Зрізана трикутна трапеція моноліт Дюрера | |
---|---|
![]() | |
Тип | Укорочена трапеція |
Обличчя | 6 п'ятикутників, 2 трикутники |
Краї | 18 |
Вершини | 12 |
Група симетрії | D 3d, [2 +, 6], (2*3) |
Подвійний багатогранник | Гіроелонгована трикутна біпіраміда |
Властивості | опуклий |
Багатогранник Дюрера — багатогранник, зображений на гравюрі Меланхолія художника Альбрехта Дюрера. У геометрії зрі́зана трикутна трапеція є однією з серії зрі́заних багатогранних трапецій. Вона має 6 п'ятикутників та 2 трикутні грані.
Геометрія
Цей багатогранник більше схожий на "якийсь момент" проходження гіперкубу з 4-го виміру через площину 3-го виміру. Якщо додати, що художник був математиком, то ймовірно він бачив цю 4-вимірну фігуру в своїй уяві в "проходженні".
Так, в 3-вимірному просторі ця фігура може бути побудована шляхом обрізання двох протилежних вершин куба, трикутного трапеції (опуклий багатогранник із шістьма сторонами ромба, утвореного розтягуванням або скороченням куба вздовж однієї з його довгих діагоналей), або з ромбоедра чи паралелепіпеда (менш симетричні багатогранники, які все ще мають таку ж комбінаторну будову, як куб). У випадку куба або тригональної трапеції, де дві зрізані вершини — це ті, що розташовуються на осях, що розтягуються, отримана форма має триразову обертальну симетрію.
Моноліт Дюрера
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekU0TDBRbFF6TWxRa055WlhKZlRXVnNZVzVqYUc5c2FXRmZTUzVxY0djdk16SXdjSGd0UkNWRE15VkNRM0psY2w5TlpXeGhibU5vYjJ4cFlWOUpMbXB3Wnc9PS5qcGc=.jpg)
Цей багатогранник іноді називають монолітом Дюрера, через його появу в гравюрі Меланхолія 1514 року. Граф, утворений його ребрами і вершинами, називається графом Дюрера.
Форма моноліту, зображеного Дюрером, є предметом наукових дискусій, які точаться навколо того, яке геометричне тіло було зрізане: куб, чи ромбоедр.
Більшість вчених більше схиляються до другого варіанту, але існують ще декілька припущень щодо цього:
- Ріхтер стверджує, що ромби ромбоедра, з яких складається ця форма, мають 5: 6 як співвідношення між їх короткими та довгими діагоналями, від яких гострі кути ромбів становитимуть приблизно 80 °.
- Шредер (1980) та Лінч (1982) натомість роблять висновок, що відношення дорівнює √3: 2 і що кут приблизно 82 °Schröder, E. (1980), Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung", Basel Як цитує Weitzel, (2004).
- МакГілларі вимірює особливості креслення і виявляє, що кут приблизно 79 °. Він і Вольф фон Енгельгардт (див. Хідеко, 2009) стверджують, що цей вибір кута походить від його фізичного виникнення в кристалах кальциту.
- Шрайбер стверджує, що спираючись на праці Дюрера, можна стверджувати, що всі вершини моноліта Дюрера лежать на спільній сфері, а також кути ромба дорівнюють 72 °. Хідеко (2009) перераховує декількох інших науковців, які також віддають перевагу теорії 72 °, починаючи з Павла Гродзінського в 1955 році. Він стверджує, що ця теорія мотивована не лише аналізом малюнка, а насамперед естетичними принципами, що стосуються правильних п'ятикутників і золотого перетину.
- Вейцлер аналізує ескіз Дюрера 1510 р. того ж моноліта. Він підтверджує гіпотезу Шрайбера про те, що форма має окружність, але з кутами ромба приблизно 79,5 °.
- Хідеко стверджує, що форма призначена для відображення знаменитої геометричної проблеми подвоєння куба, про яку Дюрер також писав у 1525 р. Тому він робить висновок, що (перш ніж відрізати кути) форма є кубом розтягнутим по його довгій діагоналі. Більш конкретно, він стверджує, що Дюрер намалював фактичний куб з довгою діагоналлю, паралельною перспективі площини, а потім збільшив свій малюнок деяким фактором у напрямку довгої діагоналі; результат був би таким самим, як якщо б він намалював витягнуте тверде тіло. Він збільшує коефіцієнт збільшення, що має значення для подвоєння куба 21/3 ≈ 1.253, але Хідеко отримує інший коефіцієнт збільшення, який краще відповідає малюнку, 1.277, більш складним чином.
- Футамура, Франц і Краннел класифікують запропоновані рішення цієї проблеми за двома параметрами: гострим кутом та перехресним співвідношенням. Їх оцінка перехресного співвідношення близька до рівня МакГілларі і має числове значення, близьке до золотого перетину. Виходячи з цього, вони вважають, що гострий кут
і що перехресне співвідношення точно
.
Див. також
- , іншої форми, утворений обрізанням підмножини вершин куба
Примітки
- MacGillavry, C. (1981), The polyhedron in A. Dürers Melencolia I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B, 84: 287—294
- MacGillavry, C. (1981), The polyhedron in A. Dürers Melencolia I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B, 84: 287—294. Як цитує Weitzel, (2004)
- Schreiber, Peter (1999), A new hypothesis on Dürer's enigmatic polyhedron in his copper engraving "Melencolia I", Historia Mathematica, 26: 369—377, doi:10.1006/hmat.1999.2245
- Schröder, E. (1980), Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung", Basel
- Weitzel, Hans (2004), A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I, Historia Mathematica, 31 (1): 11—14, doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6
- Hideko, Ishizu (2009), (PDF), Aesthetics, The Japanese Society for Aesthetics, 13: 179—194, архів оригіналу (PDF) за 19 лютого 2018, процитовано 18 травня 2020
- Futamura, F.; Frantz, M.; (2014), The cross ratio as a shape parameter for Dürer's solid, Journal of Mathematics and the Arts, 8 (3-4): 111—119, arXiv:1405.6481, doi:10.1080/17513472.2014.974483
Джерела
- Lynch, Terence (1982), The geometric body in Dürer's engraving Melencolia I, Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, The Warburg Institute, 45: 226—232, doi:10.2307/750979, JSTOR 750979
- MacGillavry, C. (1981), The polyhedron in A. Dürers Melencolia I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B, 84: 287—294.
- Richter, D. H. (1957), Perspektive und Proportionen in Albrecht Dürers "Melancholie", Z. Vermessungswesen, 82: 284–288 and 350–357. Як цитує Weitzel, (2004).
- Schreiber, Peter (1999), A new hypothesis on Dürer's enigmatic polyhedron in his copper engraving "Melencolia I", Historia Mathematica, 26: 369—377, doi:10.1006/hmat.1999.2245.
- Schröder, E. (1980), Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner "Underweysung", Basel Як цитує Weitzel, (2004).
- Strauss, Walter L. (1972), The Complete Engravings of Dürer, New York, с. 168, ISBN Strauss, Walter L. (1972), The Complete Engravings of Dürer, New York, с. 168, ISBN . Як цитує Lynch, (1982) .
- Weber, P. (1900), Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus, Strassburg . Як цитує Weitzel, (2004) .
- Weitzel, Hans (2004), A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I, Historia Mathematica, 31 (1): 11—14, doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6 одна Weitzel, Hans (2004), A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I, Historia Mathematica, 31 (1): 11—14, doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6.
- Hideko, Ishizu (2009), (PDF), Aesthetics, The Japanese Society for Aesthetics, 13: 179—194, архів оригіналу (PDF) за 19 лютого 2018, процитовано 18 травня 2020.
- (3 грудня 2014), , The Guardian, архів оригіналу за 11 листопада 2020, процитовано 18 травня 2020.
- Futamura, F.; Frantz, M.; (2014), The cross ratio as a shape parameter for Dürer's solid, Journal of Mathematics and the Arts, 8 (3-4): 111—119, arXiv:1405.6481, doi:10.1080/17513472.2014.974483.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Dürer's Solid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- How to build Dürer's Polyhedron — by DUPLICON (in German) [ 30 вересня 2020 у Wayback Machine.]
- Open-source 3D models of Dürer's Solid
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zrizana trikutna trapeciya monolit Dyurera Tip Ukorochena trapeciya Oblichchya 6 p yatikutnikiv 2 trikutniki Krayi 18 Vershini 12 Grupa simetriyi D 3d 2 6 2 3 Podvijnij bagatogrannik Giroelongovana trikutna bipiramida Vlastivosti opuklij Bagatogrannik Dyurera bagatogrannik zobrazhenij na gravyuri Melanholiya hudozhnika Albrehta Dyurera U geometriyi zri zana trikutna trapeciya ye odniyeyu z seriyi zri zanih bagatogrannih trapecij Vona maye 6 p yatikutnikiv ta 2 trikutni grani GeometriyaCej bagatogrannik bilshe shozhij na yakijs moment prohodzhennya giperkubu z 4 go vimiru cherez ploshinu 3 go vimiru Yaksho dodati sho hudozhnik buv matematikom to jmovirno vin bachiv cyu 4 vimirnu figuru v svoyij uyavi v prohodzhenni Tak v 3 vimirnomu prostori cya figura mozhe buti pobudovana shlyahom obrizannya dvoh protilezhnih vershin kuba trikutnogo trapeciyi opuklij bagatogrannik iz shistma storonami romba utvorenogo roztyaguvannyam abo skorochennyam kuba vzdovzh odniyeyi z jogo dovgih diagonalej abo z romboedra chi paralelepipeda mensh simetrichni bagatogranniki yaki vse she mayut taku zh kombinatornu budovu yak kub U vipadku kuba abo trigonalnoyi trapeciyi de dvi zrizani vershini ce ti sho roztashovuyutsya na osyah sho roztyaguyutsya otrimana forma maye trirazovu obertalnu simetriyu Monolit DyureraMelanholiya 1514 rik Cej bagatogrannik inodi nazivayut monolitom Dyurera cherez jogo poyavu v gravyuri Melanholiya 1514 roku Graf utvorenij jogo rebrami i vershinami nazivayetsya grafom Dyurera Forma monolitu zobrazhenogo Dyurerom ye predmetom naukovih diskusij yaki tochatsya navkolo togo yake geometrichne tilo bulo zrizane kub chi romboedr Bilshist vchenih bilshe shilyayutsya do drugogo variantu ale isnuyut she dekilka pripushen shodo cogo Rihter stverdzhuye sho rombi romboedra z yakih skladayetsya cya forma mayut 5 6 yak spivvidnoshennya mizh yih korotkimi ta dovgimi diagonalyami vid yakih gostri kuti rombiv stanovitimut priblizno 80 Shreder 1980 ta Linch 1982 natomist roblyat visnovok sho vidnoshennya dorivnyuye 3 2 i sho kut priblizno 82 Schroder E 1980 Durer Kunst und Geometrie Durers kunstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner Underweysung Basel Yak cituye Weitzel 2004 MakGillari vimiryuye osoblivosti kreslennya i viyavlyaye sho kut priblizno 79 Vin i Volf fon Engelgardt div Hideko 2009 stverdzhuyut sho cej vibir kuta pohodit vid jogo fizichnogo viniknennya v kristalah kalcitu Shrajber stverdzhuye sho spirayuchis na praci Dyurera mozhna stverdzhuvati sho vsi vershini monolita Dyurera lezhat na spilnij sferi a takozh kuti romba dorivnyuyut 72 Hideko 2009 pererahovuye dekilkoh inshih naukovciv yaki takozh viddayut perevagu teoriyi 72 pochinayuchi z Pavla Grodzinskogo v 1955 roci Vin stverdzhuye sho cya teoriya motivovana ne lishe analizom malyunka a nasampered estetichnimi principami sho stosuyutsya pravilnih p yatikutnikiv i zolotogo peretinu Vejcler analizuye eskiz Dyurera 1510 r togo zh monolita Vin pidtverdzhuye gipotezu Shrajbera pro te sho forma maye okruzhnist ale z kutami romba priblizno 79 5 Hideko stverdzhuye sho forma priznachena dlya vidobrazhennya znamenitoyi geometrichnoyi problemi podvoyennya kuba pro yaku Dyurer takozh pisav u 1525 r Tomu vin robit visnovok sho persh nizh vidrizati kuti forma ye kubom roztyagnutim po jogo dovgij diagonali Bilsh konkretno vin stverdzhuye sho Dyurer namalyuvav faktichnij kub z dovgoyu diagonallyu paralelnoyu perspektivi ploshini a potim zbilshiv svij malyunok deyakim faktorom u napryamku dovgoyi diagonali rezultat buv bi takim samim yak yaksho b vin namalyuvav vityagnute tverde tilo Vin zbilshuye koeficiyent zbilshennya sho maye znachennya