Багатокритеріальна оптимізація або програмування (англ. Multi-objective optimization), — це процес одночасної оптимізації двох або більше конфліктуючих цільових функцій в заданій області визначення.
Задача багатокритеріальної оптимізації зустрічаються в багатьох галузях науки та техніки.
Визначення
Задача багатокритеріальної оптимізації формулюється таким чином:
де це () цільових функцій. Вектори розв'язків належать до не порожньої області визначення .
Задача багатокритеріальної оптимізації полягає у пошуку вектора цільових змінних, який задовільняє накладеним обмеженням та оптимізує векторну функцію, елементи якої відповідають цільовим функціям. Ці функції утворюють математичне описання критерію задовільності та, зазвичай, взаємно конфліктують. Звідси, «оптимізувати» означає знайти такий розв'язок, за якого значення цільових функцій були б прийнятними для постановника задачі.
Еталонні точки
Для можливості оцінки якості знайдених розв'язків, зазвичай розглядають такі точки в області значення цільової функції:
- ідеальна точка, ,
- утопічна точка, ,
- надір (надир), .
У деяких випадках ці точки можуть бути розв'язками.
Ідеальна точка визначається як вектор , кожна з координат якого має оптимальне значення відповідної складової цільової функції:
Точка надіру визначається як вектор:
Утопічну точку обчислюють на основі ідеальної:
де , — одиничний вектор.
Критерії оптимальності
Критерій Парето
Вектор розв'язку називається оптимальним за Парето якщо не існує такого, що для всіх та для бодай одного . Множину оптимальних за Парето розв'язків можна позначити як . Цільовий вектор є оптимальним за Парето, якщо відповідний йому вектор з області визначення також оптимальний за Парето. Множину оптимальних за Парето цільових векторів можна позначити як .
Множина оптимальних за Парето векторів є підмножиною оптимальних за Парето в слабкому сенсі векторів. Вектор є слабким оптимумом за Парето тоді, коли не існує вектора такого, що для всіх .
Діапазон значень оптимальних за Парето розв'язків в області допустимих значень дає корисну інформацію про досліджувану задачу якщо цільові функції обмежено областю визначення. Нижні границі оптимальної за Парето множини представлено в «ідеальному цільовому векторі» . Його компоненти отримані шляхом мінімізації кожної цільової функції у межах області визначення.
Множину оптимальних за Парето розв'язків також називають Парето-фронтом (англ. Pareto-frontier).
Лексикографічний порядок
Якщо одні цільові функції важливіші за інші, критерій оптимальності можна визначити за лексикографічним порядком.
Відношення лексикографічного порядку між векторами та виконується, якщо , де . Тобто, перші компонент вектора менші за компоненти вектора , а компоненти — рівні (якщо такі є). Лексикографічний порядок для випадку дійсних чисел є лінійним.
Вектор є лексикографічним розв'язком, якщо не існує вектора такого, що .
Оскільки відношення лексикографічного порядку є лінійним, можна довести, що вектор є лексикографічним розв'язком, якщо для всіх виконується:
Основною особливістю розв'язків за лексикографічним порядком є існування вибору між критеріями. Лексикографічна впорядкованість вимагає ранжування критеріїв в тому сенсі, що оптимізація за критерієм можлива лише тоді, коли було досягнуто оптимуму для попередніх критеріїв. Це означає, що перший критерій має найбільший пріоритет, і лише у випадку існування декількох розв'язків за цим критерієм, буде пошук розв'язків за другим та рештою критеріїв.
Існування ієрархії серед критеріїв, дозволяє розв'язувати лексикографічні задачі послідовно, крок за кроком мінімізуючи за кожним наступним критерієм, та використовуючи оптимальні значення попередніх критеріїв як обмеження.
Скаляризація
Для отримання оптимальних за Парето розв'язків часто використовують методи скаляризації. Оскільки цільова функція задачі багатокритеріальної оптимізації має векторні значення, її перетворюють на функцію зі скалярним значенням. Таким чином, задача багатокритеріальної оптимізації зводиться до задачі оптимізації з однією скалярною цільовою функцією. Функція скаляризації має задовільняти наступним умовам.
