Алгебра Каца — Муді

Алгебрами Каца — Муді називаються загалом нескінченновимірні алгебри Лі, що є узагальненнями напівпростих скінченновимірних алгебр Лі. Як і напівпрості скінченновимірні алгебри Лі, алгебри Каца — Муді можна задати за допомогою співвідношень Серра, лише замість матриці Картана коефіцієнти у цих співвідношеннях є елементами деякої більш загальної матриці. Напівпрості алгебри Лі є єдиними прикладами скінченновимірних алгебр Каца — Муді.

У цій статті всюди де не вказано інше усі об'єкти розглядаються над алгебрично замкнутим полем K характеристика якого є рівною 0.

Побудова

Узагальнені матриці Картана

Матриця ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ розмірності ${\displaystyle n\times n}$ називається узагальненою матрицею Картана, якщо

• Коефіцієнти матриці ${\displaystyle A_{i,j}\in \mathbb {Z} }$ для всіх ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle A_{i,i}=2}$ для всіх ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle A_{i,j}\leq 0}$ для всіх ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j}$
• ${\displaystyle A_{i,j}=0}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A_{j,i}=0}$ для всіх ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$.

Матриця Картана системи коренів напівпростої алгебри Лі задовольняє всі ці властивості і вона є частковим прикладом узагальненої матриці Картана.

Дві узагальнені ${\displaystyle n\times n}$-матриці Картана ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ і ${\displaystyle A'=(A'_{i,j})}$ називаються еквівалентними, якщо існує перестановка ${\displaystyle \sigma }$ елементів ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ при якій ${\displaystyle A'_{i,j}=A_{\sigma (i),\sigma (j)}.}$

Узагальнена матриця Картана називається розкладною, якщо вона є еквівалентною матриці виду

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}}$

для деяких матриць ${\displaystyle A_{1}}$ і ${\displaystyle A_{2}}$ (які теж будуть узагальненими матрицями Картана). В іншому випадку матриця називається нерозкладною.

Реалізація матриці

Для узагальненої матриці ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ розмірності ${\displaystyle n\times n}$ введемо

• Скінченновимірний ${\displaystyle K}$-векторний простір ${\displaystyle H}$
• Лінійно незалежні вектори ${\displaystyle \Pi ^{\vee }=\{h_{1},\ldots ,h_{n}\}\subset H}$,
• Лінійно незалежні елементи спряженого простору ${\displaystyle \Pi =\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\subset H^{*}}$, для яких ${\displaystyle A_{i,j}=\alpha _{j}(h_{i})}$ для всіх ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n.}$

Тоді ${\displaystyle (H,\Pi ^{\vee },\Pi )}$ називається реалізацією матриці ${\displaystyle A}$. Найменша можлива розмірність простору ${\displaystyle H}$ є рівною ${\displaystyle 2n-\mathrm {rang} (A),}$ де ${\displaystyle \mathrm {rang} (A)}$ позначає ранг матриці. До того ж дві такі реалізації ${\displaystyle (H_{1},\Pi _{1}^{\vee },\Pi _{1})}$ і ${\displaystyle (H_{2},\Pi _{2}^{\vee },\Pi _{2})}$ мінімальної розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійне відображення ${\displaystyle \varphi :H_{1}\rightarrow H_{2},}$ що переводить ${\displaystyle \Pi _{1}^{\vee }}$ у ${\displaystyle \Pi _{2}^{\vee }}$ і спряжене відображення переводить ${\displaystyle \Pi _{2}}$ у ${\displaystyle \Pi _{1}.}$ Тобто існує єдиний клас ізоморфізму мінімальних реалізацій.

Задання алгебр Лі

Нехай ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ — узагальнена матриця Картана розмірності ${\displaystyle n\times n}$ і ${\displaystyle (H,\Pi ^{\vee }=\{h_{1},\ldots ,h_{n}\},\Pi =\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\})}$ — її мінімальна реалізація. На основі цієї мінімальної реалізації можна побудувати вільну алгебру Лі породжену множиною

${\displaystyle X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}\cup \{{\tilde {x}}\mid x\in H\}}$.

На цій алгебрі можна розглянути множину співвідношень

• ${\displaystyle {\tilde {x}}-\lambda {\tilde {y}}-\mu {\tilde {z}}}$   для всіх ${\displaystyle x,y,z\in H,\,\lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$   mit ${\displaystyle x=\lambda x+\mu z}$
• ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}]}$   для всіх   ${\displaystyle x,y\in H}$
• ${\displaystyle [e_{i}f_{i}]-{\tilde {h_{i}}}}$   для всіх   ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle [e_{i}f_{j}]}$   для всіх   ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j}$
• ${\displaystyle [{\tilde {x}}e_{i}]-\alpha _{i}(x)}$   для всіх   ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\,x\in H}$
• ${\displaystyle [{\tilde {x}}f_{i}]+\alpha _{i}(x)}$   для всіх   ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\,x\in H}$

Нехай ця множина позначається ${\displaystyle R.}$ і ${\displaystyle {\tilde {L}}(A):=L(X;R)}$— алгебра Лі задана породжуючими елементами із множини ${\displaystyle X}$ і множиною співвідношень ${\displaystyle R.}$ При цьому відображення ${\displaystyle H\mapsto {\tilde {H}}:=\{{\tilde {x}}\mid x\in H\},\,x\mapsto {\tilde {x}}}$ задає ізоморфізм алгебр Лі.

