Дробове числення

Дробове числення — розділ математичного аналізу, що вивчає різні способи задання операторів диференціювання ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$$ і інтегрування ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds}$$ дійсного або комплексного порядку.

Історія

У прикладній математиці та математичному аналізі дробова похідна — це похідна будь-якого довільного порядку, дійсного чи комплексного. Вперше про неї згадав 1695 року Готфрід Вільгельм Лейбніц у листі, до Гійома де Лопіталя. Приблизно в той самий час Лейбніц написав одному з братів Бернулі, описуючи подібність між біноміальною теоремою та правилом Лейбніца для дробової похідної добутку двох функцій.

Дробове числення введено в одній з ранніх праць Нільса Генріка Абеля, в якій можна побачити багато його елементів: ідею дробового інтегрування та дробового диференціювання, взаємно обернений зв'язок між ними, розуміння того, що дробові диференціювання та інтегрування можна розглядати як одну й ту саму узагальнену операцію, і навіть уніфіковану нотацію для диференціювання та інтегрування довільного дійсного порядку.

Незалежно від нього, Ліувілль заклав основи предмету в статті 1832 року. Близько 1890 року самоук Олівер Гевісайд представив практичне застосування дробових диференціальних операторів до аналізу ліній електропередач. Теорія та застосування дробового числення значно розширилися протягом XIX та XX століть. Численні автори давали різні визначення дробових похідних та інтегралів.

Дробові інтеграли

Нехай ${\displaystyle f}$ — функція, визначена на ${\displaystyle (0,+\infty )}$. Якщо оператор $${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,}$$ взяти двічі від ${\displaystyle f}$, то буде $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,.\end{aligned}}}$$

І це можна повторювати довільну кількість разів. За ^[en] $${\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$$ де n — будь-яке натуральне число.

Використання гамма-функції замість факторіала дає такий оператор дробового інтегрування:

$${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$$

Отриманий у такий спосіб оператор J задовольняє таку умову: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Це відношення називають напівгруповою властивістю дробових диферінтегральних операторів.

Дробовий інтеграл Рімана — Ліувілля

Класичною формою дробового числення є ^[en], який, по суті, є тим, що описано вище. Теорію дробового інтегрування для періодичних функцій (включаючи «граничну умову» повторення через період) дає ^[en]. Він визначений на рядах Фур'є і вимагає, щоб вільний коефіцієнт тригонометричного ряду дорівнював нулю. Інтеграл Рімана — Ліувілля існує у двох формах, верхній та нижній. На відрізку [a,b] ці форми визначають як $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,,\\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,.\end{aligned}}}$$ Перша форма справедлива для t > a, а друга — для t < b.

Інтеграл на додатній дійсній півосі (тобто, a = 0), виходячи з історії відкриття та використання, запропоновано назвати інтегралом Абеля — Рімана, і, в тому ж ключі, інтеграл за всією дійсною прямою названо інтегралом Ліувілля — Вейля.

Дробовий інтеграл Адамара

Дробовий інтеграл Адамара, який увів Жак Адамар, задають такою формулою: $${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$

Дробовий інтеграл Атангани — Балеану

Дробовий інтеграл Атангани — Балеану для неперервної функції визначають так: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,.}$$

Дробові похідні

Аналогічний процес для оператора диференціювання D є складнішим. Можна показати, що в загальному випадку D не є ані комутативним, ані адитивним.

На відміну від класичних ньютонівських похідних, дробові похідні можна визначити різними способами, не всі з яких приводять до однакового результату навіть для гладких функцій. Деякі з них визначають через дробовий інтеграл. Через несумісність визначень часто необхідно чітко вказувати, яке з них використано.

Дробові похідні функції Гаусса — неперервна інтерполяція між функцією та її першою похідною.

