Гравітація з масивним гравітоном

Гравітація з масивним гравітоном — назва класу теорій гравітації, в яких частинку-переносник взаємодії (гравітон) вважають масивною. Приклад — релятивістська теорія гравітації. Характерною особливістю таких теорій є проблема розриву ван Дама — Вельтмана — Захарова (англ. vDVZ (van Dam-Veltman-Zakharov) discontinuity), тобто наявність скінченної різниці в передбаченнях межі такої теорії за маси гравітона, що прямує до нуля, і теорії з безмасовою частинкою із самого початку.

Проблеми масивного гравітона в лінійному наближенні

Загальну теорію відносності в можна сформулювати як теорію спіну 2 на просторі Мінковського, описуваного симетричним тензором ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$. Природним узагальненням такої теорії є введення в лагранжіан масового члена різного вигляду. Найчастіше його обирають у вигляді Паулі — Фірца ${\displaystyle m^{2}(h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }h)}$, що, як можна показати, найприродніше, проте можливий і інший вибір (типу ${\displaystyle m^{2}(h_{\mu \nu }-\alpha \eta _{\mu \nu }h),\ \alpha \neq 1}$). При цьому рівняння руху для гравітаційного поля набувають вигляду

${\displaystyle -\square h_{\mu \nu }+h_{\mu ,\lambda \nu }^{\lambda }+h_{\nu ,\lambda \mu }^{\lambda }-\eta _{\mu \nu }h_{,\kappa \lambda }^{\kappa \lambda }-h_{,\mu \nu }+\eta _{\mu \nu }\square h+m^{2}(h_{\mu \nu }-\alpha \eta _{\mu \nu }h)={\frac {16\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}$

де індекси піднімаються та опускаються метрикою Мінковського ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$, ${\displaystyle \square }$ — Оператор д'Аламбера, ${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала Ньютона, ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ — тензор енергії-імпульсу джерел поля. Дивергенція цих рівнянь у силу законів збереження має дорівнювати 0, що дає ${\displaystyle h_{\mu \nu }^{,\nu }=\alpha h_{,\mu }}$ і після підставлення в рівняння та взяття сліду

${\displaystyle 2(\alpha -1)\square h+m^{2}(1-4\alpha )h={\frac {16\pi G}{c^{4}}}T.}$

Тому є дві різні можливості: або ${\displaystyle \alpha =1}$ — тоді слід тензора ${\displaystyle h=-{\frac {16\pi G}{3c^{4}m^{2}}}T}$ не є динамічною змінною теорії, а цілком визначається слідом джерела ${\displaystyle T}$, або ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ і ${\displaystyle h}$ — динамічна змінна. Перший випадок дає обґрунтування масовому члену Паулі — Фірца, але призводить до такого виразу для гравітаційного поля:

${\displaystyle {\frac {c^{4}}{16\pi G}}h_{\mu \nu }={\frac {1}{-\square +m^{2}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \nu }T\right)+{\frac {1}{3m^{2}}}{\frac {1}{-\square +m^{2}}}T_{,\mu \nu },}$

де введено коротке позначення ${\displaystyle {\frac {1}{-\square +m^{2}}}}$ для інтегрального оператора, оберненого до диференціального ${\displaystyle (-\square +m^{2})}$, на відміну від

${\displaystyle {\frac {c^{4}}{16\pi G}}h_{\mu \nu }={\frac {1}{-\square }}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }T\right)}$

у лінеаризованій загальній теорії відносності. Таким чином, отримана теорія має дві проблеми при ${\displaystyle m\to 0}$, що виражаються в неправильній величині гравітаційних ефектів від першого доданку (1/3 замість 1/2), а також у прямуванні другого з них до нескінченності. Перший відзначений ефект і називають розривом ван Дама — Вельтмана — Захарова за іменами першовідкривачів. Зокрема, через це відхилення світла в теорії ${\displaystyle m\to 0}$ становить 3/4 величини в загальній теорії відносності, а прецесія перигелію — 2/3.

Другий підхід призводить до появи нового динамічного ступеня вільності, який зводить передбачення до потрібного рівня, оскільки загальний розв'язок має вигляд

${\displaystyle {\frac {c^{4}}{16\pi G}}h_{\mu \nu }={\frac {1}{-\square +m^{2}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \nu }T\right)-{\frac {1}{-\square +m_{0}^{2}}}{\frac {1}{6}}\eta _{\mu \nu }T+{\frac {2\alpha -1}{2(1-\alpha )}}{\frac {1}{-\square +m^{2}}}{\frac {1}{-\square +m_{0}^{2}}}T_{,\mu \nu },}$

де ${\displaystyle m_{0}^{2}=m^{2}{\frac {4\alpha -1}{2(1-\alpha )}}}$, і при ${\displaystyle m\to 0}$ перший та другий члени дають 1/3 + 1/6 = 1/2. Але при взаємодії з матерією другий член бере участь зі знаком, протилежним першому, так що він є скалярним полем від'ємної енергії (англ. ghostlike field), що викликає нестабільність теорії відносно перекачування в нього енергії.

Загалом корінь проблеми лежить у розкладанні масивного поля спіну 2 за спіральностями та їх взаємодією з речовиною. За прямування маси поля до нуля компоненти спіральності ${\displaystyle \pm 1}$ відокремлюються від інших, утворюючи незалежне вільне безмасове поле Максвелла, але компоненти спіральності ${\displaystyle \pm 2}$ і ${\displaystyle 0}$ залишаються зачепленими і взаємодіють із речовиною спільно. Ситуацію можна вирішити, додавши ще одне скалярне поле, але для відновлення коректної границі воно повинне мати від'ємну енергію, що знову ж неприпустимо у стабільній теорії поля.

Докладніший розбір, що не обмежується лінеаризованим наближенням, проведено у працях Девіда Булвера (David G. Boulware) і Стенлі Десера та ^[en], і Антоніоса Папазоглу (Antonios Papazoglou).

Примітки

1. H. van Dam, M. Veltman. Massive and mass-less Yang-Mills and gravitational fields //  : журнал. — 1970. — Vol. 22, no. 2. — P. 397—411. — DOI:10.1016/0550-3213(70)90416-5. з джерела 1 червня 2013. Процитовано 2009-09-03. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 1 червня 2013. Процитовано 3 вересня 2009. {{}}: Недійсний |deadurl=unfit ().
2. В. И. Захаров. Линеаризованная теория гравитации и масса гравитона // Письма в ЖЭТФ : журнал. — 1970. — Т. 12, № 9. — С. 447—449. Процитовано 2009-09-03.
3. David G. Boulware, S. Deser. Can Gravitation Have a Finite Range? // Physical Review D : journal. — 1972. — Vol. 6, no. 12. — P. 3368—3382. — DOI:10.1103/PhysRevD.6.3368. Процитовано 2009-09-03.
4. , Ian I. Kogan, Antonios Papazoglou. Spherically symmetric spacetimes in massive gravity : [ 20 січня 2022] : ( )[англ.] // Physical Review D : journal. — 2003. — Vol. 67. — С. 064009. — DOI:10.1103/PhysRevD.67.064009.