Нехай — функція скаляризації, що перетворює векторну функцію на скалярну. Якщо зберігає впорядкованість за Парето , тобто, якщо для довільних виконується:
тоді розв'язок , що мінімізує на є розв'язком за Парето.
Якщо зберігає відношення порядку в , тобто, якщо для довільних виконується:
тоді розв'язок , що мінімізує на є слабким за Парето. Якщо неперервна на , та єдина точка мінімуму на , тоді є розв'язком за Парето.
Зважена сума
Наведена функція зберігає впорядкованість за Парето для . Тому розв'язки, що мінімізують на для довільних є оптимальними за Парето. Однак не зберігає впорядкованість за Парето для а зберігає лише відношення і тому розв'язки, що мінімізують на для є слабкими за Парето.
Недоліком методу зважених сум у випадку неопуклої множини значень цільових функцій є неможливість охопити всі оптимальні за Парето точки з множини Парето-фронту.
У задачах комбінаторної багатокритеріальної оптимізації множина цільових значень не є опуклою, тому метод зважених сум не підходить для скаляризації цільових функцій для цих задач.
Функція скаляризації Чебишева
Зважена функція скаляризації Чебишева зберігає відношення і тому мінімум є слабким за Парето.
Метод зміни обмежень (ε-обмеження)
За методом зміни обмежень одну з цільових функцій залишають як цільову, а решту перетворюють на обмеження. Тобто, нехай буде цільовою, а решта як обмеження нерівності:
- за умов
Значення можуть розглядатись як припустимі рівні для
Методи розв'язання
Інтерактивність
Часто, розв'язання задачі багатокритеріальної оптимізації відбувається за участю експерта — людини, яка обирає та ухвалює рішення на основі інформації, представленої системою підтримки прийняття рішень. Можлива участь групи з декількох експертів. У випадку участі людини у пошуку розв'язку алгоритми та методи називають інтерактивними.
Еволюційні методи
Згадки про застосування генетичних алгоритмів для розв'язання задачі багатокритеріальної оптимізації відносяться до кінця 1960-х.
Процедури вирішення задач багатокритеріальної оптимізації
Можна запропонувати наступну структуру існуючих на сьогодні процедур вирішення задач багатокритеріальної оптимізації:
- По методу використання інформації
- Апріорні
- Апостеріорні
- Адаптивні
- По методу прийняття рішення та ін.
Апріорні процедури багатокритеріальної оптимізації та відповідні їм методи прийняття рішень
В процедурах апріорного типу робиться явне та неявне припущення, що вся інформація, що дозволяє визначити найкраще рішення, прихована у формальній моделі задач та, відповідно, за допомогою деяких перетворень може бути з цієї формальної моделі витягнена та використана. Прийнято, що множина альтернатив U та цільових функцій W1(u), W2(u),… достатньо для об'єктивного, незалежного від відсутніх в даній моделі факторів визначення оптимального рішення.
приклад 1. Вирішити задачу по двом критеріям, рахуючи найбільш бажаним. Його відхилення від максимального становить 10%:
W1 = x1 + 2 x2 (r)max;
W1 = x1 + 2 x2 (r)min;
x1 + 2 x2 >6;
x1 < 4;
x2 < 5;
x1 > 0; x2 > 0.
Вирішуючи задачу лінійного програмування за першим показником ефективності W1, наприклад в середовищі пакета EXCEL або графічно, отримуємо, що максимальне значення цільової функції W1*= 14 досягається при x1 = 4 і x2 = 5. Робимо поступку на 10%, тобто зменшуємо величину W1*= 14 до значення W1**= 14 × 0,9 = 12,6.
Вносимо в завдання додаткове обмеження x1 + 2 x2 ³ 12,6. Далі, вирішуючи завдання лінійного програмування при мінімізації другого показника ефективності маємо W2*= 7,6 при x1 = 2,6 і x2 = 5. При цьому значення показника ефективності W1 не змінилося і дорівнює 12,6.
Апостеріорні процедури багатоцільовий оптимізації і відповідні їм методи прийняття рішення
В основі апостеріорних процедур лежить припущення, що формальна модель багатоцільового завдання не містить інформації, достатньої для однозначного вибору найкращої альтернативи. Отже, рішення, прийняті за допомогою апостеріорних процедур, мають принципово суб'єктивний характер, що зумовлює необхідність залучення суб'єктивних суджень конструктора, облік переваг проєктанта в цьому випадку є одним з найбільш ефективних методів зняття наявної невизначеності.
