Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Класи Чженя (або класи Черна) — це характеристичні класи, асоційовані з комплексними векторними розшаруваннями.
Класи Чженя ввів Шіінг-Шен Чжень.
Класи Чжен є топологічними інваріантами, асоційованими з векторними розшаруваннями на гладких многовидах. Питання, чи є два зовні різні векторні розшарування одним і тим же розшаруванням може виявитися досить складним. Класи Чженя дають простий тест — якщо класи Чжен пари векторних розшарувань не узгоджуються, векторні розшарування різні. Зворотне, однак, не вірно.
У топології, диференціальній геометрії і алгебричній геометрії часто важливо підрахувати, як багато лінійно незалежних перетинів має векторне розшарування. Класи Чженя дають деяку інформацію про це за допомогою, наприклад, теореми Рімана — Роха і теореми Атьі — Зінгера про індекс. клас Чженя діє протилежно класу Тодда.
Класи Чжен також зручні для практичних обчислень. У диференціальній геометрії (і деяких типах алгебричної геометрії), класи Чжен можна виразити як многочлени від коефіцієнтів форми кривини.
Побудова класів Чженя
Існують різні підходи до класів, кожен з яких фокусується на злегка різні властивості класів Чжен.
Вихідним підходом до класів Чжен був підхід з боку алгебртчної топології — класи Чжен виникають через теорію гомотопії, яка дозволяє побудувати асоційоване з розшаруванням V відображення многовиду в класифікуючий простір (нескінченний грассманіан в цьому випадку). Для будь-якого векторного розшарування V над многовидом M існує відображення f з M в класифікуючий простір, таке що розшарування V одно прообразу (щодо f) універсального розшарування над класифікуючий простір, а класи Чжен розшарування V можна тому визначити як прообрази класів Чжен універсального розшарування. Ці універсальні класи Чжен, у свою чергу, можна виписати явно в термінах циклів Шуберта.
Можна показати, що два відображення f і g з M в класифікуючий простір, прообрази щодо яких є тим же самим розшаруванням V, повинні бути гомотопними. Таким чином, прообрази щодо f і g будь-якого універсального класу Чжен в класі когомологій многовиду M повинні бути одним і тим же класом. Це показує, що класи Чжен розшарування V коректно визначені.
Підхід Чжен спирається на диференціальну геометрію через використання кривини. Чжень показав, що більш раннє означення було, фактично, еквівалентно його означенням. Отримана теорія відома як теорія Чжен — Вейля.
Існує також підхід Олександра Гротендіка, який показав, що аксіоматично достатньо визначити тільки класи лінійних розшарувань.
Класи Чжен виникають природним чином в алгебричній геометрії. Узагальнені класи Чжен в алгебричній геометрії можна визначити для векторних розшарувань (або, точніше, локально вільних пучків) над будь-яким неособливим многовидом. Алгебро-геометричні класи Чжен не накладають обмежень на основне поле. Зокрема, векторні розшарування не обов'язково мусять бути комплексними.
Незалежно від вихідної парадигми інтуїтивне значення класу Чжен стосується 'нулів' перетинів векторного розшарування. Наприклад, теорема про причісування їжака. Хоча, строго кажучи, питання відноситься до матеріального векторного розшарування («волосся» на кулі є копіями дійсної прямої), існують узагальнення, в яких «волосся» комплексні, або для одновимірних проективних просторів над багатьма іншими полями.
Посилання
- Chern, Shiing-Shen (1946), Characteristic classes of Hermitian Manifolds, Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 47, No. 1, 47 (1): 85—121, doi:10.2307/1969037, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969037
- Grothendieck, Alexander (1958), La théorie des classes de Chern, Bulletin de la Société Mathématique de France, 86: 137—154, ISSN 0037-9484, MR 0116023, архів оригіналу за 2 Червня 2018, процитовано 24 Вересня 2018
- Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (вид. 4th), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN (Provides a very short, introductory review of Chern classes).