Дробова похідна Рімана — Ліувілля

Дробову похідну Рімана — Ліувілля обчислюють за правилом Лагранжа для диференціальних операторів. Для знаходження похідної α-го порядку обчислюють похідну n-го порядку від інтеграла порядку (n − α), де n — найменше ціле число, більше за α (тобто, n = ⌈α⌉). Дробові похідна та інтеграл Рімана — Ліувілля мають низку застосувань. Подібно до визначення інтеграла Рімана — Ліувілля, похідна має верхню та нижню форми: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\,,\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\,.\end{aligned}}}$$

Дробова похідна Капуто

Іншим способом обчислення дробових похідних є дробова похідна Капуто. Її ввів Мікеле Капуто у своїй статті 1967 року. На відміну від дробової похідної Рімана-Ліувілля, при розв'язуванні диференціальних рівнянь використовуючи означення Капуто не потрібно визначати початкові умови дробового порядку. Означення Капуто вводится так (тут знову n = ⌈α⌉): $${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

Для ${\displaystyle \nu \in (n-1,n)}$ дробова похідна Капуто має такий вигляд: $${\displaystyle \sideset {^{C}}{^{\nu }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\,,}$$ і має ту перевагу, що дорівнює нулю, коли f є константою, а її перетворення Лапласа виражається через початкові значення функції та її похідної. Крім того, похідну Капуто для [a,b] визначають як $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[\sideset {^{C}}{^{\nu }}Df(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \,,\end{aligned}}}$$ де ϕ — вагова функція.

Дробова похідна Капуто-Фабріціо

У статті 2015 року М. Капуто та М. Фабріціо представили означення дробової похідної з несингулярним ядром для неперервно-диференційованої функції f, заданої так: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$ де ${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$.

Дробова похідна Атангани — Балеану

У 2016 році Атангана та Балеану запропонували диференціальні оператори на основі узагальненої функції Міттага-Лефлера E_α. Метою було ввести дробові диференціальні оператори з несингулярним нелокальним ядром. Їхні дробові диференціальні оператори наведено нижче в сенсі Рімана — Ліувілля та Капуто відповідно для неперервно-диференційованої функції f: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau \,.}$$ Якщо функція f неперервна, то похідна Атангани — Балеану в сенсі Рімана — Ліувілля має вигляд $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau \,.}$$

Ядро, що використовується в дробовій похідній Атангани — Балеану, має деякі властивості кумулятивної функції розподілу. Наприклад, для всіх ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ функція E_α зростає на дійсній прямій, збігається до 0 в -∞, і ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$. Отже, функція ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$ є кумулятивною функцією розподілу ймовірнісної міри на додатних дійсних числах. Таким чином, визначено розподіл, і будь-який його кратний розподіл називається ^[en] порядку α. Також, усі ці розподіли ймовірностей є абсолютно неперервними. Зокрема, функція Міттага-Леффлера має окремий випадок E₁, коли є експонентою. Таким чином, розподіл Міттага-Леффлера порядку 1 є експоненційним розподілом.

Дробова похідна Ріса

Похідну Ріса визначають як $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$ де ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ позначає перетворення Фур'є.

Інші типи

До класичних дробових похідних належать:

• ^[en]
• Похідна Соніна — Летнікова
• Похідна Ліувілля
• Похідна Капуто
• Похідна Адамара
• Похідна Маршо
• Похідна Ріса
• Похідна Міллера — Росса
• ^[en]
• ^[en]
• ${\displaystyle F^{\alpha }}$-похідна

До нових дробових похідних належать:

• Похідна Коїмбри
• Похідна Гільфера
• Похідна Девідсона
• Похідна Чена
• Похідна Капуто — Фабріціо
• Похідна Атангани — Балеану

Узагальнення

Оператор Ерделі — Кобера

Оператор Ерделі — Кобера — це інтегральний оператор, який 1940 року ввели ^[en] та ^[en], має вигляд $${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$ який узагальнює дробовий інтеграл Рімана — Ліувілля та інтеграл Вейля.