Означення алгебр Каца — Муді

Для узагальненої матриці Картана ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ із побудованими вище алгебрами ${\displaystyle {\tilde {L}}(A)}$ і ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ нехай I — єдиний максимальний ідеал для якого ${\displaystyle I\cap {\tilde {H}}=\{0\}.}$ Тоді алгебра Лі

${\displaystyle L(A):={\tilde {L}}(A)/I}$

називається алгеброю Каца — Муді для матриці ${\displaystyle A}$.

Клас ізоморфізмів алгебри Лі ${\displaystyle L(A)}$ залежить лише від класу еквівалентності узагальнених матриць Картана. Якщо ${\displaystyle A}$ є звичайною матрицею Картана, то алгебра Каца — Муді матриці ${\displaystyle A}$ є ізоморфною скінченновимірній напівпростій алгебрі Лі.

Узагальнена матриця Картана A називається симетризовною якщо існують такі невироджена діагональна матриця D (яку можна обрати так щоб всі її діагональні елементи були додатними) і симетрична матриця S (яку можна обрати так щоб всі її елементи були раціональними числами) такі, що A = DS.

У випадку алгебр Каца — Муді для симетризовних матриць ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ означення можна дати за допомогою множини ${\displaystyle X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}}$ породжуючих елементів і співвідношень

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}}$

${\displaystyle [h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]-h_{i}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{j}]}$   для   ${\displaystyle i\not =j}$

${\displaystyle [e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]}$   для ${\displaystyle i\not =j}$ і ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ входжень елементів ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle [f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]}$   для ${\displaystyle i\not =j}$ і ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ входжень елементів ${\displaystyle f_{i}}$

У випадку симетризовних матриць Картана ці два означення є еквівалентними. Зокрема два останні типи елементів породжуєть максимальний ідеал I. Іноді друге означення також використовується і у загальному випадку.

Три типи алгебр Каца — Муді

Алгебри Каца - Муді поділяються на три типи залежно від властивостей їх узагальнених матриць Картана:

• Алгебра називається алгеброю скінченного типу, якщо її матриця Картана є додатноозначеною.
• Алгебра називається алгеброю афінного типу, якщо її матриця Картана є напівдодатноозначеною корангу 1, тобто її визначник дорівнює 0 але всі власні головні мінори не є нульовими.
• Алгебра називається алгеброю невизначеного типу, якщо її узагальнена матриця Картана не задовольняє вказані властивості.

Можна надати еквівалентні характеристики:

• ${\displaystyle A}$ є матрицею алгебри скінченного типу, якщо існує ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ для якого ${\displaystyle u>0}$ і ${\displaystyle Au>0}$
• ${\displaystyle A}$ є матрицею алгебри афінного типу, якщо існує ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ для якого ${\displaystyle u>0}$ і ${\displaystyle Au=0}$
• ${\displaystyle A}$ є матрицею алгебри невизначеного типу, якщо існує ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ для якого ${\displaystyle u>0}$ і ${\displaystyle Au<0}$

Діаграми Динкіна

Так само, як і в теорії скінченновимірних напівпростих алгебр Лі, для кожної узагальненої ${\displaystyle n\times n}$-матриці Картана ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ можна побудувати узагальнення діаграми Динкіна, згідно таких правил:

• Вершини графу позначаються ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$ і відповідають рядкам і стовпцям матриці.
• Якщо ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}=0}$, то вершини ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ не сполучаються ребрами.
• Якщо ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}=1}$, то вершини ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ сполучаються одним ребром.
• Якщо ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}=2}$, то вершини ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ сполучаються двома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини ${\displaystyle i}$, якщо ${\displaystyle A_{i,j}=-2}$ і ${\displaystyle A_{j,i}=-1}$.
• Якщо ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}=3}$, то вершини ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини ${\displaystyle i}$, якщо ${\displaystyle A_{i,j}=-3}$ і ${\displaystyle A_{j,i}=-1}$.
• Якщо ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}=4}$ і ${\displaystyle |A_{i,j}|\not =|A_{j,i}|}$, то вершини ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини ${\displaystyle i}$, якщо ${\displaystyle A_{i,j}=-4}$ і ${\displaystyle A_{j,i}=-1}$.
• Якщо ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}=4}$ і ${\displaystyle A_{i,j}=A_{j,i}=-2}$, то вершини ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ сполучаються двома ребрами. На них додаються дві стрілки, > і <, як на малюнку.
• Якщо ${\displaystyle A_{i,j}A_{j,i}\geq 5}$, то вершини ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ сполучаються ребром із записом чисел ${\displaystyle |A_{i,j}|}$ і ${\displaystyle |A_{j,i}|}$ на ньому.

