Ко́мплексний логари́фм — аналітична функція, що отримується поширенням дійсного логарифма на всю комплексну площину (крім нуля). Існує кілька еквівалентних способів такого поширення. Має широке застосування в комплексному аналізі. На відміну від дійсного випадку, функція комплексного логарифма багатозначна.
Визначення та властивості
Для комплексних чисел логарифм можна визначити так само, як і, для дійсних, тобто як обернення показникової функції. На практиці використовують практично лише натуральний комплексний логарифм, основа якого — число Ейлера : зазвичай його позначають .
Натуральний логарифм комплексного числа визначається як розв'язок рівняння |
Інші, еквівалентні цьому, варіанти визначення наведено нижче.
У полі комплексних чисел розв'язок цього рівняння, на відміну дійсного випадку, не визначено однозначно. Наприклад, за тотожністю Ейлера ; однак також . Це пов'язано з тим, що показникова функція вздовж уявної осі є періодичною (з періодом ), і нескінченно багато разів набуває тих самих значень. Таким чином, комплексна логарифмічна функція є багатозначною.
Комплексний нуль не має логарифма, оскільки комплексна експонента не набуває нульового значення. Ненульове можна подати в показниковій формі:
- де — довільне ціле число.
Тоді знаходять за формулою:
Тут — дійсний логарифм. Звідси випливає:
Комплексний логарифм існує для будь-якого , і його дійсна частина визначається однозначно, тоді як уявна частина має нескінченно багато значень, що відрізняються на ціле кратне |
З формули видно, що в одного й лише одного зі значень уявна частина перебуває в інтервалі . Це значення називають головним значенням комплексного натурального логарифма. Відповідна (вже однозначна) функція називається головною гілкою логарифма та позначається . Іноді через також позначають значення логарифма, що лежить не на головній гілці. Якщо — дійсне число, то головне значення його логарифма збігається зі звичайним дійсним логарифмом.
З наведеної формули також випливає, що дійсна частина логарифма визначається через компоненти аргументу так:
На малюнку показано, що дійсна частина як функція компонентів центрально-симетрична і залежить лише від відстані до початку координат. Її отримують обертанням графіка дійсного логарифма навколо вертикальної осі. З наближенням до нуля функція прагямує до
Логарифм від'ємного числа знаходять за формулою:
Приклади значень комплексного логарифма
Наведемо головне значення логарифма () та загальний його вираз () для деяких аргументів:
Слід бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, враховуючи, що вони багатозначні, і тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не випливає рівність цих виразів. Приклад помилкового міркування:
- — очевидна помилка.
Зазначимо, що ліворуч стоїть головне значення логарифма, а праворуч — значення нижчої гілки (). Причина помилки — необережне використання властивості , яке, загалом, має на увазі в комплексному випадку весь нескінченний набір значень логарифма, а не лише головне значення.
Комплексна логарифмічна функція та ріманова поверхня
У комплексному аналізі замість розгляду багатозначних функцій на комплексній площині прийнято інше рішення: розглядати функцію як однозначну, але визначену не на площині, а на складнішому многовиді, який називають рімановою поверхнею. Комплексна логарифмічна функція також належить до цієї категорії: її образ (див. рисунок) складається з нескінченного числа гілок, закручених у вигляді спіралі. Ця поверхня безперервна і однозв'язна. Єдиний нуль у функції (першого порядку) виходить, коли . Особливі точки: і (точки галуження нескінченного порядку).
У силу однозв'язності ріманова поверхня логарифма є універсальною накривною для комплексної площини без точки .
Аналітичне продовження
Логарифм комплексного числа також можна визначити як аналітичне продовження дійсного логарифма на всю комплексну площину. Нехай крива починається в одиниці, закінчується в z, не проходить через нуль і не перетинає від'ємної частинини дійсної осі. Тоді головне значення логарифма в кінцевій точці кривої можна визначити за формулою :
Якщо — проста крива (без самоперетинів), то для чисел, що лежать на ній, можна застосовувати без побоювань, наприклад:
Головна гілка логарифмічної функції неперервна і (диференційовна) на всій комплексній площині, крім від'ємної частини дійсної осі, на якій уявна частина стрибком змінюється на . Але цей факт є наслідком штучного обмеження уявної частини головного значення інтервалом . Якщо розглянути всі гілки функції, то неперервність є у всіх точках, крім нуля, де функція не визначена. Якщо дозволити кривій перетинати від'ємну частину дійсної осі, то перший такий перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілку, а кожен наступний перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічної функції (див. малюнок).
З формули аналітичного продовження випливає, що на будь-якій гілці логарифма:
Для будь-якого кола , що охоплює точку :
Інтеграл береться в додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Ця тотожність лежить в основі теорії лишків.
Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифма за допомогою версій ряду Меркатора, відомих для дійсного випадку:
-
(Ряд 1)
-
(Ряд 2)
Проте з вигляду цих рядів випливає, що в одиниці сума ряду дорівнює нулю, тобто ряд стосується лише до головної гілки багатозначної функції комплексного логарифма. Радіус збіжності обох рядів дорівнює 1.
Зв'язок із оберненими тригонометричними та гіперболічними функціями
Оскільки комплексні тригонометричні функції пов'язані з експонентою (формула Ейлера), то комплексний логарифм як обернена до експоненти функція пов'язаний із оберненими тригонометричними функціями:
Гіперболічні функції на комплексній площині можна розглядати як тригонометричні функції уявного аргументу, тому тут має місце зв'язок із логарифмом:
- — обернений гіперболічний синус
- — обернений гіперболічний косинус
- — обернений гіперболічний тангенс
- — обернений гіперболічний котангенс
Історія
Перші спроби поширити логарифми на комплексні числа робили на рубежі XVII-XVIII століть Лейбніц і Йоганн Бернуллі, однак створити цілісну теорію їм не вдалося — насамперед з тієї причини, що тоді ще не було чітко визначено поняття логарифма. Дискутували з цього приводу спочатку Лейбніц і Бернуллі, а в середині XVIII століття — д'Аламбер і Ейлер. Бернуллі та Д'Аламбер вважали, що слід визначити , тоді як Лейбніц доводив, що логарифм від'ємного числа — уявне число. Повну теорію логарифмів від'ємних і комплексних чисел опублікував у 1747—1751 роках Ейлер і вона, по суті, нічим не відрізняється від сучасної. Хоча суперечка тривала (д'Аламбер відстоював свою думку і докладно аргументував її в статті своєї «Енциклопедії» та інших працях), підхід Ейлера до кінця XVIII століття набув загального визнання.
У XIX столітті, з розвитком комплексного аналізу, дослідження комплексного логарифма стимулювало нові відкриття. Гаусс 1811 року розробив повну теорію багатозначності логарифмічної функції, яка визначається як інтеграл від . Ріман, спираючись на вже відомі факти про цю та аналогічні функції, побудував загальну теорію ріманових поверхонь.
Розробка теорії конформних відображень показала, що меркаторівську проєкцію в картографії, яка виникла ще до відкриття логарифмів (1550), можна описати як комплексний логарифм.
Література
- Теорія логарифмів
- Корн Г., Корн Т. [1] — М. : Наука, 1973. — 720 с. з джерела 19 січня 2015
- Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Наука, 1967. — 304 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М. : Наука, 1966. — 680 с.
- Історія логарифмів
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III. з джерела 24 березня 2017
- Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М. : Наука, 1981. — Т. II.
Примітки
- Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 520-522..
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 623..
- Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 92-94..
- Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 45-46, 99-100..
- Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — С. 112. — (Библиотечка Квант, выпуск 21) з джерела 2 березня 2022
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 522-526..
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 624..
- История математики, том III, 1972, с. 325-328..
- Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М. : Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 27, 230-231.
- Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций, 1981, с. 122-123.
- Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей http://ilib.mccme.ru/djvu/klejn-2.htm [ 16 жовтня 2015 у Wayback Machine.] том II. // Геометрия. — М.: Наука, 1987. — 416 с. — С. 159—161
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ko mpleksnij logari fm analitichna funkciya sho otrimuyetsya poshirennyam dijsnogo logarifma na vsyu kompleksnu ploshinu krim nulya Isnuye kilka ekvivalentnih sposobiv takogo poshirennya Maye shiroke zastosuvannya v kompleksnomu analizi Na vidminu vid dijsnogo vipadku funkciya kompleksnogo logarifma bagatoznachna Naochne podannya funkciyi naturalnogo kompleksnogo logarifma golovna gilka Argument znachennya funkciyi poznachayetsya kolorom a modul yaskravistyuViznachennya ta vlastivostiDlya kompleksnih chisel logarifm mozhna viznachiti tak samo yak i dlya dijsnih tobto yak obernennya pokaznikovoyi funkciyi Na praktici vikoristovuyut praktichno lishe naturalnij kompleksnij logarifm osnova yakogo chislo Ejlera e displaystyle e zazvichaj jogo poznachayut L n z displaystyle mathrm Ln z Naturalnij logarifm kompleksnogo chisla z displaystyle z viznachayetsya yak rozv yazok w displaystyle w rivnyannya e w z displaystyle e w z Inshi ekvivalentni comu varianti viznachennya navedeno nizhche U poli kompleksnih chisel rozv yazok cogo rivnyannya na vidminu dijsnogo vipadku ne viznacheno odnoznachno Napriklad za totozhnistyu Ejlera e p i 1 displaystyle e pi i 1 odnak takozh e p i e 3 p i e 5 p i 1 displaystyle e pi i e 3 pi i e 5 pi i dots 1 Ce pov yazano z tim sho pokaznikova funkciya vzdovzh uyavnoyi osi ye periodichnoyu z periodom 2 p displaystyle 2 pi i neskinchenno bagato raziv nabuvaye tih samih znachen Takim chinom kompleksna logarifmichna funkciya w L n z displaystyle w mathrm Ln z ye bagatoznachnoyu Kompleksnij nul ne maye logarifma oskilki kompleksna eksponenta ne nabuvaye nulovogo znachennya Nenulove z displaystyle z mozhna podati v pokaznikovij formi z r e i f 2 p k displaystyle z r cdot e i varphi 2 pi k de k displaystyle k dovilne cile chislo Todi L n z displaystyle mathrm Ln z znahodyat za formuloyu L n z ln r i f 2 p k displaystyle mathrm Ln z ln r i left varphi 2 pi k right Tut ln r ln z displaystyle ln r ln z dijsnij logarifm Zvidsi viplivaye Kompleksnij logarifm L n z displaystyle mathrm Ln z isnuye dlya bud yakogo z 0 displaystyle z neq 0 i jogo dijsna chastina viznachayetsya odnoznachno todi yak uyavna chastina maye neskinchenno bagato znachen sho vidriznyayutsya na cile kratne 2 p displaystyle 2 pi Dijsna chastina kompleksnogo logarifma Z formuli vidno sho v odnogo j lishe odnogo zi znachen uyavna chastina perebuvaye v intervali p p displaystyle pi pi Ce znachennya nazivayut golovnim znachennyam kompleksnogo naturalnogo logarifma Vidpovidna vzhe odnoznachna funkciya nazivayetsya golovnoyu gilkoyu logarifma ta poznachayetsya ln z displaystyle ln z Inodi cherez ln z displaystyle ln z takozh poznachayut znachennya logarifma sho lezhit ne na golovnij gilci Yaksho z displaystyle z dijsne chislo to golovne znachennya jogo logarifma zbigayetsya zi zvichajnim dijsnim logarifmom Z navedenoyi formuli takozh viplivaye sho dijsna chastina