Апостеріорні процедури прийняття рішень полягають у формулюванні додаткових вимог, накладених на переваги проєктанта, виконання яких дозволяє однозначно відновити деяку скалярну функцію корисності P (u), після чого задача прийняття рішень зводиться до скалярної оптимізації.
Типова структура апостеріорної процедури вирішення багатокритеріальних завдань така. Спочатку виконується перевірка гіпотези про незалежність по корисності. Якщо відповіді проєктанта дозволяють зробити висновок, що незалежність дійсно має місце, то за допомогою спеціальних методів (часто використовується принцип лотереї) відновлюються всі величини, необхідні для ідентифікації шуканої функції корисності.
Основною перевагою апостеріорних процедур в порівнянні з апріорними є чітке визначення умов, при виконанні яких ними можна користуватися. Але їх практичне використання часто наштовхується на необхідність збору надзвичайно великої кількості інформації, а також на те, що проєктант в багатьох випадках або не може дати інформацію, необхідну для реалізації процедури, або дає її з великими помилками. Це пов'язано, як правило, з непідготовленістю проєктанта до вирішення такого роду завдань.
Адаптивні процедури багатоцільової оптимізації і відповідні їм методи прийняття рішення
Як відомо, в кібернетиці під адаптацією розуміється "процес накопичення і використання інформації в системі, спрямований на досягнення певного, зазвичай оптимального в деякому розумінні стану або поведінки системи при початковій невизначеності або мінливих зовнішніх умовах. З наведеного вище визначення в результаті аналізу можна сформулювати деякі загальні принципи адаптації:
- адаптація являє, як правило, безперервний динамічний керований випадковий процес;
- в процесі адаптації управління процесом має бути оптимальним з якого — або одному або декільком критеріям (показниками).
У процесі адаптації (адаптивного управління) можуть змінюватися: параметри, структура системи, алгоритм функціонування, управляючі дії тощо. Як відомо, процес оптимального проєктування може інтерпретуватися у вигляді задачі оптимального управління. Тому до нього можуть бути повністю застосовані як загальні принципи, так і методи адаптації. При цьому адаптація тут може розглядатися з двох точок зору:
- по-перше, в ході проєктування відбувається безперервне надходження і накопичення знань про умови застосування майбутнього об'єкта, нових даних про матеріали, їхню поведінку при діючих навантаженнях тощо, які повинні враховуватися при прийнятті оптимальних рішень;
- по-друге, деякі вироби після їх створення працюють в найрізноманітніших і невизначених умовах, що вимагає, в свою чергу, від конструктора забезпечення максимальної пристосовності машини до мінливих умов.
Див. також
Примітки
- Steuer, R.E. (1986). Multiple Criteria Optimization: Theory, Computations, and Application. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN .
- Sawaragi, Y.; Nakayama, H. and Tanino, T. (1985). Theory of Multiobjective Optimization (vol. 176 of Mathematics in Science and Engineering). Orlando, FL: Academic Press Inc. ISBN .
- Jürgen Branke, Kalyanmoy Deb, Kaisa Miettinen та Roman Slowinski (2008). Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches (Lecture Notes in Computer Science). Springer. ISBN .
- A. Osyzka. Multicriteria optimization for engineering design // Design Optimization. — Academic Press. — С. 193-227.
- (Ehrgott, c. 34)
- (Jürgen et al, с. XI)
- Nakayama, Hirotaka; Yun, Yeboon; Yoon, Min. Sequential Approximate Multiobjective Optimization Using Computational Intelligence (Vector Optimization). Springer. ISBN .
- R. S. Rosenberg (1967). Simulation of genetic populations with biochemical properties. Ann Harbor: University of Michigan.
Посилання
- А. Г. Трифонов. Многокритериальная оптимизация [ 29 квітня 2014 у Wayback Machine.] (рос.)
- Вільний розв'язувач з українського ПЗ OpenOpt[недоступне посилання з лютого 2019] для розв'язування багатокритеріальних задач з гарантованою точністю за допомогою інтервального аналізу
Література
- Matthias Ehrgott (2005). Multicriteria Optimization. Springer. ISBN .
