїтивною логікою; такі логіки відомі як [en].
Невизначеність операторів
У класичній логіці висловлювань можливо взяти одне з кон'юнкції, диз'юнкції або імплікації, як примітивних, і визначити інші два з точки зору їх разом з запереченням, як в (трьох аксіомах логіки висловлювань) Лукашевича. Навіть можливо визначити всі чотири з точки зору (єдиного достатнього оператора), такі як стрілка Пірса (NOR) або штрих Шефера (NAND). Точнісінько так само в класичній логіці першого порядку, один з кванторів може бути визначений з точки зору іншого та заперечення.
Це істотний наслідок закону двозначності, який робить всі такі зв'язки простими булевими функціями. Закон двозначності не міститься в інтуїтивній логіці, лише закон суперечності. Внаслідок жодна з основних зв'язок не може обійтися без цього, і всі вищезгадані аксіоми необхідні. Більшість класичних тотожностей є лише теоремами інтуїтивної логіки в одному напрямку, хоча деякі є теоремами в обох напрямках. Вони такі:
З'єднання порівняно з диз'юнкцією:
З'єднання порівняно з імплікацією:
Диз'юнкція порівняно з імплікацією:
Універсальна порівняно з екзистенціальною квантифікацією:
Так, наприклад, "a або b" є сильнішою пропозиціональною формулою, ніж, "якщо не a, то b", тоді як вони класично взаємозамінні. З іншого боку, "не (a або b) «еквівалентно» не a, і також не b". Якщо ми включаємо еквівалентність в список зв'язок, деякі зв'язки стають визначними від інших:
Зокрема {∨, ↔, ⊥} і {∨, ↔, Є} - повні основи інтуїціоністських зв'язок.
Як показано Олександром Кузнєцовим, одна з таких зв'язок - перша троїчна, друга п'ятерична - окремо є функціонально повними: будь-яка може служити в ролі єдиного достатнього оператора для інтуїціоністської логіки висловлювань, таким чином формуючи аналог штриха Шефера з класичної логіки висловлювань:
Семантика
Семантика набагато складніше, ніж для класичного випадку. Теорія моделей може бути задана алгеброю Гейтінга або, еквівалентно, семантикою Кріпке. Нещодавно, подібна теорія моделей Тарського повністю була доведена [en], але з іншим поняттям повноти, ніж у класичній.
Семантика алгебри Гейтінга
У класичній логіці ми часто обговорюємо значення істинності, які може взяти формула. Зазвичай, обираються значення елементів булевої алгебри. Зустріч та приєднання до операцій в булевій алгебрі, ототожнюються з ∧ і ∨ логічними зв'язками, так, щоб значення формули виду A ∧ B було об'єднанням значення A і значення B в булевій алгебрі. Тоді у нас є корисна теорема, що формула є допустимим судженням класичної логіки, якщо і лише якщо, її значення дорівнює 1 для кожної [en] — тобто для будь-якого привласнення значень до її змінних.
Відповідна теорема вірна для інтуїціоністської логіки, але замість призначення кожній формулі значення з алгебри логіки, використовується значення з гейтінгової алгебри, в якій булева алгебра являє собою особливий випадок. Формула допустима в інтуїтивній логіці, коли вона отримує значення верхнього елемента для будь-якої оцінки в алгебрі Гейтінга. Можна показати, що, щоб розпізнати допустимі формули, достатньо розглянути єдину алгебру Гейтінга, елементи якої є відкритими підмножинами реального рядка R. У цій алгебрі, ∧ і ∨ операції відповідають набору перетину та об'єднання, і значення, присвоєне формулою, A → B є інтервалом (AC ∪ B), внутрішня частина об'єднання значення B і доповнення значення A. Нижній елемент — порожня множина ∅, і вершина — весь рядок R. Заперечення ¬A формули A (як звичайно), визначено для A → ∅. Значення ¬A тоді зменшується до інтервалу (AC), внутрішня частина доповнення значення A, також відомого як зовнішній вигляд A. За допомогою цих завдань, інтуїціоністсько-дійсні формули — це якраз ті, які отримують значення всієї лінії.
Наприклад, формула ¬(A ∧ ¬A) справедлива, незалежно від того, що множина Х вибирається як значення формули А, значення ¬(A ∧ ¬A) може бути показано, як вся лінія:
- Значення (¬(A ∧ ¬A)) =
- інтервал ((Значення (A ∧ ¬A))C) =
- інтервал ((значення (A) ∩ значення (¬A))C) =
- інтервал ((X ∩ інтервал ((значення (A))C))C) =
- інтервал ((X ∩ інтервал (XC))C)
Теорема топології каже нам, що інтервал (XC) є підмножиною XC, таким чином, перетин порожній, залишивши:
- інтервал (∅C) = інтервал (R) = R
Таким чином, оцінка цієї формули — істина, і дійсно формула допустима.
Але закон виключеного третього, A ∨ ¬A, як може здатися, є недійсним, дозволяючи значенню A бути {y : y > 0 }. Тоді значення ¬A — мають внутрішню частину {y : y ≤ 0 }, яка є {y : y < 0 }, а значення формули є об'єднанням {y : y > 0 } і {y : y < 0 }, яке є {y : y ≠ 0 }, не всією лінією.
Інтерпретація інтуїціоністської допустимої формули в нескінченній алгебрі Гейтінга описала вище результати у верхньому елементі, представляючи істину, як оцінку формули, незалежно від того, які значення від алгебри присвоєні змінним формули. І навпаки, для кожної недійсної формули, є привласнення значень в змінних, які дають оцінку, відмінну від верхнього елемента. Ні у якій кінцевій алгебрі Гейтінга немає обох цих властивостей.
Семантика Кріпке
Покладаючись на його роботу над семантикою модальної логіки, Сол Кріпке створив іншу семантику для інтуїтивної логіки, відомої як семантика Кріпке або реляційна семантика.
Семантика на зразок семантики Тарскі
Було виявлено, що семантика на зразок Тарскі для інтуїтивної логіки не була повністю доведена. Однак [en] показав, що більш слабке поняття повноти все ще міститься для інтуїтивної логіки під подібною моделлю Тарскі. У цьому понятті повноти ми зацікавлені не з усіма операторами, які правильні для кожної моделі, а з операторами, які таким самим чином є істиною в кожній моделі. Тобто, єдиний доказ, що модель оцінює, що формула істинна, повинен бути допустимим для кожної моделі. В цьому випадку, існує не лише доказ повноти, але й той, що діє відповідно до інтуїціоністської логіки.
Ставлення до інших логік
Інтуїтивна логіка пов'язана дуальністю з [en], відомою як бразильська, антиінтуїціоністська або подвійна інтуїтивна логіка. Підсистема інтуїтивної логіки з віддаленою неправдивою аксіомою відома як мінімальна логіка.
Ставлення до багатозначної логіки
Курт Гедель у 1932 показав, що інтуїтивна логіка не є багатозначною логікою. (Див. розділ під назвою семантика алгебри Гейтінга вище для свого роду "нескінченно багатозначної логіки" інтерпретації інтуїтивної логіки.)
Ставлення до проміжних логік
Будь-яка кінцева алгебра Гейтінга, яка не є еквівалентною булевої алгебри, визначає (семантично) [en]. З іншого боку, законність формул в чистій інтуїтивній логіці не пов'язана з жодною індивідуальною алгеброю Гейтінга, але стосується кожної частини та всієї алгебри Гейтінга одночасно.
Ставлення до модальної логіки
Будь-яка формула інтуїціоністської логіки висловлювань може бути переведена в модальну логічну S4 таким чином:
= | ||
= | ||
= | ||
= | ||
= | ||
= |
і це продемонструвало , що перекладена формула допустима в пропозиціональному модальному логічному S4, якщо і лише якщо, попередньо перекладена формула допустима в IPC. Вищезгаданий набір формул викликається [en]. Є також інтуїціоністська версія модального логічного S4 під назвою Конструктивний Модальний Логічний CS4.
Лямбда-числення
Існує розширений ізоморфізм Каррі — Говарда IPC і [en].
Примітки
- . Архів оригіналу за 11 вересня 2018. Процитовано 31 жовтня 2014.
- Proof Theory by G. Takeuti,
- Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev, Modal Logic, vol. 35 of Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997, pp. 58–59. .
- Sørensen, Morten Heine B; Paweł Urzyczyn (2006). Lectures on the Curry-Howard Isomorphism. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Elsevier. с. 42. ISBN .
- Alfred Tarski, Der Aussagenkalkül und die Topologie, Fundamenta Mathematicae 31 (1938), 103–134. [1] [ 11 лютого 2012 у Wayback Machine.]
- Rasiowa, Helena; Roman Sikorski (1963). The Mathematics of Metamathematics. Monografie matematyczne. Warsaw: Państwowe Wydawn. Naukowe. с. 385–386.
- Intuitionistic Logic [ 26 квітня 2021 у Wayback Machine.]. Written by Joan Moschovakis [ 10 лютого 2021 у Wayback Machine.]. Published in Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- R. Constable, M. Bickford, Intuitionistic completeness of first-order logic, Annals of Pure and Applied Logic, to appear, DOI:10.1016/j.apal.2013.07.009. Preprint on ArXiv [ 6 жовтня 2016 у Wayback Machine.].
- Aoyama, Hiroshi (2004). LK, LJ, Dual Intuitionistic Logic, and Quantum Logic. Notre Dame Journal of Formal Logic. 45 (4): 193—213. doi:10.1305/ndjfl/1099238445.
- Lévy, Michel (2011). Logique modale propositionnelle S4 et logique intuitioniste propositionnelle [ 4 лютого 2014 у Wayback Machine.], pp. 4–5.