Застосування

Дробове збереження маси

Рівняння дробового збереження маси необхідне для моделювання потоку рідини, коли ^[en] недостатньо великий порівняно з ^[en] і коли потік у контрольному об'ємі є нелінійним: $${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}\,.}$$

Електрохімічний аналіз

При вивченні окисно-відновлювальної поведінки субстрату в розчині до поверхні електрода прикладають напругу, щоб змусити електрони переходити між електродом і субстратом. Перенос електронів, що виникає в результаті, вимірюється як струм. Струм залежить від концентрації субстрату на поверхні електрода. Коли підкладка витрачається, свіжа підкладка дифундує до електрода, як описано в законах дифузії Фіка. Перетворення Лапласа другого закону Фіка дає звичайне диференціальне рівняння другого порядку (в безрозмірній формі): $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)\,.}$$ Якщо взяти похідну від C(x,s), а потім обернене перетворення Лапласа, то отримаємо таку залежність: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)\,,}$$ яка пов'язує концентрацію субстрату на поверхні електрода зі струмом. Ця залежність застосовується в електрохімічній кінетиці для з'ясування механістичної поведінки. Наприклад, її використано для вивчення швидкості димеризації субстратів при електрохімічному відновленні.

Задача потоку підземних вод

У 2013—2014 роках описано деякі задачі потоку підземних вод, використовуючи поняття дробової похідної. Класичний закон Дарсі узагальнено, розглядаючи потік води як функцію похідної нецілого порядку від п'єзометричного напору. Цей узагальнений закон і закон збереження маси використали для виведення нового рівняння для потоку підземних вод.

Моделі просторово-часових дробових рівнянь дифузії

Аномальні дифузійні процеси в складних середовищах можна добре описати за допомогою моделей рівнянь дифузії дробового порядку. Часова похідна відповідає довготривалому розпаду важкого хвоста, а просторова похідна — нелокальності дифузії. Рівняння просторово-часової дробової дифузії можна записати у вигляді $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

Простим продовженням дробової похідної є дробова похідна змінного порядку, за якого α і β змінюються на α(x, t) і β(x, t). Його можна застосовувати в моделюванні аномальної дифузії.

Моделі структурного згасного коливання

Дробові похідні використовують для моделювання в'язкоеластичного згасного коливання в певних типах матеріалів, таких як полімери.

ПІД-регулятори

Узагальнення ПІД-регуляторів для використання дробових порядків може збільшити ступінь їхньої свободи. Нове рівняння, що зв'язує керувальну змінну u(t) з виміряним значенням похибки e(t), можна записати як $${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)\,,}$$ де α і β — додатні дробові порядки, а K_p, K_i, і K_d — невід'ємні коефіцієнти при пропорційному, інтегральному і похідному членах відповідно (іноді позначається, як P, I, і D).

Рівняння акустичних хвиль для складних середовищ

Поширення акустичних хвиль у складних середовищах, таких як біологічні тканини, зазвичай передбачає згасання, що підпорядковується частотному степеневому закону. Таке явище можна описати за допомогою причинно-наслідкового хвильового рівняння, яке включає дробові похідні за часом: $${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

Такі моделі пов'язані із загальновизнаною гіпотезою про те, що в складних середовищах явища множинної релаксації призводять до згасання.

Дробове рівняння Шредінгера у квантовій теорії

Дробове рівняння Шредінгера має такий вигляд: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,,}$$ де ψ(r, t) — хвильова функція, а ħ — зведена стала Планка. Функція потенціальної енергії V(r, t) залежить від системи.

D_α — стала з фізичною розмірністю [D_α] = J^{1 − α}·m^α·s^−α = kg^{1 − α}·m^{2 − α}·s^{α − 2}, (при α = 2, ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$ для частинки з масою m). Оператор (−ħ²Δ)^α/2 є 3-вимірною дробовою квантовою похідною Ріса, яку визначають як $${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

Індекс α у дробовому рівнянні Шредінгера є індексом Леві, 1 < α ≤ 2.

Дробове рівняння Шредінгера змінного порядку

Як природне узагальнення дробового рівняння Шредінгера, дробове рівняння Шредінгера змінного порядку використовують для вивчення дробових квантових явищ: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$$ де оператор (−ħ²Δ)^β(t)/2 — дробова квантова похідна Ріса змінного порядку.

