Додавання за модулем 2

Виняткова диз'юнкція, також операція XOR (від англ. eXclusive OR), додавання за модулем два — логічна та бітова операція, що набуває значення «істина» тоді й лише тоді, коли значення «істина» має суто один з її операндів. Виняткова диз'юнкція є запереченням логічної еквівалентності. У випадку двох змінних результат виконання операції є істинним тоді й тільки тоді, якщо лише один з аргументів є істинним. Для функції трьох і більше змінних результат виконання операції буде істинним тільки тоді, коли аргументів, рівних 1, на заданому наборі буде непарна кількість. Така операція природним чином виникає в кільці лишків за модулем 2, звідки й походить назва операції.

XOR
Визначення	${\displaystyle a\oplus b}$
Таблиця істинності	${\displaystyle (0110)}$
Логічний вентиль
Нормальні форми
Диз'юнктивна	${\displaystyle {\overline {a}}\cdot b+a\cdot {\overline {b}}}$
Кон'юнктивна	${\displaystyle ({\overline {a}}+{\overline {b}})\cdot (a+b)}$
Алгебрична	${\displaystyle a\oplus b}$
Ґратка Поста
${\displaystyle P_{0}}$ (зберігає 0)	Так
${\displaystyle P_{1}}$ (зберігає 1)	✗
${\displaystyle M}$ (монотонна)	✗
${\displaystyle L}$ (лінійна)	Так
${\displaystyle S}$ (само-двоїста)	✗

Рис. 1 Графік побітового виняткового «або»

Додавання за модулем 2 слід відрізняти від простого додавання булевих операндів, яке відповідає звичайному логічному «або», тобто логічній диз'юнкції.

Відповідною операцією в теорії множин є симетрична різниця множин істинності операндів.

Булева алгебра

У булевій алгебрі додавання за модулем 2 — це функція двох, трьох і більше змінних (вони ж — операнди, вони ж — аргументи функції). Змінні можуть набувати значення з множин ${\displaystyle ~\{0,1\}}$. Результат також належить множині ${\displaystyle ~\{0,1\}}$. Обчислення результату відбувається за простим правилом, або за таблицею істинності. Замість значень ${\displaystyle ~0,1}$ можна використовувати будь-яку іншу пару відповідних символів, наприклад ${\displaystyle ~false,true}$ або ${\displaystyle ~F,T}$, або «хибність», «істина»; але при цьому необхідно довизначити старшинство, наприклад, ${\displaystyle ~true>false}$.

Таблиці істинності:

• Для бінарного додавання за модулем 2 (застосовується у двійкових напівсуматорах):

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\oplus B}$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Правило: результат дорівнює ${\displaystyle ~0}$, якщо обидва операнди рівні; у всіх інших випадках результат дорівнює ${\displaystyle ~1}$.

• Для тернарного додавання за модулем 2 (застосовується у двійкових повних суматорах):

X	Y	Z	⊕(X,Y,Z)
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	0	0
0	0	1	1
1	0	1	0
0	1	1	0
1	1	1	1

Визначення

Діаграма Венна для операції ${\displaystyle A\oplus B}$

Таблиця істинності виглядає таким чином:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\oplus B}$
F	F	F
F	T	T
T	F	T
T	T	F

Результат застосування виняткової диз'юнкції такий самий, як і від додавання за модулем 2. Тому й саму операцію часто називають додаванням за модулем 2.

Виняткова диз'юнкція є також запереченням еквівалентності, тобто

${\displaystyle (A\oplus B)=\lnot (A\leftrightarrow B)}$

Відповідною операцією в теорії множин є симетрична різниця множин.

Властивості

• асоціативність

${\displaystyle a\oplus (b\oplus c)\equiv (a\oplus b)\oplus c}$

• комутативність

${\displaystyle a\oplus b\equiv b\oplus a}$

• дистрибутивність

${\displaystyle a\land (b\oplus c)\equiv (a\land b)\oplus (a\land c)}$

Абелева група

• елемент 0 є нейтральним:

${\displaystyle a\oplus 0=a}$

• кожен елемент є обернений сам до себе:

${\displaystyle a\oplus a=0}$

Таким чином ${\displaystyle (\{1,0\},\oplus )}$ є абелевою групою. Разом із операцією ${\displaystyle \wedge }$ також утворюється поле Галуа ${\displaystyle F_{2}}$.