- M. Ehrgott and X. Gandibleux. Approximative Solution Methods for Multiobjective Combinatorial Optimization // TOP. — Sociedad de Estadística e Investigación Operativa, 2004. — Т. 12, вип. 1. з джерела 23 липня 2007. Процитовано 28 грудня 2009.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Bagatokriterialna optimizaciya abo programuvannya angl Multi objective optimization ce proces odnochasnoyi optimizaciyi dvoh abo bilshe konfliktuyuchih cilovih funkcij v zadanij oblasti viznachennya Zadacha bagatokriterialnoyi optimizaciyi zustrichayutsya v bagatoh galuzyah nauki ta tehniki ViznachennyaZadacha bagatokriterialnoyi optimizaciyi formulyuyetsya takim chinom min x f 1 x f 2 x f k x displaystyle min vec x f 1 vec x f 2 vec x dots f k vec x x S displaystyle vec x in S de f i R n R displaystyle f i R n to R ce k displaystyle k k 2 displaystyle k geq 2 cilovih funkcij Vektori rozv yazkiv x x 1 x 2 x n T displaystyle vec x x 1 x 2 dots x n T nalezhat do ne porozhnoyi oblasti viznachennya S displaystyle S Zadacha bagatokriterialnoyi optimizaciyi polyagaye u poshuku vektora cilovih zminnih yakij zadovilnyaye nakladenim obmezhennyam ta optimizuye vektornu funkciyu elementi yakoyi vidpovidayut cilovim funkciyam Ci funkciyi utvoryuyut matematichne opisannya kriteriyu zadovilnosti ta zazvichaj vzayemno konfliktuyut Zvidsi optimizuvati oznachaye znajti takij rozv yazok za yakogo znachennya cilovih funkcij buli b prijnyatnimi dlya postanovnika zadachi Etalonni tochki Dlya mozhlivosti ocinki yakosti znajdenih rozv yazkiv zazvichaj rozglyadayut taki tochki v oblasti znachennya cilovoyi funkciyi idealna tochka y I displaystyle y I utopichna tochka y U displaystyle y U nadir nadir y N displaystyle y N U deyakih vipadkah ci tochki mozhut buti rozv yazkami Idealna tochka viznachayetsya yak vektor y I y 1 I y p I displaystyle y I y 1 I dots y p I kozhna z koordinat yakogo maye optimalne znachennya vidpovidnoyi skladovoyi cilovoyi funkciyi y k I min x X f k x min y Y y k displaystyle y k I min x in X f k x min y in Y y k Tochka nadiru y N y 1 N y p N displaystyle y N y 1 N dots y p N viznachayetsya yak vektor y k N max x X E y k x max y Y N y k k 1 p displaystyle y k N max x in X E y k x max y in Y N y k qquad k 1 dots p Utopichnu tochku y U displaystyle y U obchislyuyut na osnovi idealnoyi y U y I ϵ U displaystyle y U y I epsilon U de ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 U displaystyle U odinichnij vektor Kriteriyi optimalnostiKriterij Pareto Dokladnishe Optimum Pareto Vektor rozv yazku x S displaystyle vec x in S nazivayetsya optimalnim za Pareto yaksho ne isnuye x S displaystyle vec x in S takogo sho f i x f i x displaystyle f i vec x leq f i vec x dlya vsih i 1 k displaystyle i 1 dots k ta f i x lt f i x displaystyle f i vec x lt f i vec x dlya bodaj odnogo i displaystyle i Mnozhinu optimalnih za Pareto rozv yazkiv mozhna poznachiti yak P S displaystyle P S Cilovij vektor ye optimalnim za Pareto yaksho vidpovidnij jomu vektor z oblasti viznachennya takozh optimalnij za Pareto Mnozhinu optimalnih za Pareto cilovih vektoriv mozhna poznachiti yak P Z displaystyle P Z Mnozhina optimalnih za Pareto vektoriv ye pidmnozhinoyu optimalnih za Pareto v slabkomu sensi vektoriv Vektor x S displaystyle vec x in S ye slabkim optimumom za Pareto todi koli ne isnuye