dlya podvoyennya kuba 21 3 1 253 ale Hideko otrimuye inshij koeficiyent zbilshennya yakij krashe vidpovidaye malyunku 1 277 bilsh skladnim chinom Futamura Franc i Krannel klasifikuyut zaproponovani rishennya ciyeyi problemi za dvoma parametrami gostrim kutom ta perehresnim spivvidnoshennyam Yih ocinka perehresnogo spivvidnoshennya blizka do rivnya MakGillari i maye chislove znachennya blizke do zolotogo peretinu Vihodyachi z cogo voni vvazhayut sho gostrij kut 2 arctan f 2 78 displaystyle 2 arctan varphi 2 approx 78 circ i sho perehresne spivvidnoshennya tochno f displaystyle varphi Div takozh inshoyi formi utvorenij obrizannyam pidmnozhini vershin kubaPrimitkiMacGillavry C 1981 The polyhedron in A Durers Melencolia I Nederl Akad Wetensch Proc Ser B 84 287 294 MacGillavry C 1981 The polyhedron in A Durers Melencolia I Nederl Akad Wetensch Proc Ser B 84 287 294 Yak cituye Weitzel 2004 Schreiber Peter 1999 A new hypothesis on Durer s enigmatic polyhedron in his copper engraving Melencolia I Historia Mathematica 26 369 377 doi 10 1006 hmat 1999 2245 Schroder E 1980 Durer Kunst und Geometrie Durers kunstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner Underweysung Basel Weitzel Hans 2004 A further hypothesis on the polyhedron of A Durer s engraving Melencolia I Historia Mathematica 31 1 11 14 doi 10 1016 S0315 0860 03 00029 6 Hideko Ishizu 2009 PDF Aesthetics The Japanese Society for Aesthetics 13 179 194 arhiv originalu PDF za 19 lyutogo 2018 procitovano 18 travnya 2020 Futamura F Frantz M 2014 The cross ratio as a shape parameter for Durer s solid Journal of Mathematics and the Arts 8 3 4 111 119 arXiv 1405 6481 doi 10 1080 17513472 2014 974483DzherelaLynch Terence 1982 The geometric body in Durer s engraving Melencolia I Journal of the Warburg and Courtauld Institutes The Warburg Institute 45 226 232 doi 10 2307 750979 JSTOR 750979 MacGillavry C 1981 The polyhedron in A Durers Melencolia I Nederl Akad Wetensch Proc Ser B 84 287 294 Richter D H 1957 Perspektive und Proportionen in Albrecht Durers Melancholie Z Vermessungswesen 82 284 288 and 350 357 Yak cituye Weitzel 2004 Schreiber Peter 1999 A new hypothesis on Durer s enigmatic polyhedron in his copper engraving Melencolia I Historia Mathematica 26 369 377 doi 10 1006 hmat 1999 2245 Schroder E 1980 Durer Kunst und Geometrie Durers kunstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner Underweysung Basel Yak cituye Weitzel 2004 Strauss Walter L 1972 The Complete Engravings of Durer New York s 168 ISBN 0 486 22851 7 Strauss Walter L 1972 The Complete Engravings of Durer New York s 168 ISBN 0 486 22851 7 Yak cituye Lynch 1982 Weber P 1900 Beitrage zu Durers Weltanschauung Eine Studie uber die drei Stiche Ritter Tod und Teufel Melancholie und Hieronymus im Gehaus Strassburg Yak cituye Weitzel 2004 Weitzel Hans 2004 A further hypothesis on the polyhedron of A Durer s engraving Melencolia I Historia Mathematica 31 1 11 14 doi 10 1016 S0315 0860 03 00029 6 odna Weitzel Hans 2004 A further hypothesis on the polyhedron of A Durer s engraving Melencolia I Historia Mathematica 31 1 11 14 doi 10 1016 S0315 0860 03 00029 6 Hideko Ishizu 2009 PDF Aesthetics The Japanese Society for Aesthetics 13 179 194 arhiv originalu PDF za 19 lyutogo 2018 procitovano 18 travnya 2020 3 grudnya 2014 The Guardian arhiv originalu za 11 listopada 2020 procitovano 18 travnya 2020 Futamura F Frantz M 2014 The cross ratio as a shape parameter for Durer s solid Journal of Mathematics and the Arts 8 3 4 111 119 arXiv 1405 6481 doi 10 1080 17513472 2014 974483 PosilannyaWeisstein Eric W Durer s Solid angl na sajti Wolfram MathWorld How to build Durer s Polyhedron by DUPLICON in German 30 veresnya 2020 u Wayback Machine Open source 3D models of Durer s Solid