- Natasha Alechina, Michael Mendler, Valeria de Paiva, and Eike Ritter. Categorical and Kripke Semantics for Constructive S4 Modal Logic [ 26 березня 2015 у Wayback Machine.]
Див. також
Джерела
- Dirk van Dalen. Intuitionistic Logic // The Blackwell Guide to Philosophical Logic. / Goble, Lou. — Blackwell, 2001.
- Morten H. Sørensen, Paweł Urzyczyn. Lectures on the Curry-Howard Isomorphism. (chapter 2: "Intuitionistic Logic") // Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol. 149. — Elsevier, 2006.
- W. A. Carnielli, A. B.M. Brunner."Anti-intuitionism and paraconsistency" [ 12 жовтня 2008 у Wayback Machine.]// Journal of Applied Logic.— березень, 2005. — Т. 3. — № 1. — С. 161-184.
Посилання
- Joan Moschovakis, Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Intuitionistic Logic [ 26 квітня 2021 у Wayback Machine.]".
- Nick Bezhanishvili, Dick de Jongh, Intuitionistic Logic [ 22 січня 2022 у Wayback Machine.].
- Saul A. Kripke, Semantical Analysis of Intuitionistic Logic I [ 22 лютого 2015 у Wayback Machine.].
- Dirk van Dalen,
- A.S. Troelstra, P. van Ulsen, The discovery of E.W. Beth's semantics for intuitionistic logic [ 24 вересня 2015 у Wayback Machine.].
- Anthony J. Bonner, L. Thorne McCarty, Kumar Vadaparty, Expressing Database Queries with Intuitionistic Logic (FTP завантаження одним кліком миші).
- Tableaux'method for intuitionistic logic through S4-translation [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.] перевіка інтуїціоністської обґрунтованості пропозиціональних формул; забезпечена комп'ютерною лабораторією Гренобля.
- (засноване на ) на сайті playmycode.com
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya ye sirim perekladom z inshoyi movi Mozhlivo vona stvorena za dopomogoyu mashinnogo perekladu abo perekladachem yakij nedostatno volodiye oboma movami Bud laska dopomozhit polipshiti pereklad lyutij 2015 Intuyitivna logika inkoli konstruktivna logika sistema simvolichnoyi logiki yaka vidriznyayetsya vid klasichnoyi logiki zaminyuyuchi tradicijne ponyattya istini ponyattyam konstruktivno dokazovoyi istini Napriklad u klasichnij logici propozicionalni formuli predikati zavzhdi prijmayut znachennya istinnosti z mnozhini dvoh trivialnih elementiv tverdzhen displaystyle top bot istina i hiba vidpovidno nezalezhno vid togo chi ye u nas pryamij dokaz dlya bud yakogo vipadku Navpaki propozicionalnim formulam predikatam v intuyitivnij logici vzagali ne nadayetsya zhodnogo pevnogo znachennya istinnosti natomist voni vvazhayutsya istinnimi lishe todi koli u nas ye pryamij dokaz Zamist formula istinna na osnovi pryamogo dokazu mozhna takozh skazati sho formula en dokazom u sensi Karri Govarda Tomu operaciyi v intuyitivnij logici zberigayut ru shodo dokazu ta dokazovoyi operaciyi a ne ocinki istini Nedovedenim tverdzhennyam v intuyitivnij logici ne nadayutsya promizhni znachennya istinnosti yak inodi pomilkovo stverdzhuyetsya Spravdi mozhna dovesti sho u nih nemaye tretogo znachennya istinnosti sho bulo viznacheno Glivenkom u 1928 Zamist cogo voni zalishayutsya z nevidomim znachennyam istinnosti doti doki voni abo ne dovedeni abo ne sprostovani Tverdzhennya sprostovuyutsya vivodom z nih protirichchya Naslidkom cogo poglyadu ye te sho v intuyitivnoyi logiki nemaye interpretaciyi yak dvoznachnoyi logiki abo navit yak logiki z kincevim znakom Popri te sho intuyitivna logika zberigaye trivialni sudzhennya displaystyle top bot nasliduvani vid klasichnoyi logiki kozhen dokaz propozicionalnoyi formuli vvazhayetsya dopustimim propozicionalnim znachennyam takim chinom za ponyattyam tverdzhennya en pro mnozhini propozicionalni formuli potencijni chi ne kincevi ce mnozhini osobistih dokaziv Semantichno intuyitivna logika ye obmezhennyam klasichnoyi logiki v yakij zakon viklyuchenogo tretogo ta usunennya podvijnogo zaperechennya ne