vektora x S displaystyle vec x in S takogo sho f i x lt f i x displaystyle f i vec x lt f i vec x dlya vsih i 1 2 k displaystyle i 1 2 dots k Diapazon znachen optimalnih za Pareto rozv yazkiv v oblasti dopustimih znachen daye korisnu informaciyu pro doslidzhuvanu zadachu yaksho cilovi funkciyi obmezheno oblastyu viznachennya Nizhni granici optimalnoyi za Pareto mnozhini predstavleno v idealnomu cilovomu vektori z R k displaystyle vec z in R k Jogo komponenti z i displaystyle z i otrimani shlyahom minimizaciyi kozhnoyi cilovoyi funkciyi u mezhah oblasti viznachennya Mnozhinu optimalnih za Pareto rozv yazkiv takozh nazivayut Pareto frontom angl Pareto frontier Leksikografichnij poryadok Dokladnishe Leksikografichnij poryadok Yaksho odni cilovi funkciyi vazhlivishi za inshi kriterij optimalnosti mozhna viznachiti za leksikografichnim poryadkom Vidnoshennya leksikografichnogo poryadku lt l e x displaystyle lt mathrm lex mizh vektorami a displaystyle vec a ta b displaystyle vec b vikonuyetsya yaksho a q lt b q displaystyle a q lt b q de q m i n k a k b k displaystyle q min left k a k neq b k right Tobto pershi q displaystyle q komponent vektora a displaystyle vec a menshi za komponenti vektora b displaystyle vec b a komponenti q 1 displaystyle q 1 rivni yaksho taki ye Leksikografichnij poryadok dlya vipadku dijsnih chisel ye linijnim Vektor x X displaystyle vec x in X ye leksikografichnim rozv yazkom yaksho ne isnuye vektora x X displaystyle vec x in X takogo sho f x lt l e x f x displaystyle f vec x lt mathrm lex f vec x Oskilki vidnoshennya leksikografichnogo poryadku ye linijnim mozhna dovesti sho vektor x displaystyle vec x ye leksikografichnim rozv yazkom yaksho dlya vsih x X displaystyle vec x in X vikonuyetsya f x lt l e x f x displaystyle vec f vec x lt mathrm lex vec f vec x Osnovnoyu osoblivistyu rozv yazkiv za leksikografichnim poryadkom ye isnuvannya viboru mizh kriteriyami Leksikografichna vporyadkovanist vimagaye ranzhuvannya kriteriyiv v tomu sensi sho optimizaciya za kriteriyem f k displaystyle f k mozhliva lishe todi koli bulo dosyagnuto optimumu dlya poperednih kriteriyiv Ce oznachaye sho pershij kriterij maye najbilshij prioritet i lishe u vipadku isnuvannya dekilkoh rozv yazkiv za cim kriteriyem bude poshuk rozv yazkiv za drugim ta reshtoyu kriteriyiv Isnuvannya iyerarhiyi sered kriteriyiv dozvolyaye rozv yazuvati leksikografichni zadachi poslidovno krok za krokom minimizuyuchi za kozhnim nastupnim kriteriyem ta vikoristovuyuchi optimalni znachennya poperednih kriteriyiv yak obmezhennya SkalyarizaciyaDlya otrimannya optimalnih za Pareto rozv yazkiv chasto vikoristovuyut metodi skalyarizaciyi Oskilki cilova funkciya zadachi bagatokriterialnoyi optimizaciyi maye vektorni znachennya yiyi peretvoryuyut na funkciyu zi skalyarnim znachennyam Takim chinom zadacha bagatokriterialnoyi optimizaciyi zvoditsya do zadachi optimizaciyi z odniyeyu skalyarnoyu cilovoyu funkciyeyu Funkciya skalyarizaciyi maye zadovilnyati nastupnim umovam Nehaj F displaystyle F funkciya skalyarizaciyi sho peretvoryuye vektornu funkciyu y f x displaystyle vec y vec f vec x na skalyarnu Yaksho F displaystyle F zberigaye vporyadkovanist za Pareto y displaystyle vec y tobto yaksho dlya dovilnih y 1 y 2 f X displaystyle vec y 1 vec y 2 in vec f X vikonuyetsya y 1 y 2 F y 1 lt F y 