logarifma viznachayetsya cherez komponenti argumentu tak Re ln x i y 1 2 ln x 2 y 2 displaystyle operatorname Re ln x iy frac 1 2 ln x 2 y 2 Na malyunku pokazano sho dijsna chastina yak funkciya komponentiv centralno simetrichna i zalezhit lishe vid vidstani do pochatku koordinat Yiyi otrimuyut obertannyam grafika dijsnogo logarifma navkolo vertikalnoyi osi Z nablizhennyam do nulya funkciya pragyamuye do displaystyle infty Logarifm vid yemnogo chisla znahodyat za formuloyu L n x ln x i p 2 k 1 x gt 0 k 0 1 2 displaystyle mathrm Ln x ln x i pi 2k 1 qquad x gt 0 k 0 pm 1 pm 2 dots Prikladi znachen kompleksnogo logarifmaNavedemo golovne znachennya logarifma ln displaystyle ln ta zagalnij jogo viraz L n displaystyle mathrm Ln dlya deyakih argumentiv ln 1 0 L n 1 2 k p i displaystyle ln 1 0 mathrm Ln 1 2k pi i ln 1 i p L n 1 2 k 1 i p displaystyle ln 1 i pi mathrm Ln 1 2k 1 i pi ln i i p 2 L n i 1 2 i p 4 k 1 displaystyle ln i i frac pi 2 mathrm Ln i frac 1 2 i pi 4k 1 Slid buti oberezhnim pri peretvorennyah kompleksnih logarifmiv vrahovuyuchi sho voni bagatoznachni i tomu z rivnosti logarifmiv bud yakih viraziv ne viplivaye rivnist cih viraziv Priklad pomilkovogo mirkuvannya i p ln 1 ln i 2 2 ln i 2 i p 2 i p displaystyle i pi ln 1 ln i 2 2 ln i 2 i pi 2 i pi ochevidna pomilka Zaznachimo sho livoruch stoyit golovne znachennya logarifma a pravoruch znachennya nizhchoyi gilki k 1 displaystyle k 1 Prichina pomilki neoberezhne vikoristannya vlastivosti log a b p p log a b displaystyle log a b p p log a b yake zagalom maye na uvazi v kompleksnomu vipadku ves neskinchennij nabir znachen logarifma a ne lishe golovne znachennya Kompleksna logarifmichna funkciya ta rimanova poverhnyaRimanova poverhnya dlya kompleksnogo logarifma U kompleksnomu analizi zamist rozglyadu bagatoznachnih funkcij na kompleksnij ploshini prijnyato inshe rishennya rozglyadati funkciyu yak odnoznachnu ale viznachenu ne na ploshini a na skladnishomu mnogovidi yakij nazivayut rimanovoyu poverhneyu Kompleksna logarifmichna funkciya takozh nalezhit do ciyeyi kategoriyi yiyi obraz div risunok skladayetsya z neskinchennogo chisla gilok zakruchenih u viglyadi spirali Cya poverhnya bezperervna i odnozv yazna Yedinij nul u funkciyi pershogo poryadku vihodit koli z 1 displaystyle z 1 Osoblivi tochki z 0 displaystyle z 0 i z displaystyle z infty tochki galuzhennya neskinchennogo poryadku U silu odnozv yaznosti rimanova poverhnya logarifma ye universalnoyu nakrivnoyu dlya kompleksnoyi ploshini bez tochki 0 displaystyle 0 Analitichne prodovzhennyaLogarifm kompleksnogo chisla takozh mozhna viznachiti yak analitichne prodovzhennya dijsnogo logarifma na vsyu kompleksnu ploshinu Nehaj kriva G displaystyle Gamma pochinayetsya v odinici zakinchuyetsya v z ne prohodit cherez nul i ne peretinaye vid yemnoyi chastinini dijsnoyi osi Todi golovne znachennya logarifma v kincevij tochci w displaystyle w krivoyi G displaystyle Gamma mozhna viznachiti za formuloyu ln z G d u u displaystyle ln z int limits Gamma du over u Yaksho G displaystyle Gamma prosta kriva bez samoperetiniv to dlya chisel sho lezhat na nij mozhna zastosovuvati bez poboyuvan napriklad ln w z ln w ln z z w G z w G displaystyle ln wz ln w ln z forall z w in Gamma colon zw in Gamma Golovna gilka logarifmichnoyi funkciyi neperervna i diferencijovna na vsij kompleksnij ploshini krim vid yemnoyi chastini dijsnoyi osi na yakij uyavna chastina stribkom zminyuyetsya na 2 p displaystyle 2 pi Ale cej fakt ye naslidkom shtuchnogo obmezhennya uyavnoyi chastini golovnogo znachennya intervalom p p displaystyle pi pi Yaksho rozglyanuti vsi gilki funkciyi to neperervnist ye u vsih tochkah krim nulya de funkciya ne viznachena Yaksho dozvoliti krivij G displaystyle Gamma peretinati vid yemnu chastinu dijsnoyi osi to pershij takij peretin perenosit rezultat z gilki golovnogo znachennya na susidnyu gilku a kozhen nastupnij peretin viklikaye analogichne zmishennya po gilkah logarifmichnoyi funkciyi div malyunok Z formuli analitichnogo prodovzhennya viplivaye sho na bud yakij gilci logarifma d d z ln z 1 z displaystyle frac d dz ln z 1 over z Dlya bud yakogo kola S displaystyle S sho ohoplyuye tochku 0 displaystyle 0 S d z z 2 p i displaystyle oint limits S dz over z 2 pi i Integral beretsya v dodatnomu napryamku proti godinnikovoyi strilki Cya totozhnist lezhit v osnovi teoriyi lishkiv Mozhna takozh viznachiti analitichne prodovzhennya kompleksnogo logarifma za dopomogoyu versij ryadu Merkatora vidomih dlya dijsnogo vipadku ln 1 x x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle ln 1 x x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 dots Ryad 1 ln 1 x 1 x 2 x x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle ln left frac 1 x 1 x right 2 left x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 dots right Ryad 2 Prote z viglyadu cih ryadiv viplivaye sho v odinici suma ryadu dorivnyuye nulyu tobto ryad stosuyetsya lishe do golovnoyi gilki bagatoznachnoyi funkciyi kompleksnogo logarifma Radius zbizhnosti oboh ryadiv dorivnyuye 1 Zv yazok iz obernenimi trigonometrichnimi ta giperbolichnimi funkciyamiOskilki kompleksni trigonometrichni funkciyi pov yazani z eksponentoyu formula Ejlera to kompleksnij logarifm yak obernena do eksponenti funkciya pov yazanij iz obernenimi trigonometrichnimi funkciyami Arcsin z i Ln i z 1 z 2 displaystyle operatorname Arcsin z i operatorname Ln iz sqrt 1 z 2 Arccos z i Ln z i 1 z 2 displaystyle operatorname Arccos z i operatorname Ln z i sqrt 1 z 2 Arctg z i 2 ln 1 z i 1 z i k p z i displaystyle operatorname Arctg z frac i 2 ln frac 1 zi 1 zi k pi z neq pm i Arcctg z i 2 ln z i 1 z i 1 k p z i displaystyle operatorname Arcctg z frac i 2 ln frac zi 1 zi 1 k pi z neq pm i Giperbolichni funkciyi na kompleksnij ploshini mozhna rozglyadati yak trigonometrichni funkciyi uyavnogo argumentu tomu tut maye misce zv yazok iz logarifmom Arsh z Ln z z 2 1 displaystyle operatorname Arsh z operatorname Ln z sqrt z 2 1 obernenij giperbolichnij sinus Arch z Ln z z 2 1 displaystyle operatorname Arch z operatorname Ln left z sqrt z 2 1 right obernenij giperbolichnij kosinus Arth z 1 2 Ln 1 z 1 z displaystyle operatorname Arth z frac 1 2 operatorname Ln left frac 1 z 1 z right obernenij giperbolichnij tangens Arcth z 1 2 Ln z 1 z 1 displaystyle operatorname Arcth z frac 1 2 operatorname Ln left frac z 1 z 1 right obernenij giperbolichnij kotangensIstoriyaPershi sprobi poshiriti logarifmi na kompleksni chisla robili na rubezhi XVII XVIII stolit Lejbnic i Jogann Bernulli odnak stvoriti cilisnu teoriyu yim ne vdalosya nasampered z tiyeyi prichini sho todi she ne bulo chitko viznacheno ponyattya logarifma Diskutuvali z cogo privodu spochatku Lejbnic i Bernulli a v seredini XVIII stolittya d Alamber i Ejler Bernulli ta D Alamber vvazhali sho slid viznachiti log x log x displaystyle log x log x todi yak Lejbnic dovodiv sho logarifm vid yemnogo chisla uyavne chislo Povnu teoriyu logarifmiv vid yemnih i kompleksnih chisel opublikuvav u 1747 1751 rokah Ejler i vona po suti nichim ne vidriznyayetsya vid suchasnoyi Hocha superechka trivala d Alamber vidstoyuvav svoyu dumku i dokladno argumentuvav yiyi v statti svoyeyi Enciklopediyi ta inshih pracyah pidhid Ejlera do kincya XVIII stolittya nabuv zagalnogo viznannya U XIX stolitti z rozvitkom kompleksnogo analizu doslidzhennya kompleksnogo logarifma stimulyuvalo novi vidkrittya Gauss 1811 roku rozrobiv povnu teoriyu bagatoznachnosti logarifmichnoyi funkciyi yaka viznachayetsya yak integral vid 1 z displaystyle frac 1 z Riman spirayuchis na vzhe vidomi fakti pro cyu ta analogichni funkciyi pobuduvav zagalnu teoriyu rimanovih poverhon Rozrobka teoriyi konformnih vidobrazhen pokazala sho merkatorivsku proyekciyu v kartografiyi yaka vinikla she do vidkrittya logarifmiv 1550 mozhna opisati yak kompleksnij logarifm LiteraturaTeoriya logarifmiv Korn G Korn T 1 M Nauka 1973 720 s z dzherela 19 sichnya 2015 Sveshnikov A G Tihonov A N Teoriya funkcij kompleksnoj peremennoj M Nauka 1967 304 s Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya izd 6 e M Nauka 1966 680 s Istoriya logarifmiv Matematika XVIII stoletiya Istoriya matematiki Pod redakciej A P Yushkevicha v tryoh tomah M Nauka 1972 T III z dzherela 24 bereznya 2017 Kolmogorov A N Yushkevich A P red Matematika XIX veka Geometriya Teoriya analiticheskih funkcij M Nauka 1981 T II PrimitkiLogarifmicheskaya funkciya Matematicheskaya enciklopediya v 5 tomah M Sovetskaya Enciklopediya 1982 T 3 Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya 1966 Tom II str 520 522 Korn G Korn T Spravochnik po matematike 1973 s 623 Sveshnikov A G Tihonov A N Teoriya funkcij kompleksnoj peremennoj 1967 s 92 94 Sveshnikov A G Tihonov A N Teoriya funkcij kompleksnoj peremennoj 1967 s 45 46 99 100 Boltyanskij V G Efremovich V A Naglyadnaya topologiya M Nauka 1982 S 112 Bibliotechka Kvant vypusk 21 z dzherela 2 bereznya 2022 Fihtengolc G M Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya 1966 Tom II str 522 526 Korn G Korn T Spravochnik po matematike 1973 s 624 Istoriya matematiki tom III 1972 s 325 328 Rybnikov K A Istoriya matematiki V dvuh tomah M Izd MGU 1963 T II S 27 230 231 Matematika XIX veka Tom II Geometriya Teoriya analiticheskih funkcij 1981 s 122 123 Klejn F Elementarnaya matematika s tochki zreniya vysshej http ilib mccme ru djvu klejn 2 htm 16 zhovtnya 2015 u Wayback Machine tom II Geometriya M Nauka 1987 416 s S 159 161