Інші властивості

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus 1&=&\lnot p\\p\oplus \lnot p&=&1\\\\p\oplus q&=&\lnot p\oplus \lnot q\\\lnot (p\oplus q)&=&\lnot p\oplus q&=&p\oplus \lnot q\\\\p\oplus (\lnot p\land q)&=&p\lor q\\p\oplus (p\land \lnot q)&=&p\land q\\p\oplus (p\lor q)&=&\lnot p\land q\\\lnot p\oplus (p\lor \lnot q)&=&p\lor q\\p\land (p\oplus \lnot q)&=&p\land q\\p\lor (p\oplus q)&=&p\lor q\end{matrix}}}$

Функціональна повнота

Множина операцій ${\displaystyle \{\oplus ,\to \}}$ є функціонально повною:

${\displaystyle \lnot a\equiv a\to (a\oplus a)}$

${\displaystyle \lnot a\equiv a\oplus (a\to a)}$

${\displaystyle a\lor b\equiv (\lnot a)\rightarrow b}$

${\displaystyle a\land b\equiv \lnot (a\rightarrow \lnot b)}$

Виняткова диз'юнкція у природних мовах

Виняткові диз'юнкції найкраще відповідає український вислів «або …, або …». Твердження або А, або В є справедливим, коли справедливе А чи В, але не обоє водночас.

У природній мові операція «складання за модулем» еквівалентна двом виразам:

1. «Результат істинний (дорівнює 1), якщо A не дорівнює B (A ≠ B)»;
2. «Якщо A не дорівнює B (A ≠ B), то істина (1)».

На схожість між додаванням за модулем 2 і конструкцією «або …, або …» в природній мові часто вказують. Це точно відповідає визначенню операції в булевій алгебрі, якщо «істину» позначати як ${\displaystyle 1}$, а «хибність» як ${\displaystyle 0}$.

Цю операцію нерідко порівнюють із диз'юнкцією, тому що вони дуже схожі за властивостями, і обидві мають схожість зі сполучником «або» у повсякденній мові. Порівняйте правила для цих операцій:

1. ${\displaystyle A\lor B}$ істинне, якщо істинне ${\displaystyle ~A}$ або ${\displaystyle ~B}$, або обидва відразу.
2. ${\displaystyle A\oplus B}$ істинне, якщо істинне ${\displaystyle ~A}$ або ${\displaystyle ~B}$, але не обидва відразу.

Операція ${\displaystyle \oplus }$ не допускає останнього варіанту («обидва відразу»); саме тому її називають винятковим, ексклюзивним «АБО». Операція ${\displaystyle \lor }$ допускає останній варіант («обидва відразу»), тож іноді її називають звичним, інклюзивним «АБО». Неоднозначність природної мови полягає в тому, що сполучник «або» застосовують в обох випадках.

Альтернативні символи

Символ, використовуваний для виняткової диз'юнкції, варіюється від однієї області застосування до іншої. Окрім абревіатури «XOR», можуть траплятися:

• Знак плюс (+). Це має сенс, тому що математично винятковій диз'юнкції відповідає додавання за модулем 2, яке має наступну таблицю:

Додавання за модулем 2

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p+q}$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Використання знаку «плюс» має додаткову перевагу, бо всі звичайні алгебраїчні властивості математичного кільця і поля можна використати без зайвого клопоту. Тим не менш, знак плюс використовують також для ексклюзивної диз'юнкції у деяких позначеннях систем.

• Знаком плюс, зміненим певним чином, наприклад, взятим в коло (${\displaystyle \oplus }$). Це викликає заперечення: цей же символ вже використовують у математиці для прямої суми алгебраїчних структур.
• Префікс J, як в Jpq.
• Символ диз'юнкції (${\displaystyle \lor }$), який певним чином змінюють: із підкресленням (${\displaystyle {\underline {\lor }}}$) або з точкою вгорі (${\displaystyle {\dot {\vee }}}$).
• У деяких мовах програмування, таких як C, , C#, Java, Perl, MATLAB і Python, символ циркумфлекс (^) використовують для позначення оператора побітового XOR. Його не використовують поза контекстом програмування, бо в цьому разі його можна зрозуміти хибно.

Виняткова диз'юнкція у програмуванні

У мовах C/C++ (а також Java, C#, Ruby, PHP, JavaScript, Swift) цю операцію позначають символом «^»; у мовах Паскаль, Delphi, Ада — зарезервованим словом XOR. Додавання виконується побітово для двох операндів. Наприклад,

якщо
a =	${\displaystyle ~01100101_{2}}$
b =	${\displaystyle ~00101001_{2}}$
тоді
a ^ b =	${\displaystyle ~01001100_{2}}$

Виконання операції виняткове "або" для значень логічного типу (true, false) здійснюється в різних мовах програмування по-різному. Наприклад, у Delphi (Object Pascal) використовують вбудований оператор XOR (приклад: умова1 xor умова2). У мові C, починаючи зі стандарту C99, оператор «^» над операндами логічного типу повертає результат застосування логічної операції XOR. У оператор «^» для логічного типу bool повертає результат згідно з описаними правилами, для інших же типів він діє побітово.

За нестачі регістрів оператор XOR можна використати для обміну значеннями змінних.

Квантові обчислення

У квантових комп'ютерах аналогом операції додавання за модулем 2 є вентиль CNOT.

Див. також

• Додавання
• Бітові операції
• Умовна диз'юнкція
• Диз'юнкція (логіка)

Посилання

• Disjunction [ 14 липня 2010 у Wayback Machine.] Stanford Encyclopedia of Philosophy(англ.)