2 displaystyle vec y 1 leq vec y 2 implies F vec y 1 lt F vec y 2 todi rozv yazok x 0 displaystyle vec x 0 sho minimizuye F displaystyle F na X displaystyle X ye rozv yazkom za Pareto Yaksho F displaystyle F zberigaye vidnoshennya poryadku lt displaystyle lt v y displaystyle vec y tobto yaksho dlya dovilnih y 1 y 2 f X displaystyle vec y 1 vec y 2 in vec f X vikonuyetsya y 1 lt y 2 F y 1 lt F y 2 displaystyle vec y 1 lt vec y 2 implies F vec y 1 lt F vec y 2 todi rozv yazok x 0 displaystyle vec x 0 sho minimizuye F displaystyle F na X displaystyle X ye slabkim za Pareto Yaksho F displaystyle F neperervna na y displaystyle vec y ta x 0 displaystyle vec x 0 yedina tochka minimumu F displaystyle F na X displaystyle X todi x 0 displaystyle vec x 0 ye rozv yazkom za Pareto Zvazhena suma F 1 f x w 1 f 1 x w r f r x displaystyle F 1 vec f vec x w 1 f 1 vec x dots w r f r vec x Navedena funkciya F 1 displaystyle F 1 zberigaye vporyadkovanist za Pareto dlya w gt 0 displaystyle w gt 0 Tomu rozv yazki sho minimizuyut F 1 displaystyle F 1 na X displaystyle X dlya dovilnih w gt 0 displaystyle w gt 0 ye optimalnimi za Pareto Odnak F 1 displaystyle F 1 ne zberigaye vporyadkovanist za Pareto dlya w 0 displaystyle w geq 0 a zberigaye lishe vidnoshennya lt displaystyle lt i tomu rozv yazki sho minimizuyut F 1 displaystyle F 1 na X displaystyle X dlya w 0 displaystyle w geq 0 ye slabkimi za Pareto Nedolikom metodu zvazhenih sum u vipadku neopukloyi mnozhini znachen cilovih funkcij ye nemozhlivist ohopiti vsi optimalni za Pareto tochki z mnozhini Pareto frontu U zadachah kombinatornoyi bagatokriterialnoyi optimizaciyi mnozhina cilovih znachen ne ye opukloyu tomu metod zvazhenih sum ne pidhodit dlya skalyarizaciyi cilovih funkcij dlya cih zadach Funkciya skalyarizaciyi Chebisheva F f x max 1 i r w i f i x displaystyle F infty vec f vec x max 1 leq i leq r w i f i vec x Zvazhena funkciya skalyarizaciyi Chebisheva zberigaye vidnoshennya lt displaystyle lt i tomu minimum F displaystyle F infty ye slabkim za Pareto Metod zmini obmezhen e obmezhennya Za metodom zmini obmezhen odnu z cilovih funkcij zalishayut yak cilovu a reshtu peretvoryuyut na obmezhennya Tobto nehaj f r displaystyle f r bude cilovoyu a reshta f 1 f r 1 displaystyle f 1 dots f r 1 yak obmezhennya nerivnosti min x f r x displaystyle min x f r vec x dd za umov f i x e i i 1 r 1 displaystyle f i vec x leq varepsilon i i 1 dots r 1 x X displaystyle vec x in X dd dd dd Znachennya e 1 e r 1 displaystyle varepsilon 1 dots varepsilon r 1 mozhut rozglyadatis yak pripustimi rivni dlya f 1 f r 1 displaystyle f 1 dots f r 1 Metodi rozv yazannyaDokladnishe Metodi rozv yazku zadach bagatokriterialnoyi optimizaciyi Interaktivnist Chasto rozv yazannya zadachi bagatokriterialnoyi optimizaciyi vidbuvayetsya za uchastyu eksperta lyudini yaka obiraye ta uhvalyuye rishennya na osnovi informaciyi predstavlenoyi sistemoyu pidtrimki prijnyattya rishen Mozhliva uchast grupi z dekilkoh ekspertiv U vipadku uchasti lyudini u poshuku rozv yazku algoritmi ta metodi nazivayut interaktivnimi Evolyucijni metodi Zgadki pro zastosuvannya genetichnih algoritmiv dlya rozv yazannya zadachi bagatokriterialnoyi optimizaciyi vidnosyatsya do kincya 1960 h Proceduri virishennya zadach bagatokriterialnoyi optimizaciyiMozhna zaproponuvati nastupnu strukturu