dopuskayutsya yak aksiomi Zakon viklyuchenogo tretogo ta usunennya podvijnogo zaperechennya mozhut vse she buti dovedeni dlya deyakih vislovlyuvan na individualnij osnovi ale ne vikonuvatisya universalno yak voni ce robili z klasichnoyu logikoyu Kilka semantik intuyitivnoyi logiki bulo vivcheno Odna semantika vidbivaye klasichnu en ale vikoristovuye algebru Gejtinga zamist bulevoyi algebri Insha semantika vikoristovuye model Kripke Intuyitivna logika praktichno korisna bo yiyi obmezhennya stvoryuyut dokazi u yakih ye en roblyachi yiyi takozh vidpovidnoyu dlya inshih form matematichnogo konstruktivizmu Neoficijno ce oznachaye sho yaksho u Vas ye konstruktivnij dokaz togo sho ob yekt isnuye to Vi mozhete peretvoriti cej konstruktivnij dokaz v algoritm dlya generaciyi jogo prikladu Formalizovana intuyitivna logika bula spochatku rozroblena Arendom Gejtingom shob zabezpechiti formalnu osnovu dlya programi intuyitivizmu Brauera SintaksisReshitka Rieger Nishimura Yiyi vuzli propozicionalni formuli v odniyeyi zminnoyi do intuyicionistskoyi logichnoyi ekvivalentnosti vporyadkovanoyi intuyicionistskoyu logichnoyu implikaciyeyu Sintaksis formul intuyitivnoyi logiki podibnij logici vislovlyuvan abo logici pershogo poryadku Prote intuyicionistski zv yazki ne viznacheni odin z odnim takim samim chinom yak u klasichnij logici otzhe yih vibir maye znachennya V intuyicionistskij logici prijnyato vikoristovuvati yak osnovni zv yazki rozglyadayuchi A yak skorochennya dlya A V intuyicionistskij logici pershogo poryadku neobhidni obidva kvantora Bagato tavtologij klasichnoyi logiki bilshe ne mozhut dovoditisya v intuyitivnij logici Prikladi vklyuchayut ne lishe zakon viklyuchenogo tretogo p p ale takozh i zakon Pirsa p q p p i navit usunennya podvijnogo zaperechennya U klasichnij logici i p p i takozh p p ye teoremami V intuyitivnij logici lishe dlya pershogo ye teorema podvijne zaperechennya mozhe buti predstavleno ale vono ne mozhe buti usunuto Vidkidannya p p mozhe zdavatisya divnim dlya tih hto bilsh znajomij z klasichnoyu logikoyu ale dokaz ciyeyi propozicionalnoyi formuli v intuyitivnij logici vimagav bi stvorennya dokaziv dlya istinnosti abo hibnosti vsih mozhlivih propozicionalnih formul yaki nemozhlivi dlya ryadu prichin Oskilki bagato klasichnih dijsnih tavtologij ne ye teoremami intuyitivnoyi logiki ale vsi teoremi intuyitivnoyi logiki dijsni klasichno intuyicionizm mozhna rozglyadati yak oslablennya klasichnoyi logiki hocha z velikoyu kilkistyu korisnih vlastivostej Podalshe obchislennya Gergard Gencen viyaviv sho proste obmezhennya jogo sistemi LK jogo podalshe obchislennya dlya klasichnoyi logiki privodit do sistemi yaka ye zvukovoyu ta spovnenoyu shodo intuyitivnoyi logiki Vin nazvav cyu sistemu LJ U LK bud yakomu chislu formul dozvolyayut z yavitisya na storoni ukladennya nastupnogo u vidminnosti LJ dozvolyaye ne bilshe odniyeyi formuli u cij poziciyi Inshi pohidni LK obmezheni intuyicionistskimi pohidnimi ale vse she dozvolyayut bagatorazovi ukladennya v nastupnomu LJ ye odnim z prikladiv Obchislennya stilyu Gilberta Intuyitivna logika mozhe buti viznachena vikoristovuyuchi nastupne obchislennya en Ce shozhe na sposib aksiomatizaciyi klasichnoyi logiki vislovlyuvan U logici vislovlyuvan pravilom visnovku ye modus ponens MP vid ϕ displaystyle phi i ϕ ps displaystyle phi to psi vivodyat ps displaystyle psi Aksiomi logiki vislovlyuvan TODI 1 ϕ x ϕ displaystyle phi to chi to phi TODI 2 ϕ x ps ϕ x ϕ ps displaystyle phi to chi to psi to phi to chi to phi to psi I 1 ϕ x ϕ displaystyle phi land chi to phi I 2 ϕ x x displaystyle phi land chi to chi I 3 ϕ x ϕ x displaystyle phi to chi to phi land chi ABO 1 ϕ ϕ x displaystyle phi to phi lor chi ABO 2 x ϕ x displaystyle chi to phi lor chi ABO 3 ϕ ps x ps ϕ x ps displaystyle phi to psi to chi to psi to phi lor chi to psi HIBA ϕ displaystyle bot to phi Pravila uzagalnennya roblyat ce sistemoyu logiki predikativ pershogo poryadku displaystyle forall GENERAL vid ps ϕ displaystyle psi to phi vivodyat ps x ϕ displaystyle psi to forall x phi yaksho x displaystyle x ne vilnij v ps displaystyle psi displaystyle exists GENERAL vid ϕ ps displaystyle phi to psi vivodyat x ϕ ps displaystyle exists x phi to psi yaksho x displaystyle x ne vilnij v ps displaystyle psi I dodayutsya razom z aksiomami PRED 1 x ϕ x ϕ t displaystyle forall x phi x to phi t yaksho termin t vilnij dlya zamini na zminnu x v ϕ displaystyle phi tobto yaksho niyake viniknennya yakoyi nebud zminnoyi v t ne staye pov yazanim v ϕ t displaystyle phi t PRED 2 ϕ t x ϕ x displaystyle phi t to exists x phi x z tim zhe obmezhennyam sho stosuyetsya PRED 1 Dodatkovi zv yazki Zaperechennya Yaksho Vi hochete vklyuchati z yednuvalnij displaystyle lnot dlya zaperechennya a ne vvazhati jogo skorochennyam dlya ϕ displaystyle phi to bot dostatno dodati NE 1 ϕ ϕ displaystyle phi to bot to lnot phi NE 2 ϕ ϕ displaystyle lnot phi to phi to bot Ye bagato dostupnih alternativ yaksho Vi hochete opustiti z yednuvalnij displaystyle bot hiba Napriklad mozhna zaminiti ci tri aksiomi HIBA NE 1 i NE 2 cimi dvoma aksiomami NE 1 ϕ x ϕ x ϕ displaystyle phi to chi to phi to lnot chi to lnot phi NE 2 ϕ ϕ x displaystyle phi to lnot phi to chi yak v aksiomah alternativnih chislen Alternativi NE 1 ϕ x x ϕ displaystyle phi to lnot chi to chi to lnot phi abo ϕ ϕ ϕ displaystyle phi to lnot phi to lnot phi Ekvivalentnist Z yednuvalnij displaystyle leftrightarrow dlya ekvivalentnosti mozhna rozglyadati yak skorochennya z ϕ x displaystyle phi leftrightarrow chi poznachayetsya ϕ x x ϕ displaystyle phi to chi land chi to phi Alternativno mozhna dodati aksiomi EKVIVALENTNIST 1 ϕ x ϕ x displaystyle phi leftrightarrow chi to phi to chi EKVIVALENTNIST 2 ϕ x x ϕ displaystyle phi leftrightarrow chi to chi to phi EKVIVALENTNIST 3 ϕ x x ϕ ϕ x displaystyle phi to chi to chi to phi to phi leftrightarrow chi EKVIVALENTNIST 1 i EKVIVALENTNIST 2 mozhut pri bazhanni buti ob yednani v yedinu aksiomu ϕ x ϕ x x ϕ displaystyle phi leftrightarrow chi to phi to chi land chi to phi vikoristovuyuchi z yednannya Stavlennya do klasichnoyi logiki Sistema klasichnoyi logiki vihodit shlyahom dodavannya bud yakoyi odniyeyi z nastupnih aksiom ϕ ϕ displaystyle phi lor lnot phi Zakon viklyuchenogo tretogo Mozhe takozh buti sformulovana yak ϕ x ϕ x x displaystyle phi to chi to lnot phi to chi to chi ϕ ϕ displaystyle lnot lnot phi to phi Usunennya podvijnogo zaperechennya ϕ x ϕ ϕ displaystyle phi to chi to phi to phi zakon Pirsa U cilomu mozhna vzyati yak dodatkovu aksiomu bud yaku klasichnu tavtologiyu yaka ne pripustima v dvoelementnomu kadri Kripke displaystyle circ longrightarrow circ inshimi slovami yakij ne vklyuchenij v en Inshe stavlennya viznachayetsya en yakij zabezpechuye vbudovuvannya klasichnoyi logiki pershogo poryadku v intuyitivnu logiku formula pershogo poryadku dokazova v klasichnij logici yaksho i lishe yaksho pereklad Gedelya Gentcena yiyi dovoditsya intuyicionistski Tomu intuyitivna logika zamist cogo mozhe buti rozglyanuta yak zasib rozshirennya klasichnoyi logiki z konstruktivnoyu semantikoyu U 1932 Kurt Gedel viznachiv sistemu logik Gedelya promizhnu mizh klasichnoyu logikoyu ta intuyitivnoyu logikoyu taki logiki vidomi yak en Neviznachenist operatoriv U klasichnij logici vislovlyuvan mozhlivo vzyati odne z kon yunkciyi diz yunkciyi abo implikaciyi yak primitivnih i viznachiti inshi dva z tochki zoru yih razom z zaperechennyam yak v troh aksiomah logiki vislovlyuvan Lukashevicha Navit mozhlivo viznachiti vsi chotiri z tochki zoru yedinogo dostatnogo operatora taki yak strilka Pirsa NOR abo shtrih Shefera NAND Tochnisinko tak samo v klasichnij logici pershogo poryadku odin z kvantoriv mozhe buti viznachenij z tochki zoru inshogo ta zaperechennya Ce istotnij naslidok zakonu dvoznachnosti yakij robit vsi taki zv yazki prostimi bulevimi funkciyami Zakon dvoznachnosti ne mistitsya v intuyitivnij logici lishe zakon superechnosti Vnaslidok zhodna z osnovnih zv yazok ne mozhe obijtisya bez cogo i vsi vishezgadani aksiomi neobhidni Bilshist klasichnih totozhnostej ye lishe teoremami intuyitivnoyi logiki v odnomu napryamku hocha deyaki ye teoremami v oboh napryamkah Voni taki Z yednannya porivnyano z diz yunkciyeyu ϕ ps ϕ ps displaystyle phi wedge psi to neg neg phi vee neg psi ϕ ps ϕ ps displaystyle phi vee psi to neg neg phi wedge neg psi ϕ ps ϕ ps displaystyle neg phi vee neg psi to neg phi wedge psi ϕ ps ϕ ps displaystyle neg phi wedge neg psi leftrightarrow neg phi vee psi Z yednannya porivnyano z implikaciyeyu ϕ ps ϕ ps displaystyle phi wedge psi to neg phi to neg psi ϕ ps ϕ ps displaystyle phi to psi to neg phi wedge neg psi ϕ ps ϕ ps displaystyle phi wedge neg psi to neg phi to psi ϕ ps ϕ ps displaystyle phi to neg psi leftrightarrow neg phi wedge psi Diz yunkciya porivnyano z implikaciyeyu ϕ ps ϕ ps displaystyle phi vee psi to neg phi to psi ϕ ps ϕ ps displaystyle neg phi vee psi to phi to psi Universalna porivnyano z ekzistencialnoyu kvantifikaciyeyu x ϕ x x ϕ x displaystyle forall x phi x to neg exists x neg phi x x ϕ x x ϕ x displaystyle exists x phi x to neg forall x neg phi x x ϕ x x ϕ x displaystyle exists x neg phi x to neg forall x phi x x ϕ x x ϕ x displaystyle forall x neg phi x leftrightarrow neg exists x phi x Tak napriklad a abo b ye silnishoyu propozicionalnoyu formuloyu nizh yaksho ne a to b todi yak voni klasichno vzayemozaminni Z inshogo boku ne a abo b ekvivalentno ne a i takozh ne b Yaksho mi vklyuchayemo ekvivalentnist v spisok zv yazok deyaki zv yazki stayut viznachnimi vid inshih ϕ ps ϕ ps ps ϕ displaystyle phi leftrightarrow psi leftrightarrow phi to psi land psi to phi ϕ ps ϕ ps ps displaystyle phi to psi leftrightarrow phi lor psi leftrightarrow psi ϕ ps ϕ ps ϕ displaystyle phi to psi leftrightarrow phi land psi leftrightarrow phi ϕ ps ϕ ps ϕ displaystyle phi land psi leftrightarrow phi to psi leftrightarrow phi ϕ ps ϕ ps ps ϕ displaystyle phi land psi leftrightarrow phi lor psi leftrightarrow psi leftrightarrow phi Zokrema i Ye povni osnovi intuyicionistskih zv yazok Yak pokazano Oleksandrom Kuznyecovim odna z takih zv yazok persha troyichna druga p yaterichna okremo ye funkcionalno povnimi bud yaka mozhe sluzhiti v roli yedinogo dostatnogo operatora dlya intuyicionistskoyi logiki vislovlyuvan takim chinom formuyuchi analog shtriha Shefera z klasichnoyi logiki vislovlyuvan p q r p q r displaystyle p lor q land neg r lor neg p land q leftrightarrow r p q r s t displaystyle p to q land neg r land s lor t SemantikaSemantika nabagato skladnishe nizh dlya klasichnogo vipadku Teoriya modelej mozhe buti zadana algebroyu Gejtinga abo ekvivalentno semantikoyu Kripke Neshodavno podibna teoriya modelej Tarskogo povnistyu bula dovedena en ale z inshim ponyattyam povnoti nizh u klasichnij Semantika algebri Gejtinga U klasichnij logici mi chasto obgovoryuyemo znachennya istinnosti yaki mozhe vzyati formula Zazvichaj obirayutsya znachennya elementiv bulevoyi algebri Zustrich ta priyednannya do operacij v bulevij algebri ototozhnyuyutsya z i logichnimi zv yazkami tak shob znachennya formuli vidu A B bulo ob yednannyam znachennya A i znachennya B v bulevij algebri Todi u nas ye korisna teorema sho formula ye dopustimim sudzhennyam klasichnoyi logiki yaksho i lishe yaksho yiyi znachennya dorivnyuye 1 dlya kozhnoyi en tobto dlya bud yakogo privlasnennya znachen do yiyi zminnih Vidpovidna teorema virna dlya intuyicionistskoyi logiki ale zamist priznachennya kozhnij formuli znachennya z algebri logiki