Збіжність за Пуассоном — Абелем

Збіжність за Пуассоном — Абелем — узагальнення поняття збіжності ряду, яке запропонували Пуассон і Абель.

Визначення

Нехай ${\displaystyle A}$ — числовий ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд ${\displaystyle A}$ називають збіжним за Пуассоном — Абелем, якщо існує границя:

${\displaystyle \lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}=s_{p}(A)}$

Приклад

Розглянемо ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}}$. Цей ряд збіжний за Пуассоном — Абелем: ${\displaystyle \lim _{x\to 1-0}(1-x+x^{2}-...)=\lim _{x\to 1-0}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}}$

Властивості

• Якщо ${\displaystyle A}$ — збіжний ряд, то він збігається за Пуассоном — Абелем і ${\displaystyle s_{p}(A)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$.
• Якщо ряди ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ збіжні за Пуассоном — Абелем, то і їх добуток ${\displaystyle C}$ збігається за Пуассоном — Абелем і ${\displaystyle s_{p}(A)s_{p}(B)=s_{p}(C)}$.

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Ейлером

Примітка

1. Воробьев, 1986, с. 286.
2. Воробьев, 1986, с. 289.
3. Воробьев, 1986, с. 291.

Література

• Теория рядов. — М. : Наука, 1986. — 408 с.