- May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press
- Milnor, John Willard; (1974), Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies, т. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN
- Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nemaye perevirenih versij ciyeyi storinki jmovirno yiyi she ne pereviryali na vidpovidnist pravilam proektu Klasi Chzhenya abo klasi Cherna ce harakteristichni klasi asocijovani z kompleksnimi vektornimi rozsharuvannyami Klasi Chzhenya vviv Shiing Shen Chzhen Klasi Chzhen ye topologichnimi invariantami asocijovanimi z vektornimi rozsharuvannyami na gladkih mnogovidah Pitannya chi ye dva zovni rizni vektorni rozsharuvannya odnim i tim zhe rozsharuvannyam mozhe viyavitisya dosit skladnim Klasi Chzhenya dayut prostij test yaksho klasi Chzhen pari vektornih rozsharuvan ne uzgodzhuyutsya vektorni rozsharuvannya rizni Zvorotne odnak ne virno U topologiyi diferencialnij geometriyi i algebrichnij geometriyi chasto vazhlivo pidrahuvati yak bagato linijno nezalezhnih peretiniv maye vektorne rozsharuvannya Klasi Chzhenya dayut deyaku informaciyu pro ce za dopomogoyu napriklad teoremi Rimana Roha i teoremi Ati Zingera pro indeks klas Chzhenya diye protilezhno klasu Todda Klasi Chzhen takozh zruchni dlya praktichnih obchislen U diferencialnij geometriyi i deyakih tipah algebrichnoyi geometriyi klasi Chzhen mozhna viraziti yak mnogochleni vid koeficiyentiv formi krivini Pobudova klasiv Chzhenyared Isnuyut rizni pidhodi do klasiv kozhen z yakih fokusuyetsya na zlegka rizni vlastivosti klasiv Chzhen Vihidnim pidhodom do klasiv Chzhen buv pidhid z boku algebrtchnoyi topologiyi klasi Chzhen vinikayut cherez teoriyu gomotopiyi yaka dozvolyaye pobuduvati asocijovane z rozsharuvannyam V vidobrazhennya mnogovidu v klasifikuyuchij prostir neskinchennij grassmanian v comu vipadku Dlya bud yakogo vektornogo rozsharuvannya V nad mnogovidom M isnuye vidobrazhennya f z M v klasifikuyuchij prostir take sho rozsharuvannya V odno proobrazu shodo f universalnogo rozsharuvannya nad klasifikuyuchij prostir a klasi Chzhen rozsharuvannya V mozhna tomu viznachiti yak proobrazi klasiv Chzhen universalnogo rozsharuvannya Ci universalni klasi Chzhen u svoyu chergu mozhna vipisati yavno v terminah cikliv Shuberta Mozhna pokazati sho dva vidobrazhennya f i g z M v klasifikuyuchij prostir proobrazi shodo yakih ye tim zhe samim rozsharuvannyam V povinni buti gomotopnimi Takim chinom proobrazi shodo f i g bud yakogo universalnogo klasu Chzhen v klasi kogomologij mnogovidu M povinni buti odnim i tim zhe klasom Ce pokazuye sho klasi Chzhen rozsharuvannya V korektno viznacheni Pidhid Chzhen spirayetsya na diferencialnu geometriyu cherez vikoristannya krivini Chzhen pokazav sho bilsh rannye oznachennya bulo faktichno ekvivalentno jogo oznachennyam Otrimana teoriya vidoma yak teoriya Chzhen Vejlya Isnuye takozh pidhid Oleksandra Grotendika yakij pokazav sho aksiomatichno dostatno viznachiti tilki klasi linijnih rozsharuvan Klasi Chzhen vinikayut prirodnim chinom v algebrichnij geometriyi Uzagalneni klasi Chzhen v algebrichnij geometriyi mozhna viznachiti dlya vektornih rozsharuvan abo tochnishe lokalno vilnih puchkiv nad bud yakim neosoblivim mnogovidom Algebro geometrichni klasi Chzhen ne nakladayut obmezhen na osnovne pole Zokrema vektorni rozsharuvannya ne obov yazkovo musyat buti kompleksnimi Nezalezhno vid vihidnoyi paradigmi intuyitivne znachennya klasu Chzhen stosuyetsya nuliv peretiniv vektornogo rozsharuvannya Napriklad teorema pro prichisuvannya yizhaka Hocha strogo kazhuchi pitannya vidnositsya do materialnogo vektornogo rozsharuvannya volossya na kuli ye kopiyami dijsnoyi pryamoyi isnuyut uzagalnennya v yakih volossya kompleksni abo dlya odnovimirnih proektivnih prostoriv nad bagatma inshimi polyami Posilannyared Chern Shiing Shen 1946 Characteristic classes of Hermitian Manifolds Annals of Mathematics Second Series The Annals of Mathematics Vol 47 No 1 47 1 85 121 doi 10 2307 1969037 ISSN 0003 486X JSTOR 1969037 Grothendieck Alexander 1958 La theorie des classes de Chern Bulletin de la Societe Mathematique de France 86 137 154 ISSN 0037 9484 MR 0116023 arhiv originalu za 2 Chervnya 2018 procitovano 24 Veresnya 2018 Jost Jurgen 2005 Riemannian Geometry and Geometric Analysis vid 4th Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 3 540 25907 7 Provides a very short introductory review of Chern classes May J Peter 1999 A Concise Course in Algebraic Topology University of Chicago Press Milnor John Willard Stasheff James D 1974 Characteristic classes Annals of Mathematics Studies t 76 Princeton University Press University of Tokyo Press ISBN 978 0 691 08122 9 Rubei Elena 2014 Algebraic Geometry a concise dictionary Berlin Boston Walter De Gruyter ISBN 978 3 11 031622 3 Otrimano z https uk wikipedia org wiki Klas Chzhenya