isnuyuchih na sogodni procedur virishennya zadach bagatokriterialnoyi optimizaciyi Po metodu vikoristannya informaciyi Apriorni Aposteriorni Adaptivni Po metodu prijnyattya rishennya ta in Apriorni proceduri bagatokriterialnoyi optimizaciyi ta vidpovidni yim metodi prijnyattya rishen V procedurah apriornogo tipu robitsya yavne ta neyavne pripushennya sho vsya informaciya sho dozvolyaye viznachiti najkrashe rishennya prihovana u formalnij modeli zadach ta vidpovidno za dopomogoyu deyakih peretvoren mozhe buti z ciyeyi formalnoyi modeli vityagnena ta vikoristana Prijnyato sho mnozhina alternativ U ta cilovih funkcij W1 u W2 u dostatno dlya ob yektivnogo nezalezhnogo vid vidsutnih v danij modeli faktoriv viznachennya optimalnogo rishennya priklad 1 Virishiti zadachu po dvom kriteriyam rahuyuchi najbilsh bazhanim Jogo vidhilennya vid maksimalnogo stanovit 10 W1 x1 2 x2 r max W1 x1 2 x2 r min x1 2 x2 gt 6 x1 lt 4 x2 lt 5 x1 gt 0 x2 gt 0 Virishuyuchi zadachu linijnogo programuvannya za pershim pokaznikom efektivnosti W1 napriklad v seredovishi paketa EXCEL abo grafichno otrimuyemo sho maksimalne znachennya cilovoyi funkciyi W1 14 dosyagayetsya pri x1 4 i x2 5 Robimo postupku na 10 tobto zmenshuyemo velichinu W1 14 do znachennya W1 14 0 9 12 6 Vnosimo v zavdannya dodatkove obmezhennya x1 2 x2 12 6 Dali virishuyuchi zavdannya linijnogo programuvannya pri minimizaciyi drugogo pokaznika efektivnosti mayemo W2 7 6 pri x1 2 6 i x2 5 Pri comu znachennya pokaznika efektivnosti W1 ne zminilosya i dorivnyuye 12 6 Aposteriorni proceduri bagatocilovij optimizaciyi i vidpovidni yim metodi prijnyattya rishennya V osnovi aposteriornih procedur lezhit pripushennya sho formalna model bagatocilovogo zavdannya ne mistit informaciyi dostatnoyi dlya odnoznachnogo viboru najkrashoyi alternativi Otzhe rishennya prijnyati za dopomogoyu aposteriornih procedur mayut principovo sub yektivnij harakter sho zumovlyuye neobhidnist zaluchennya sub yektivnih sudzhen konstruktora oblik perevag proyektanta v comu vipadku ye odnim z najbilsh efektivnih metodiv znyattya nayavnoyi neviznachenosti Aposteriorni proceduri prijnyattya rishen polyagayut u formulyuvanni dodatkovih vimog nakladenih na perevagi proyektanta vikonannya yakih dozvolyaye odnoznachno vidnoviti deyaku skalyarnu funkciyu korisnosti P u pislya chogo zadacha prijnyattya rishen zvoditsya do skalyarnoyi optimizaciyi Tipova struktura aposteriornoyi proceduri virishennya bagatokriterialnih zavdan taka Spochatku vikonuyetsya perevirka gipotezi pro nezalezhnist po korisnosti Yaksho vidpovidi proyektanta dozvolyayut zrobiti visnovok sho nezalezhnist dijsno maye misce to za dopomogoyu specialnih metodiv chasto vikoristovuyetsya princip lotereyi vidnovlyuyutsya vsi velichini neobhidni dlya identifikaciyi shukanoyi funkciyi korisnosti Osnovnoyu perevagoyu aposteriornih procedur v porivnyanni z apriornimi ye chitke viznachennya umov pri vikonanni yakih nimi mozhna koristuvatisya Ale yih praktichne vikoristannya chasto nashtovhuyetsya na neobhidnist zboru nadzvichajno velikoyi kilkosti informaciyi a takozh na te sho proyektant v bagatoh vipadkah abo ne mozhe dati informaciyu neobhidnu dlya realizaciyi proceduri abo daye yiyi z velikimi pomilkami Ce pov yazano yak pravilo z nepidgotovlenistyu proyektanta do virishennya takogo rodu zavdan Adaptivni