Збіжність за Борелем

Збіжність за Борелем — узагальнення поняття збіжності ряду, запропоноване французьким математиком Емілем Борелем. Загалом існує два нееквівалентні визначення, які пов'язують з іменем Бореля.

Визначення

• Нехай дано числовий ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд називається збіжним за Борелем (або B-збіжним), якщо існує границя:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}S_{k}=S,}$ де S_k — часткові суми ряду. Число S тоді називається борелівською сумою ряду.

• Нехай дано числовий ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд називається збіжним за Борелем (або B^'-збіжним), якщо існує інтеграл:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}t^{n}=S}$

Приклад

Розглянемо ряд ${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.}$ Цей ряд є розбіжним для довільного ${\displaystyle x\neq 0.}$ Проте за інтегральним визначенням збіжності за Борелем маємо:

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t}}{1-xt}},}$

і сума є визначеною для від'ємних значень x.

Властивості

Нехай функція:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

регулярна в нулі і С — множина всіх її особливих точок. Через кожну точку ${\displaystyle P\in C}$ проведемо відрізок ${\displaystyle OP\,}$ і пряму ${\displaystyle L_{p}\,,}$ що проходить через точку Р перпендикулярно до ${\displaystyle OP\,}$. Множина точок, що лежать по одну сторону з нулем для кожної з прямих ${\displaystyle L_{p}\,,}$ позначимо ${\displaystyle \Pi \,}$. Тоді межа ${\displaystyle \Gamma \,}$ області ${\displaystyle \Pi \,}$ називається многокутником Бореля функції f(z), а область ${\displaystyle \Pi \,}$ її внутрішньою областю. Справедлива теорема: ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

є B-збіжним в області ${\displaystyle \Pi \,}$ і не є B-збіжним в області ${\displaystyle \Pi ^{*}\,}$ — доповненні до ${\displaystyle \Pi \,}$ .

Див. також

• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Ейлером
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Посилання

• Borel summation method [ 19 червня 2010 у Wayback Machine.], in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer,
• Borel Summation [ 16 липня 2011 у Wayback Machine.]

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, .