vikoristovuyetsya znachennya z gejtingovoyi algebri v yakij buleva algebra yavlyaye soboyu osoblivij vipadok Formula dopustima v intuyitivnij logici koli vona otrimuye znachennya verhnogo elementa dlya bud yakoyi ocinki v algebri Gejtinga Mozhna pokazati sho shob rozpiznati dopustimi formuli dostatno rozglyanuti yedinu algebru Gejtinga elementi yakoyi ye vidkritimi pidmnozhinami realnogo ryadka R U cij algebri i operaciyi vidpovidayut naboru peretinu ta ob yednannya i znachennya prisvoyene formuloyu A B ye intervalom AC B vnutrishnya chastina ob yednannya znachennya B i dopovnennya znachennya A Nizhnij element porozhnya mnozhina i vershina ves ryadok R Zaperechennya A formuli A yak zvichajno viznacheno dlya A Znachennya A todi zmenshuyetsya do intervalu AC vnutrishnya chastina dopovnennya znachennya A takozh vidomogo yak zovnishnij viglyad A Za dopomogoyu cih zavdan intuyicionistsko dijsni formuli ce yakraz ti yaki otrimuyut znachennya vsiyeyi liniyi Napriklad formula A A spravedliva nezalezhno vid togo sho mnozhina H vibirayetsya yak znachennya formuli A znachennya A A mozhe buti pokazano yak vsya liniya Znachennya A A interval Znachennya A A C interval znachennya A znachennya A C interval X interval znachennya A C C interval X interval XC C Teorema topologiyi kazhe nam sho interval XC ye pidmnozhinoyu XC takim chinom peretin porozhnij zalishivshi interval C interval R R Takim chinom ocinka ciyeyi formuli istina i dijsno formula dopustima Ale zakon viklyuchenogo tretogo A A yak mozhe zdatisya ye nedijsnim dozvolyayuchi znachennyu A buti y y gt 0 Todi znachennya A mayut vnutrishnyu chastinu y y 0 yaka ye y y lt 0 a znachennya formuli ye ob yednannyam y y gt 0 i y y lt 0 yake ye y y 0 ne vsiyeyu liniyeyu Interpretaciya intuyicionistskoyi dopustimoyi formuli v neskinchennij algebri Gejtinga opisala vishe rezultati u verhnomu elementi predstavlyayuchi istinu yak ocinku formuli nezalezhno vid togo yaki znachennya vid algebri prisvoyeni zminnim formuli I navpaki dlya kozhnoyi nedijsnoyi formuli ye privlasnennya znachen v zminnih yaki dayut ocinku vidminnu vid verhnogo elementa Ni u yakij kincevij algebri Gejtinga nemaye oboh cih vlastivostej Semantika Kripke Dokladnishe Semantika Kripke Pokladayuchis na jogo robotu nad semantikoyu modalnoyi logiki Sol Kripke stvoriv inshu semantiku dlya intuyitivnoyi logiki vidomoyi yak semantika Kripke abo relyacijna semantika Semantika na zrazok semantiki Tarski Bulo viyavleno sho semantika na zrazok Tarski dlya intuyitivnoyi logiki ne bula povnistyu dovedena Odnak en pokazav sho bilsh slabke ponyattya povnoti vse she mistitsya dlya intuyitivnoyi logiki pid podibnoyu modellyu Tarski U comu ponyatti povnoti mi zacikavleni ne z usima operatorami yaki pravilni dlya kozhnoyi modeli a z operatorami yaki takim samim chinom ye istinoyu v kozhnij modeli Tobto yedinij dokaz sho model ocinyuye sho formula istinna povinen buti dopustimim dlya kozhnoyi modeli V comu vipadku isnuye ne lishe dokaz povnoti ale j toj sho diye vidpovidno do intuyicionistskoyi logiki Stavlennya do inshih logik Intuyitivna logika pov yazana dualnistyu z en vidomoyu yak brazilska antiintuyicionistska abo podvijna intuyitivna logika Pidsistema intuyitivnoyi logiki z viddalenoyu nepravdivoyu aksiomoyu vidoma yak minimalna logika Stavlennya do bagatoznachnoyi logiki Kurt Gedel u 1932 pokazav sho intuyitivna logika ne ye bagatoznachnoyu logikoyu Div rozdil pid nazvoyu semantika algebri Gejtinga vishe dlya svogo rodu neskinchenno bagatoznachnoyi logiki interpretaciyi intuyitivnoyi logiki Stavlennya do promizhnih logik Bud yaka kinceva algebra Gejtinga yaka ne ye ekvivalentnoyu bulevoyi algebri viznachaye semantichno en Z inshogo boku zakonnist formul v chistij intuyitivnij logici ne pov yazana z zhodnoyu individualnoyu algebroyu Gejtinga ale stosuyetsya kozhnoyi chastini ta vsiyeyi algebri Gejtinga odnochasno Stavlennya do modalnoyi logiki Bud yaka formula intuyicionistskoyi logiki vislovlyuvan mozhe buti perevedena v modalnu logichnu S4 takim chinom displaystyle bot displaystyle bot A displaystyle A A if A is prime a positive literal displaystyle Box A qquad hbox if A hbox is prime a positive literal A B displaystyle A wedge B A B displaystyle A wedge B A B displaystyle A vee B A B displaystyle A vee B A B displaystyle A rightarrow B A B displaystyle Box A rightarrow B A displaystyle neg A A since A A displaystyle Box neg A qquad hbox since neg A A rightarrow bot i ce prodemonstruvalo sho perekladena formula dopustima v propozicionalnomu modalnomu logichnomu S4 yaksho i lishe yaksho poperedno perekladena formula dopustima v IPC Vishezgadanij nabir formul viklikayetsya en Ye takozh intuyicionistska versiya modalnogo logichnogo S4 pid nazvoyu Konstruktivnij Modalnij Logichnij CS4 Lyambda chislennya Isnuye rozshirenij izomorfizm Karri Govarda IPC i en Primitki Arhiv originalu za 11 veresnya 2018 Procitovano 31 zhovtnya 2014 Proof Theory by G Takeuti ISBN 0 444 10492 5 Alexander Chagrov Michael Zakharyaschev Modal Logic vol 35 of Oxford Logic Guides Oxford University Press 1997 pp 58 59 ISBN 0 19 853779 4 Sorensen Morten Heine B Pawel Urzyczyn 2006 Lectures on the Curry Howard Isomorphism Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Elsevier s 42 ISBN 0 444 52077 5 Alfred Tarski Der Aussagenkalkul und die Topologie Fundamenta Mathematicae 31 1938 103 134 1 11 lyutogo 2012 u Wayback Machine Rasiowa Helena Roman Sikorski 1963 The Mathematics of Metamathematics Monografie matematyczne Warsaw Panstwowe Wydawn Naukowe s 385 386 Intuitionistic Logic 26 kvitnya 2021 u Wayback Machine Written by Joan Moschovakis 10 lyutogo 2021 u Wayback Machine Published in Stanford Encyclopedia of Philosophy R Constable M Bickford Intuitionistic completeness of first order logic Annals of Pure and Applied Logic to appear DOI 10 1016 j apal 2013 07 009 Preprint on ArXiv 6 zhovtnya 2016 u Wayback Machine Aoyama Hiroshi 2004 LK LJ Dual Intuitionistic Logic and Quantum Logic Notre Dame Journal of Formal Logic 45 4 193 213 doi 10 1305 ndjfl 1099238445 Levy Michel 2011 Logique modale propositionnelle S4 et logique intuitioniste propositionnelle 4 lyutogo 2014 u Wayback Machine pp 4 5 Natasha Alechina Michael Mendler Valeria de Paiva and Eike Ritter Categorical and Kripke Semantics for Constructive S4 Modal Logic 26 bereznya 2015 u Wayback Machine Div takozhKonstruktivizm matematika DzherelaDirk van Dalen Intuitionistic Logic The Blackwell Guide to Philosophical Logic Goble Lou Blackwell 2001 Morten H Sorensen Pawel Urzyczyn Lectures on the Curry Howard Isomorphism chapter 2 Intuitionistic Logic Studies in Logic and the Foundations of Mathematics vol 149 Elsevier 2006 W A Carnielli A B M Brunner Anti intuitionism and paraconsistency 12 zhovtnya 2008 u Wayback Machine Journal of Applied Logic berezen 2005 T 3 1 S 161 184 PosilannyaJoan Moschovakis Stanford Encyclopedia of Philosophy Intuitionistic Logic 26 kvitnya 2021 u Wayback Machine Nick Bezhanishvili Dick de Jongh Intuitionistic Logic 22 sichnya 2022 u Wayback Machine Saul A Kripke Semantical Analysis of Intuitionistic Logic I 22 lyutogo 2015 u Wayback Machine Dirk van Dalen A S Troelstra P van Ulsen The discovery of E W Beth s semantics for intuitionistic logic 24 veresnya 2015 u Wayback Machine Anthony J Bonner L Thorne McCarty Kumar Vadaparty Expressing Database Queries with Intuitionistic Logic FTP zavantazhennya odnim klikom mishi Tableaux method for intuitionistic logic through S4 translation 4 bereznya 2016 u Wayback Machine perevika intuyicionistskoyi obgruntovanosti propozicionalnih formul zabezpechena komp yuternoyu laboratoriyeyu Grenoblya zasnovane na na sajti playmycode com