Див. також

• Простір Соболєва
• Метод Кранка — Ніколсон
• Неньютонівська рідина
• Шахер Момані

Література

• Лопушанська Г. П., Лопушанський А. О., М'яус О. М. Математичні моделі з дробовими похідними: начальний посібник. — Львів : Львівський національний університет імені Івана Франка, 2023. — 129 с.

Примітки

1. Katugampola, Udita N. (15 жовтня 2014). A New Approach To Generalized Fractional Derivatives (PDF). Bulletin of Mathematical Analysis and Applications. 6 (4): 1—15. arXiv:1106.0965.
2. Niels Henrik Abel (1823). Oplösning af et Par Opgaver ved Hjelp af bestemte Integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Solution of a couple of problems by means of definite integrals) (PDF). Magazin for Naturvidenskaberne. Kristiania (Oslo): 55—68.
3. Podlubny, Igor; Magin, Richard L.; Trymorush, Irina (2017). Niels Henrik Abel and the birth of fractional calculus. Fractional Calculus and Applied Analysis. 20 (5): 1068—1075. arXiv:1802.05441. doi:10.1515/fca-2017-0057. S2CID 119664694.
4. Liouville, Joseph (1832), Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions, Journal de l'École Polytechnique, Paris, 13: 1—69.
5. Liouville, Joseph (1832), Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques, Journal de l'École Polytechnique, Paris, 13: 71—162.
6. For the history of the subject, see the thesis (in French): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994)
7. Історичний огляд теми до початку 20-го століття див. тут: Bertram Ross (1977). The development of fractional calculus 1695–1900. Historia Mathematica. 4: 75—89. doi:10.1016/0315-0860(77)90039-8. S2CID 122146887.
8. Valério, Duarte; Machado, José; Kiryakova, Virginia (1 січня 2014). Some pioneers of the applications of fractional calculus. Fractional Calculus and Applied Analysis. 17 (2): 552—578. doi:10.2478/s13540-014-0185-1. hdl:10400.22/5491. ISSN 1314-2224. S2CID 121482200.
9. Hermann, Richard (2014). Fractional Calculus: An Introduction for Physicists (вид. 2nd). New Jersey: World Scientific Publishing. с. 46. Bibcode:2014fcip.book.....H. doi:10.1142/8934. ISBN .
10. Mainardi, Francesco (May 2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity (англ.). Imperial College Press. doi:10.1142/p614. ISBN . S2CID 118719247.
11. Hadamard, J. (1892). Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 4 (8): 101—186.
12. Kilbas, A. Anatolii Aleksandrovich; Srivastava, Hari Mohan; Trujillo, Juan J. (2006). Theory And Applications of Fractional Differential Equations (англ.). Elsevier. с. 75 (Property 2.4). ISBN .
13. Mostafanejad, Mohammad (2021). Fractional paradigms in quantum chemistry. International Journal of Quantum Chemistry. 121 (20). doi:10.1002/qua.26762.
14. Al-Raeei, Marwan (2021). Applying fractional quantum mechanics to systems with electrical screening effects. Chaos, Solitons & Fractals. 150 (September): 111209. Bibcode:2021CSF...15011209A. doi:10.1016/j.chaos.2021.111209.
15. Herrmann, Richard, ред. (2014). Fractional Calculus (вид. 2nd). New Jersey: World Scientific Publishing Co. с. 54^[]. doi:10.1142/8934. ISBN .
16. Caputo, Michele (1967). Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II. Geophysical Journal International. 13 (5): 529—539. Bibcode:1967GeoJ...13..529C. doi:10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x.
17. Caputo, Michele; Fabrizio, Mauro (2015). A new Definition of Fractional Derivative without Singular Kernel. Progress in Fractional Differentiation and Applications. 1 (2): 73—85. Процитовано 7 серпня 2020.
18. Algahtani, Obaid Jefain Julaighim (1 серпня 2016). Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model. Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Dynamics and Complexity (англ.). 89: 552—559. Bibcode:2016CSF....89..552A. doi:10.1016/j.chaos.2016.03.026. ISSN 0960-0779.
19. Atangana, Abdon; Baleanu, Dumitru (2016). New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model. Thermal Science (англ.). 20 (2): 763—769. arXiv:1602.03408. doi:10.2298/TSCI160111018A. ISSN 0354-9836.
20. Chen, YangQuan; Li, Changpin; Ding, Hengfei (22 травня 2014). High-Order Algorithms for Riesz Derivative and Their Applications. ^[en] (англ.). 2014: 1—17. doi:10.1155/2014/653797.
21. Bayın, Selçuk Ş. (5 грудня 2016). Definition of the Riesz derivative and its application to space fractional quantum mechanics. Journal of Mathematical Physics. 57 (12): 123501. arXiv:1612.03046. Bibcode:2016JMP....57l3501B. doi:10.1063/1.4968819. S2CID 119099201.
22. de Oliveira, Edmundo Capelas; Tenreiro Machado, José António (10 червня 2014). A Review of Definitions for Fractional Derivatives and Integral. Mathematical Problems in Engineering (англ.). 2014: 1—6. doi:10.1155/2014/238459. hdl:10400.22/5497.
23. Aslan, İsmail (15 січня 2015). An analytic approach to a class of fractional differential-difference equations of rational type via symbolic computation. Mathematical Methods in the Applied Sciences (англ.). 38 (1): 27—36. Bibcode:2015MMAS...38...27A. doi:10.1002/mma.3047. hdl:11147/5562. S2CID 120881978.
24. Ma, Li; Li, Changpin (11 травня 2017). On hadamard fractional calculus. Fractals. 25 (3): 1750033—2980. Bibcode:2017Fract..2550033M. doi:10.1142/S0218348X17500335. ISSN 0218-348X.
25. Miller, Kenneth S. (1975). The Weyl fractional calculus. У Ross, Bertram (ред.). Fractional Calculus and Its Applications. Lecture Notes in Mathematics (англ.). Т. 457. Springer. с. 80—89. doi:10.1007/bfb0067098. ISBN .
26. Ferrari, Fausto (January 2018). Weyl and Marchaud Derivatives: A Forgotten History. Mathematics (англ.). 6 (1): 6. arXiv:1711.08070. doi:10.3390/math6010006.
27. Khalili Golmankhaneh, Alireza (2022). Fractal Calculus and its Applications. Singapore: World Scientific Pub Co Inc. с. 328. doi:10.1142/12988. ISBN . S2CID 248575991.
28. Anderson, Douglas R.; Ulness, Darin J. (1 червня 2015). Properties of the Katugampola fractional derivative with potential application in quantum mechanics. Journal of Mathematical Physics. 56 (6): 063502. Bibcode:2015JMP....56f3502A. doi:10.1063/1.4922018. ISSN 0022-2488.
29. Caputo, Michele; Fabrizio, Mauro (1 січня 2016). Applications of New Time and Spatial Fractional Derivatives with Exponential Kernels. Progress in Fractional Differentiation and Applications. 2 (1): 1—11. doi:10.18576/pfda/020101. ISSN 2356-9336.
30. Erdélyi, Arthur (1950–1951). On some functional transformations. Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino. 10: 217—234. MR 0047818.
31. Kober, Hermann (1940). On fractional integrals and derivatives. The Quarterly Journal of Mathematics. os-11 (1): 193—211. Bibcode:1940QJMat..11..193K. doi:10.1093/qmath/os-11.1.193.
32. Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M. (October 2008). Fractional conservation of mass (PDF). Advances in Water Resources (англ.). 31 (10): 1377—1381. Bibcode:2008AdWR...31.1377W. doi:10.1016/j.advwatres.2008.07.004. ISSN 0309-1708.
33. Oldham, K. B. Analytical Chemistry 44(1) 1972 196—198.
34. Pospíšil, L. et al. Electrochimica Acta 300 2019 284—289.
35. Atangana, Abdon; Bildik, Necdet (2013). The Use of Fractional Order Derivative to Predict the Groundwater Flow. Mathematical Problems in Engineering. 2013: 1—9. doi:10.1155/2013/543026.
36. Atangana, Abdon; Vermeulen, P. D. (2014). Analytical Solutions of a Space-Time Fractional Derivative of Groundwater Flow Equation. Abstract and Applied Analysis. 2014: 1—11. doi:10.1155/2014/381753.
37. Metzler, R.; Klafter, J. (2000). The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. Phys. Rep. 339 (1): 1—77. Bibcode:2000PhR...339....1M. doi:10.1016/s0370-1573(00)00070-3.
38. Mainardi, F.; Luchko, Y.; Pagnini, G. (2001). The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation. Fractional Calculus and Applied Analysis. 4 (2): 153—192. arXiv:cond-mat/0702419. Bibcode:2007cond.mat..2419M.
39. Atangana, Abdon; Kilicman, Adem (2014). On the Generalized Mass Transport Equation to the Concept of Variable Fractional Derivative. Mathematical Problems in Engineering. 2014: 9. doi:10.1155/2014/542809.
40. Gorenflo, Rudolf; Mainardi, Francesco (2007). Fractional Diffusion Processes: Probability Distributions and Continuous Time Random Walk. У Rangarajan, G.; Ding, M. (ред.). Processes with Long-Range Correlations. Lecture Notes in Physics. Т. 621. с. 148—166. arXiv:0709.3990. Bibcode:2003LNP...621..148G. doi:10.1007/3-540-44832-2_8. ISBN . S2CID 14946568.
41. Colbrook, Matthew J.; Ma, Xiangcheng; Hopkins, Philip F.; Squire, Jonathan (2017). Scaling laws of passive-scalar diffusion in the interstellar medium. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 467 (2): 2421—2429. arXiv:1610.06590. Bibcode:2017MNRAS.467.2421C. doi:10.1093/mnras/stx261. S2CID 20203131.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки із непозначеним DOI з безкоштовним доступом ()
42. Tenreiro Machado, J. A.; Silva, Manuel F.; Barbosa, Ramiro S.; Jesus, Isabel S.; Reis, Cecília M.; Marcos, Maria G.; Galhano, Alexandra F. (2010). Some Applications of Fractional Calculus in Engineering. Mathematical Problems in Engineering (англ.). 2010: 1—34. doi:10.1155/2010/639801. hdl:10400.22/13143.
43. Holm, S.; Näsholm, S. P. (2011). A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media. Journal of the Acoustical Society of America. 130 (4): 2195—2201. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. doi:10.1121/1.3631626. hdl:10852/103311. PMID 21973374. S2CID 7804006.
44. Näsholm, S. P.; Holm, S. (2011). Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations. Journal of the Acoustical Society of America. 130 (5): 3038—3045. Bibcode:2011ASAJ..130.3038N. doi:10.1121/1.3641457. hdl:10852/103312. PMID 22087931. S2CID 10376751.
45. Näsholm, S. P.; Holm, S. (2012). On a Fractional Zener Elastic Wave Equation. Fract. Calc. Appl. Anal. 16: 26—50. arXiv:1212.4024. doi:10.2478/s13540-013-0003-1. S2CID 120348311.
46. Holm, S.; Näsholm, S. P. (2013). Comparison of fractional wave equations for power law attenuation in ultrasound and elastography. Ultrasound in Medicine & Biology. 40 (4): 695—703. arXiv:1306.6507. CiteSeerX 10.1.1.765.120. doi:10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033. PMID 24433745. S2CID 11983716.
47. Holm, S. (2019). Waves with Power-Law Attenuation. Springer and Acoustical Society of America Press. doi:10.1007/978-3-030-14927-7. ISBN . S2CID 145880744.
48. Laskin, N. (2002). Fractional Schrodinger equation. Phys. Rev. E. 66 (5): 056108. arXiv:quant-ph/0206098. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. CiteSeerX 10.1.1.252.6732. doi:10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID 12513557. S2CID 7520956.
49. Laskin, Nick (2018). Fractional Quantum Mechanics. CiteSeerX 10.1.1.247.5449. doi:10.1142/10541. ISBN .
50. Bhrawy, A.H.; Zaky, M.A. (2017). An improved collocation method for multi-dimensional space–time variable-order fractional Schrödinger equations. Applied Numerical Mathematics. 111: 197—218. doi:10.1016/j.apnum.2016.09.009.