Інтегра́льна формула Пуассо́на Нехай для гармонічної в кулі функції u(r, φ) поставлена умова рівності на границі функції u0: u(R, φ) = u0(φ), при цьому функції належать наступним класам гладкості: , де ∂D — границя кулі D, а — його замикання. Тоді розв'язок такої задачі Діріхле можна представити через інтеграл Пуассона:
где ωn — площа одиничної сфери, а n — розмірність простору.
Для двовимірного простору
Нехай функція f(z) є голоморфною у деякій області, що містить замкнутий круг радіуса R з центром у початку координат. Нехай K позначає відовідне коло. Для довільної точки , що лежить всередині круга, згідно формули Коші:
- , (1)
Нехай одержується із за допомогою інверсії відносно кола K тобто . Оскільки точка не належить K то функція буде аналітичною всередині і на границі кола К, а тому за теоремою Коші маємо:
- , (2)
Віднімаємо від (1) рівність (2):
- . (3')
Після зведення до спільного знаменника, скорочення і поділу чисельника і знаменника на
Враховуючи тригонометричну тотожність остаточно (3') можна записати як
Порівнюючи дійсні значення у лівій і правій частині рівності, отримаємо формулу:
- , (3)
яка носить назву інтегральної формула Пуассона. Оскільки кожна гармонічна функція U може бути розглянута як дійсна частина аналітичної функції, то за допомогою цієї формули виражається значення будь-якої гармонійної функції усередині кола через її граничні значення.
Зауважимо ще, що ми отримаємо з формули (3) часткові похідні функції U відносно r і (або х і у) для внутрішньої точки кола, якщо продиференціюємо вираз, що стоїть під знаком інтеграла.
Формула (3) Пуассона найпростіший вигляд має при r=0:
тобто значення гармонічної функції у центрі кола дорівнює середньому арифметичному її значень на
межі цього кола.
Джерела
- И.И. Привалов. Введение в теорию функций комплексной переменной. - Москва "Наука", 1984
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Integra lna formula Puasso na Nehaj dlya garmonichnoyi v kuli funkciyi u r f postavlena umova rivnosti na granici funkciyi u0 u R f u0 f pri comu funkciyi nalezhat nastupnim klasam gladkosti u r f C2 D C D u0 f C1 D displaystyle u r varphi in C 2 D cap C overline D u 0 varphi in C 1 partial D de D granicya kuli D a D displaystyle overline D jogo zamikannya Todi rozv yazok takoyi zadachi Dirihle mozhna predstaviti cherez integral Puassona u r f R2 r2wnR Du0 ps r ps ndS ps r 0 R displaystyle u r varphi frac R 2 r 2 omega n R int limits partial D frac u 0 psi r psi n dS psi r in 0 R gde wn plosha odinichnoyi sferi a n rozmirnist prostoru Dlya dvovimirnogo prostoruNehaj funkciya f z ye golomorfnoyu u deyakij oblasti sho mistit zamknutij krug radiusa R z centrom u pochatku koordinat Nehaj K poznachaye vidovidne kolo Dlya dovilnoyi tochki z reif displaystyle z re i varphi sho lezhit vseredini kruga zgidno formuli Koshi f z 12pi Kf w w zdw 12p 02pf Reips ReipsReips reifdps displaystyle f z frac 1 2 pi i int limits K frac f w w z dw frac 1 2 pi int limits 0 2 pi f Re i psi frac Re i psi Re i psi re i varphi d psi 1 Nehaj z displaystyle z oderzhuyetsya iz z displaystyle z za dopomogoyu inversiyi vidnosno kola K tobto z R2z R2reips displaystyle z frac R 2 bar z frac R 2 r e i psi Oskilki tochka z displaystyle z ne nalezhit K to funkciya f w w z displaystyle frac f w w z bude analitichnoyu vseredini i na granici kola K a tomu za teoremoyu Koshi mayemo 0 12pi Kf w w z dw 12p 02pf Reips reipsreips Reifdps displaystyle 0 frac 1 2 pi i int limits K frac f w w z dw frac 1 2 pi int limits 0 2 pi f Re i psi frac re i psi re i psi Re i varphi d psi 2 Vidnimayemo vid 1 rivnist 2 f z 12p 02pf Reips ReipsReips reif reipsreips Reif dps displaystyle f z frac 1 2 pi int limits 0 2 pi f Re i psi left frac Re i psi Re i psi re i varphi frac re i psi re i psi Re i varphi right d psi 3 Pislya zvedennya do spilnogo znamennika skorochennya i podilu chiselnika i znamennika na ei ps f displaystyle e i psi varphi ReipsReips reif reipsreips Reif r2 R2 ei ps f R2 r2 ei ps f Rr e2ips e2if R2 r2R2 r2 Rr ei ps f ei f ps displaystyle frac Re i psi Re i psi re i varphi frac re i psi re i psi Re i varphi frac r 2 R 2 e i psi varphi R 2 r 2 e i psi varphi Rr e 2i psi e 2i varphi frac R 2 r 2 R 2 r 2 Rr e i psi varphi e i varphi psi Vrahovuyuchi trigonometrichnu totozhnist cos 8 ei8 e i82 displaystyle cos theta frac e i theta e i theta 2 ostatochno 3 mozhna zapisati yak f z u vi 12p 02pf Reips R2 r2R2 2Rrcos f ps r2dps displaystyle f z u vi frac 1 2 pi int limits 0 2 pi f Re i psi frac R 2 r 2 R 2 2Rr cos varphi psi r 2 d psi Porivnyuyuchi dijsni znachennya u livij i pravij chastini rivnosti otrimayemo formulu u r f 12p 02pU R ps R2 r2R2 2Rrcos f ps r2dps displaystyle u r varphi frac 1 2 pi int limits 0 2 pi U R psi frac R 2 r 2 R 2 2Rr cos varphi psi r 2 d psi 3 yaka nosit nazvu integralnoyi formula Puassona Oskilki kozhna garmonichna funkciya U mozhe buti rozglyanuta yak dijsna chastina analitichnoyi funkciyi to za dopomogoyu ciyeyi formuli virazhayetsya znachennya bud yakoyi garmonijnoyi funkciyi useredini kola cherez yiyi granichni znachennya Zauvazhimo she sho mi otrimayemo z formuli 3 chastkovi pohidni funkciyi U vidnosno r i ps displaystyle psi abo h i u dlya vnutrishnoyi tochki kola yaksho prodiferenciyuyemo viraz sho stoyit pid znakom integrala Formula 3 Puassona najprostishij viglyad maye pri r 0 U 0 12p 02pU R ps dps displaystyle U 0 frac 1 2 pi int limits 0 2 pi U R psi d psi tobto znachennya garmonichnoyi funkciyi u centri kola dorivnyuye serednomu arifmetichnomu yiyi znachen na mezhi cogo kola DzherelaI I Privalov Vvedenie v teoriyu funkcij kompleksnoj peremennoj Moskva Nauka 1984