proceduri bagatocilovoyi optimizaciyi i vidpovidni yim metodi prijnyattya rishennya Yak vidomo v kibernetici pid adaptaciyeyu rozumiyetsya proces nakopichennya i vikoristannya informaciyi v sistemi spryamovanij na dosyagnennya pevnogo zazvichaj optimalnogo v deyakomu rozuminni stanu abo povedinki sistemi pri pochatkovij neviznachenosti abo minlivih zovnishnih umovah Z navedenogo vishe viznachennya v rezultati analizu mozhna sformulyuvati deyaki zagalni principi adaptaciyi adaptaciya yavlyaye yak pravilo bezperervnij dinamichnij kerovanij vipadkovij proces v procesi adaptaciyi upravlinnya procesom maye buti optimalnim z yakogo abo odnomu abo dekilkom kriteriyam pokaznikami U procesi adaptaciyi adaptivnogo upravlinnya mozhut zminyuvatisya parametri struktura sistemi algoritm funkcionuvannya upravlyayuchi diyi tosho Yak vidomo proces optimalnogo proyektuvannya mozhe interpretuvatisya u viglyadi zadachi optimalnogo upravlinnya Tomu do nogo mozhut buti povnistyu zastosovani yak zagalni principi tak i metodi adaptaciyi Pri comu adaptaciya tut mozhe rozglyadatisya z dvoh tochok zoru po pershe v hodi proyektuvannya vidbuvayetsya bezperervne nadhodzhennya i nakopichennya znan pro umovi zastosuvannya majbutnogo ob yekta novih danih pro materiali yihnyu povedinku pri diyuchih navantazhennyah tosho yaki povinni vrahovuvatisya pri prijnyatti optimalnih rishen po druge deyaki virobi pislya yih stvorennya pracyuyut v najriznomanitnishih i neviznachenih umovah sho vimagaye v svoyu chergu vid konstruktora zabezpechennya maksimalnoyi pristosovnosti mashini do minlivih umov Div takozhPortal Matematika Optimum Pareto Zadacha optimizaciyi Zadacha prijnyattya rishen Testovi funkciyi dlya optimizaciyi Zlisna problemaPrimitkiSteuer R E 1986 Multiple Criteria Optimization Theory Computations and Application New York John Wiley amp Sons Inc ISBN 047188846X Sawaragi Y Nakayama H and Tanino T 1985 Theory of Multiobjective Optimization vol 176 of Mathematics in Science and Engineering Orlando FL Academic Press Inc ISBN 0126203709 Jurgen Branke Kalyanmoy Deb Kaisa Miettinen ta Roman Slowinski 2008 Multiobjective Optimization Interactive and Evolutionary Approaches Lecture Notes in Computer Science Springer ISBN 3 540 88907 8 A Osyzka Multicriteria optimization for engineering design Design Optimization Academic Press S 193 227 Ehrgott c 34 Jurgen et al s XI Nakayama Hirotaka Yun Yeboon Yoon Min Sequential Approximate Multiobjective Optimization Using Computational Intelligence Vector Optimization Springer ISBN 978 3 540 88909 0 R S Rosenberg 1967 Simulation of genetic populations with biochemical properties Ann Harbor University of Michigan PosilannyaA G Trifonov Mnogokriterialnaya optimizaciya 29 kvitnya 2014 u Wayback Machine ros Vilnij rozv yazuvach z ukrayinskogo PZ OpenOpt nedostupne posilannya z lyutogo 2019 dlya rozv yazuvannya bagatokriterialnih zadach z garantovanoyu tochnistyu za dopomogoyu intervalnogo analizuLiteraturaMatthias Ehrgott 2005 Multicriteria Optimization Springer ISBN 3 540 21398 8 M Ehrgott and X Gandibleux Approximative Solution Methods for Multiobjective Combinatorial Optimization TOP Sociedad de Estadistica e Investigacion Operativa 2004 T 12 vip 1 z dzherela 23 lipnya 2007 Procitovano 28 grudnya 2009 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi