Дужки Лагранжа

Дужки Лагранжа — бінарна операція в гамільтоновій механіці, тісно пов'язана з іншою бінарною операцією, дужками Пуассона. Дужки Лагранжа були введені Лагранжем у 1808—1810 роках для математичних виразів у класичній механіці. На відміну від дужок Пуассона, зараз дужки Лагранжа практично не використовуються.

Означення

Нехай (q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) — набір канонічних координат у фазовому просторі. Якщо кожну з них виразити функцією двох змінних, u і v, то в цьому випадку дужки Лагранжа від u та v можна визначити за допомогою формули

${\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).}$

Ця формула відрізняється від означення дужок Пуассона перестановкою чисельників і знаменників в операторах частинних похідних.

Властивості

• Як і дужки Пуассона, дужки Лагранжа є антикомутативними, що очевидно безпосередньо випливає з їхнього означення:

${\displaystyle [u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.}$

• Дужки Лагранжа не залежать від набору канонічних координат (q, p): наприклад, якщо (Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) є іншим набором канонічних координат, причому ${\displaystyle \{Q=Q(q,p),\;P=P(q,p)\}}$ — це канонічне перетворення, то дужки Лагранжа є інваріантом цього перетворення в тому сенсі, що

${\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}$

Внаслідок цього індекси, що позначають канонічні координати, часто опускаються.

• Якщо Ω є симплектичним простором у 2n-вимірному фазовому просторі W і u₁, …, u_2n — набір координат в W, то канонічні координати (q, p) можна виразити за допомогою функцій від координат u, а матриця дужок Лагранжа

${\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$,

що розглядається в даному випадку як тензор, є компонентами Ω в координатах u. Ця матриця є оберненою до матриці, що утворена дужками Пуассона

${\displaystyle \{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$

в координатах u.

• Як наслідок попередніх властивостей, координати (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) в фазовому просторі є канонічними тоді і тільки тоді, коли дужки Лагранжа між ними мають вигляд

${\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}$

Література

• Ланцош К. Вариационные принципы механики = The Variational Principles of Mechanics. — М. : Мир, 1965. — 408 с.
• Soldatov A. P. Lagrange bracket // Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel, Michiel. — Springer. — .
• Iglesias P. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Math. — 1998. — Т. (2) 44, вип. 3-4. — С. 257–277.MR1659212

Посилання

• Eric W. Weisstein Lagrange bracket(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.