В рімановій геометрії зв язністю Леві Чивіти називається особлива афінна зв язність на дотичному розшаруванні псевдо рім

В рімановій геометрії, зв'язністю Леві-Чивіти називається особлива афінна зв'язність на дотичному розшаруванні (псевдо)ріманового многовиду. Дана зв'язність не має кручень і узгоджується з (псевдо)рімановою метрикою. Для кожного (псевдо)ріманового многовиду існує єдина зв'язність Леві-Чивіти, що має багато важливих властивостей і є одним з основних об'єктів вивчення у рімановій геометрії. Названа на честь італійського математика Тулліо Леві-Чивіти.

Визначення

Нехай g — псевдоріманова метрика класу $C^{k}$ на гладкому многовиді M, тобто сім'я симетричних білінійних невироджених форм g_x на дотичних просторах $T_{x}M$ , таких, що для довільних векторних полів X і Y класу $C^{k}$ , функція g(X,Y) належить до класу $C^{k}$ . Сигнатура g є локально сталою величиною. Якщо білінійна форма g_x є додатноозначеною в кожній точці x то g називається рімановою метрикою.

Нехай $\nabla$ — афінна зв'язність, тобто оператор, що для довільних векторних полів X і Y класу $C^{k}$ однозначно визначає векторне поле $\nabla _{X}Y$ того ж класу, так що для $C^{k}$ -поля $Z$ і $C^{k}$ -функції $f$ виконуються умови:

{\begin{aligned}&\nabla _{X}(Y+Z)=\nabla _{X}Y+\nabla _{X}Z\\&\nabla _{X+Y}Z=\nabla _{X}Z+\nabla _{Y}Z\\&\nabla _{X}(fY)=f\nabla _{X}Y+X(f)Y\\&\nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y.\end{aligned}}

Дана афінна зв'язність $\nabla$ називається зв'язністю Леві-Чивіти якщо вона додатково задовольняє умови :

$\nabla$ є зв'язністю без кручень, тобто її тензор кручення є нульовим: для всіх векторних полів $X$ і $Y$ відповідного класу, $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ ;
$g$ є паралельною: для всіх векторних полів $X$ , $Y$ і $Z$ відповідного класу, справедливою є рівність :

Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)

.

Одним із найважливіших результатів ріманової геометрії є твердження про існування і єдиність зв'язності Леві-Чивіти для всіх (псевдо)ріманових многовидів.

Доведення

Єдиність : Припустимо існування зв'язності Леві-Чивіти і доведемо її єдиність. Нехай метрика g є паралельною для зв'язності Леві-Чивіти, для всіх векторних полів $X$ , $Y$ і $Z$ , маємо : $X\cdot g(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$ , $Y\cdot g(Z,X)=g(\nabla _{Y}Z,X)+g(Z,\nabla _{Y}X)$ , $Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)$ .Додавши перші дві рівності і віднявши третю отримуємо : $X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).$ Зважаючи на відсутність кручень, цей вираз можна спростити : $2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$ .Зважаючи на невиродженість g, зв'язність $\nabla$ є однозначно визначеною у всіх випадках.
Існування : Для всіх векторних полів X і Y на M визначимо векторне поле $\scriptstyle \nabla _{X}Y$ , що є єдиним векторним полем на M, яке задовольняє вище отриману рівність : $2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$ .Тоді оператор $\nabla$ є афінною зв'язністю. Справді, для всіх функцій f: $2g(\nabla _{X}(fY),Z)=X\cdot g(fY,Z)+(fY)\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,fY)+g([X,fY],Z)+g([Z,X],fY)-g([fY,Z],X)$ $=df(X).g(Y,Z)-df(Z).g(X,Y)+df(X).g(Y,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla _{X}Y,Z)$ $=2g(df(X).Y+f\nabla _{X}Y,Z)$ $2g(\nabla _{fX}Y,Z)=(fX)\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,fX)-Z\cdot g(fX,Y)+g([fX,Y],Z)+g([Z,fX],Y)-g([Y,Z],fX)$ $=df(Y).g(Z,X)-df(Z).g(X,Y)-df(Y).g(X,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla _{X}Y,Z)$ $=2g(f\nabla _{X}Y,Z)$ . $\nabla$ є зв'язністю без кручень: $2g(\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$ $-Y\cdot g(X,Z)-X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)+g([X,Z],Y)$ $=2g([X,Y],Z)$ .Нарешті, g є паралельною метрикою для $\nabla$ : $2g(\nabla _{X}Y,Z)+2g(Y,\nabla _{X}Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)$ $+X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-Y\cdot g(X,Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)$ $=2X\cdot g(Y,Z)$ .Тобто $\nabla$ задовольняє всі умови з визначення зв'язності Леві-Чивіти.

Запис в локальних координатах

Розглянемо тепер локальні координати $x_{1}\ldots x_{n}$ у рімановому многовиді і відповідний локальний базис у дотичних просторах $e_{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ .

Позначимо $g_{ij}=g(e_{i},e_{j})$ компоненти метричного тензора g в цьому локальному базисі. Визначені властивості зв'язності Леві-Чивіти можна подати через символи Крістоффеля $\Gamma _{ij}^{k}$ , що визначаються з рівностей :

\nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}e_{k}

Символи Крістофеля для :

\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{m=1}^{n}g^{km}\left({\frac {\partial g_{mi}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{m}}}\right).

де $g^{km}$ є відповідними елементами матриці оберненої до матриці $g_{ij}$ .

Див. також

Джерела

Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press. ISBN . (англ.)
Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J., ISBN (англ.)
Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN . (англ.)
Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume II). Publish or Perish Press. ISBN . (англ.)