Узагальнену матрицю Картана завжди можна відновити за допомогою діаграми Динкіна. Матриця буде нерозкладною тоді і тільки тоді коли відповідних граф буде зв'язним.

Корені і кореневий розклад алгебр Каца — Муді

${\displaystyle {\tilde {H}}}$ є аналогом підалгебри Картана для ${\displaystyle L(A)}$.

Якщо ${\displaystyle x\neq 0}$ є елементом ${\displaystyle L(A)}$ для якого

${\displaystyle \forall h\in {\tilde {H}},[h,x]=\lambda (h)x}$

для деякого ${\displaystyle \lambda \in {\tilde {H}}^{*}\backslash \{0\}}$, то ${\displaystyle x}$ називається кореневим вектором і ${\displaystyle \lambda }$ коренем алгебри ${\displaystyle L(A)}$. (За означенням нульовий функціонал не вважається коренем.) Множина всіх коренів ${\displaystyle L(A)}$ позначається ${\displaystyle \Delta }$ або ${\displaystyle R}$. Для даного кореня ${\displaystyle \lambda }$ one denotes by ${\displaystyle L(A)_{\lambda }}$ позначає кореневий простір кореня ${\displaystyle \lambda }$, тобто

${\displaystyle L(A)_{\lambda }=\{x\in L(A):\forall h\in {\tilde {H}},[h,x]=\lambda (h)x\}}$.

Із системи співвідношень для ${\displaystyle L(A)}$ випливає, що ${\displaystyle e_{i}\in L(A)_{\alpha _{i}}}$ і ${\displaystyle f_{i}\in L(A)_{-\alpha _{i}}}$. Також якщо ${\displaystyle x_{1}\in L(A)_{\lambda _{1}}}$ і ${\displaystyle x_{2}\in L(A)_{\lambda _{2}}}$, то ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$.

Для алгебри Каца — Муді існує кореневий розклад у пряму суму ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ і кореневих просторів, тобто:

${\displaystyle L(A)={\tilde {H}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }L(A)_{\lambda }}$,

і кожен корінь ${\displaystyle \lambda }$ можна записати як суму ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}}$ де всі ${\displaystyle z_{i}}$ є цілими числами із однаковим знаком.

Для фундаментальних коренів ${\displaystyle \alpha _{i}}$ розмірності їх кореневих просторів є рівними 1. Це ж справедливо і для коренів одержаних із фундаментальних дією (узагальненої) групи Вейля (для напівпростих алгебр Лі всі корені задовольняють цю властивість). Для цих коренів (вони називаються дійсними) єдиними коренями на прямій ${\displaystyle \mathbb {R} \lambda }$ є ${\displaystyle \lambda }$ і ${\displaystyle -\lambda .}$ Натомість для інших коренів (вони називаються уявними) усі ${\displaystyle \mathbb {Z} \lambda \setminus 0}$ є коренями.

Для симетризовних узагальнених матриць Картана існує білінійна форма на ${\displaystyle L(A),}$ що є узагальненням форми Кіллінга і її обмеження на ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ є невиродженою формою. Її стандартно можна перенести також на двоїстий простір. Тоді корінь ${\displaystyle \lambda }$ буде дійсним тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle (\lambda ,\lambda )>0}$ в іншому випадку він буде уявним.

• Для алгебр скінченного типу (тобто напівпростих алгебр Лі) усі корені є дійсними.
• Для алгебр афінного типу існує ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ для якого ${\displaystyle u>0}$ і ${\displaystyle Au=0.}$ Ці вектори визначені з точністю до множення на додатний скаляр, зокрема існує єдиний такий вектор ${\displaystyle u=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ елементами якого є цілі взаємно прості числа. Якщо позначити ${\displaystyle \delta =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\alpha _{1}}$ то усі уявні корені ${\displaystyle Au}$ мають вигляд ${\displaystyle k\delta ,k\in \mathbb {Z} \setminus 0.}$

Примітки

1. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), , Kapitel 14.1: Realisations of a square matrix
2. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), , Розділ 14.3: The Kac-Moody algebra L(A)

Див. також

• Вільна алгебра Лі
• Матриця Картана
• Напівпроста алгебра Лі

Література

• Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 
• Kac, Victor G (1990). Infinite-Dimensional Lie Algebras. Cambridge University Press. ISBN .
• Kumar, Shrawan (2002). Kac–Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory. Birkhauser. ISBN .