Дода́тно ви́значена ма́триця — окремий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.
Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям дода́тно ви́значеної квадратичної форми.
Визначення
Ермітова матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:
- (для ермітових матриць — завжди дійсне число).
- Всі власні значення є додатними числами.
- Задовольняє критерій Сильвестра.
- Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)
- задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).
Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриці
- Ермітова матриця називається невід'є́мно ви́значеною (або іноді додатно напіввизначеною), якщо
- Всі власні значення невід'ємно визначеної матриці — невід'ємні числа.
- Ермітова матриця називається від'є́мно ви́значеною, якщо
- Всі власні значення від'ємно визначеної матриці — від'ємні числа.
Невизначена
Ермітова матриця, яка не є ані додатно визначеною, ані від'ємновизначеною, ані додатно напіввизначеною, ані від'ємно напіввизначеною, називається неви́значеною. Невизначені матриці також характеризуються тим, що мають як додатні, так і від'ємні власні значення одночасно.
Властивості
- Всі додатньо визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і для них існує обернена матриця.
- Для будь-якої матриці , матриці — будуть невід'ємно визначені та матимуть однакові власні значення.
- Якщо — додатньо визначені матриці і — додатне число, тоді матриці
- — також є додатньо визначеними матрицями.
- І якщо (є переставними), тоді — теж є додатньо визначеною.
- Якщо — додатньо визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.
- Хоча можуть існувати не додатньо визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Наука, 1982. — 272 с. . Теория матриц. — 2. — Москва : (рос.)
В іншому мовному розділі є повніша стаття Positive-definite matrix(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Doda tno vi znachena ma tricya okremij vipadok ermitovoyi matrici ye analogom dodatnih chisel yaksho rozglyadati ermitovi matrici yak uzagalnennya dijsnih chisel Ponyattya dodatno viznachenoyi matrici tisno pov yazane z ponyattyam doda tno vi znachenoyi kvadratichnoyi formi ViznachennyaErmitova matricya M displaystyle M ye dodatno viznachenoyu todi i tilki todi koli vona zadovolnyaye odnu z nastupnih ekvivalentnih umov x C n x 0 x M x gt 0 displaystyle forall x in mathbb C n x neq 0 x Mx gt 0 dlya ermitovih matric x M x displaystyle x Mx zavzhdi dijsne chislo Vsi vlasni znachennya M displaystyle M ye dodatnimi chislami Zadovolnyaye kriterij Silvestra Seskvilinijna forma bilinijna forma dlya vipadku dijsnih chisel x y x M y displaystyle langle textbf x y rangle textbf x M textbf y zadovolnyaye vsim vimogam ermitovogo skalyarnogo dobutku prostogo skalyarnogo dobutku dlya vipadku dijsnih chisel Nevid yemno viznachena i vid yemno viznachena matriciErmitova matricya M displaystyle M nazivayetsya nevid ye mno vi znachenoyu abo inodi dodatno napivviznachenoyu yaksho x C n x M x 0 displaystyle forall x in mathbb C n x Mx geq 0 Vsi vlasni znachennya nevid yemno viznachenoyi matrici nevid yemni chisla Ermitova matricya M displaystyle M nazivayetsya vid ye mno vi znachenoyu yaksho x C n x 0 x M x lt 0 displaystyle forall x in mathbb C n x neq 0 x Mx lt 0 Vsi vlasni znachennya vid yemno viznachenoyi matrici vid yemni chisla Neviznachena Ermitova matricya yaka ne ye ani dodatno viznachenoyu ani vid yemnoviznachenoyu ani dodatno napivviznachenoyu ani vid yemno napivviznachenoyu nazivayetsya nevi znachenoyu Neviznacheni matrici takozh harakterizuyutsya tim sho mayut yak dodatni tak i vid yemni vlasni znachennya odnochasno VlastivostiVsi dodatno viznacheni matrici mayut povnij rang yih viznachnik ne rivnij nulyu i dlya nih isnuye obernena matricya Dlya bud yakoyi matrici M displaystyle M matrici M M M M displaystyle MM M M budut nevid yemno viznacheni ta matimut odnakovi vlasni znachennya Yaksho M N displaystyle M N dodatno viznacheni matrici i r gt 0 displaystyle r gt 0 dodatne chislo todi matrici r M M N M N M N M N displaystyle rM M N MNM NMN takozh ye dodatno viznachenimi matricyami I yaksho M N N M displaystyle MN NM ye perestavnimi todi M N displaystyle MN tezh ye dodatno viznachenoyu Yaksho M displaystyle M dodatno viznachena matricya todi i tilki todi isnuye yedina matricya B gt 0 sho B M M gt 0 B gt 0 B 2 M displaystyle M gt 0 iff exists B gt 0 B 2 M Hocha mozhut isnuvati ne dodatno viznacheni matrici B sho vikonuvatimetsya B M Div takozhTeoriya matric Normalna matricya Polyarnij rozklad matriciDzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros inshi movi Teoriya matric 2 Moskva Nauka 1982 272 s ros V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Positive definite matrix angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi