Вираз замкненого вигляду або аналітичний розв'язок (англ. closed-form expression — вираз у замкненій формі) — математичний вираз зі скінченним числом стандартних операцій.
Приклад: корені многочленів
Розв'язки будь-якого квадратного рівняння з комплексними коефіцієнтами можна виразити аналітично через додавання, віднімання, множення, ділення і добування квадратного кореня, кожне з яких є елементарною функцією. Наприклад, квадратне рівняння
піддається обробці, оскільки його розв'язки можна виразити аналітично, тобто в термінах елементарних функцій:
Так само розв'язки рівнянь третього та четвертого степенів можна виразити за допомогою арифметичних операцій, квадратних коренів та коренів n-го степеня. Проте існують рівняння п'ятого степеня без аналітичних розв'язків, наприклад x5 − x + 1 = 0 (див. теорему Абеля — Руффіні).
Вивчення існування замкнутих форм у коренів многочленів є початковою мотивацією і одним із головних досягнень теорії Галуа.
Альтернативні визначення
Змінення визначення «стандартної операції» зі включенням додаткових функцій може змінити набір рівнянь з розв'язками в замкнутій формі. Багатьох кумулятивних функцій розподілу не можна виразити аналітично, якщо не вважати стандартними спеціальні функції, такі як функція помилок або гамма-функція. Рівняння п'ятого степеня можна розв'язати, якщо включити загальні гіпергеометричні функції, хоча розв'язок надто складний алгебрично, щоб бути корисним. Для багатьох практичних застосувань цілком розумно вважати стандартними гамма-функцію та інші спеціальні функції, оскільки їх чисельні реалізації широко доступні.
Аналітичний вираз
Аналітичний вираз (також відомий як вираз у аналітичній формі або аналітична формула) — математичний вираз, побудований із використанням стандартних операцій, які легко обчислювати. Подібно до виразів замкненої форми, набір стандартних дозволених функцій може змінюватись, залежно від контексту, але завжди включає основні арифметичні операції (додавання, віднімання, множення та ділення), піднесення до степеня з дійсним показником (включно з добуванням кореня n-го степеня), логарифми та тригонометричні функції.
Однак, клас виразів, які вважають аналітичними, як правило, ширший, ніж клас виразів замкненої форми. Зокрема, зазвичай допускають спеціальні функції, такі як функції Бесселя і гамма-функція, а також часто допускають нескінченні ряди та неперервні дроби. З іншого боку, границі взагалі та інтеграли зокрема зазвичай виключають.
Якщо аналітичний вираз включає лише алгебричні операції (додавання, віднімання, множення, ділення й піднесення до степеня з раціональним показником) і раціональні сталі, його конкретніше називають алгебричним виразом.
Порівняння різних класів виразів
Вирази замкненої форми є важливим підкласом аналітичних виразів, які містять обмежену чи необмежену кількість застосувань відомих функцій. На відміну від ширших аналітичних виразів, вирази замкненої форми не включають нескінченних рядів або неперервних дробів; не включають інтегралів чи границь. Дійсно, за теоремою Веєрштрасса — Стоуна будь-яку неперервну функцію на одиничному інтервалі можна виразити як границю многочленів, тому будь-який клас функцій, що містять многочлени, замкнений відносно границь, обов'язково включатиме всі неперервні функції.
Так само кажуть, що рівняння або система рівнянь мають розв'язок замкненої форми тоді й тільки тоді, коли принаймні один розв'язок можна подати у вигляді виразу замкненої форми; і кажуть, що воно має аналітичний розв'язок тоді й лише тоді, коли хоча б один розв'язок можна подати у вигляді аналітичного виразу. Існує тонка відмінність між «функцією замкненої форми» і «числом замкненої форми» при обговоренні «розв'язку замкненої форми», яку обговорено в (Chow, 1999) і нижче. Замкнений чи аналітичний розв'язок іноді називають явним розв'язком.
Робота з виразами незамкненої форми
Перетворення на вирази замкненої форми
Вираз:не має замкненої форми, оскільки підсумовування включає нескінченне число елементарних операцій. Однак підсумовуванням геометричного ряду цей вираз можна подати в замкнутому вигляді:
Диференціальна теорія Галуа
Інтеграл виразу замкненої форми сам собою можна або не можна подати у вигляді виразу замкненої форми. Це дослідження називають диференціальною теорією Галуа за аналогією з алгебричною теорією Галуа.
Примітки
- Holton, Glyn. . Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 31 грудня 2012.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Viraz zamknenogo viglyadu abo analitichnij rozv yazok angl closed form expression viraz u zamknenij formi matematichnij viraz zi skinchennim chislom standartnih operacij Priklad koreni mnogochlenivRozv yazki bud yakogo kvadratnogo rivnyannya z kompleksnimi koeficiyentami mozhna viraziti analitichno cherez dodavannya vidnimannya mnozhennya dilennya i dobuvannya kvadratnogo korenya kozhne z yakih ye elementarnoyu funkciyeyu Napriklad kvadratne rivnyannya a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 piddayetsya obrobci oskilki jogo rozv yazki mozhna viraziti analitichno tobto v terminah elementarnih funkcij x b b 2 4 a c 2 a displaystyle x frac b pm sqrt b 2 4ac 2a Tak samo rozv yazki rivnyan tretogo ta chetvertogo stepeniv mozhna viraziti za dopomogoyu arifmetichnih operacij kvadratnih koreniv ta koreniv n go stepenya Prote isnuyut rivnyannya p yatogo stepenya bez analitichnih rozv yazkiv napriklad x5 x 1 0 div teoremu Abelya Ruffini Vivchennya isnuvannya zamknutih form u koreniv mnogochleniv ye pochatkovoyu motivaciyeyu i odnim iz golovnih dosyagnen teoriyi Galua Alternativni viznachennyaZminennya viznachennya standartnoyi operaciyi zi vklyuchennyam dodatkovih funkcij mozhe zminiti nabir rivnyan z rozv yazkami v zamknutij formi Bagatoh kumulyativnih funkcij rozpodilu ne mozhna viraziti analitichno yaksho ne vvazhati standartnimi specialni funkciyi taki yak funkciya pomilok abo gamma funkciya Rivnyannya p yatogo stepenya mozhna rozv yazati yaksho vklyuchiti zagalni gipergeometrichni funkciyi hocha rozv yazok nadto skladnij algebrichno shob buti korisnim Dlya bagatoh praktichnih zastosuvan cilkom rozumno vvazhati standartnimi gamma funkciyu ta inshi specialni funkciyi oskilki yih chiselni realizaciyi shiroko dostupni Analitichnij virazAnalitichnij viraz takozh vidomij yak viraz u analitichnij formi abo analitichna formula matematichnij viraz pobudovanij iz vikoristannyam standartnih operacij yaki legko obchislyuvati Podibno do viraziv zamknenoyi formi nabir standartnih dozvolenih funkcij mozhe zminyuvatis zalezhno vid kontekstu ale zavzhdi vklyuchaye osnovni arifmetichni operaciyi dodavannya vidnimannya mnozhennya ta dilennya pidnesennya do stepenya z dijsnim pokaznikom vklyuchno z dobuvannyam korenya n go stepenya logarifmi ta trigonometrichni funkciyi Odnak klas viraziv yaki vvazhayut analitichnimi yak pravilo shirshij nizh klas viraziv zamknenoyi formi Zokrema zazvichaj dopuskayut specialni funkciyi taki yak funkciyi Besselya i gamma funkciya a takozh chasto dopuskayut neskinchenni ryadi ta neperervni drobi Z inshogo boku granici vzagali ta integrali zokrema zazvichaj viklyuchayut Yaksho analitichnij viraz vklyuchaye lishe algebrichni operaciyi dodavannya vidnimannya mnozhennya dilennya j pidnesennya do stepenya z racionalnim pokaznikom i racionalni stali jogo konkretnishe nazivayut algebrichnim virazom Porivnyannya riznih klasiv virazivVirazi zamknenoyi formi ye vazhlivim pidklasom analitichnih viraziv yaki mistyat obmezhenu chi neobmezhenu kilkist zastosuvan vidomih funkcij Na vidminu vid shirshih analitichnih viraziv virazi zamknenoyi formi ne vklyuchayut neskinchennih ryadiv abo neperervnih drobiv ne vklyuchayut integraliv chi granic Dijsno za teoremoyu Veyershtrassa Stouna bud yaku neperervnu funkciyu na odinichnomu intervali mozhna viraziti yak granicyu mnogochleniv tomu bud yakij klas funkcij sho mistyat mnogochleni zamknenij vidnosno granic obov yazkovo vklyuchatime vsi neperervni funkciyi Tak samo kazhut sho rivnyannya abo sistema rivnyan mayut rozv yazok zamknenoyi formi todi j tilki todi koli prinajmni odin rozv yazok mozhna podati u viglyadi virazu zamknenoyi formi i kazhut sho vono maye analitichnij rozv yazok todi j lishe todi koli hocha b odin rozv yazok mozhna podati u viglyadi analitichnogo virazu Isnuye tonka vidminnist mizh funkciyeyu zamknenoyi formi i chislom zamknenoyi formi pri obgovorenni rozv yazku zamknenoyi formi yaku obgovoreno v Chow 1999 i nizhche Zamknenij chi analitichnij rozv yazok inodi nazivayut yavnim rozv yazkom Robota z virazami nezamknenoyi formiPeretvorennya na virazi zamknenoyi formi Viraz f x n 0 x 2 n displaystyle f x sum n 0 infty frac x 2 n ne maye zamknenoyi formi oskilki pidsumovuvannya vklyuchaye neskinchenne chislo elementarnih operacij Odnak pidsumovuvannyam geometrichnogo ryadu cej viraz mozhna podati v zamknutomu viglyadi f x 2 x displaystyle f x 2x Diferencialna teoriya Galua Dokladnishe Diferencialna teoriya Galua Integral virazu zamknenoyi formi sam soboyu mozhna abo ne mozhna podati u viglyadi virazu zamknenoyi formi Ce doslidzhennya nazivayut diferencialnoyu teoriyeyu Galua za analogiyeyu z algebrichnoyu teoriyeyu Galua PrimitkiHolton Glyn Arhiv originalu za 4 lyutogo 2012 Procitovano 31 grudnya 2012