Імовірнісна незалежність

У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює імовірність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називають незалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої.

Незалежні події

Вважатимемо, що дано фіксований ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$.

Означення 1. Дві події ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ називають незалежними, якщо

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)}$.

Зауваження 1. В тому випадку, якщо ймовірність однієї події, скажімо ${\displaystyle B}$, ненульова, тобто ${\displaystyle \mathbb {P} (B)>0}$, визначення незалежності еквівалентне:

${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A)}$,

тобто умовна ймовірність події ${\displaystyle ~A}$ за умови ${\displaystyle ~B}$ дорівнює безумовній імовірності події ${\displaystyle ~A}$.

Означення 2. Нехай є сімейство (скінченне або нескінченне) випадкових подій ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}}$, де ${\displaystyle ~I}$ — довільна індексна множина. Тоді ці події є попарно незалежними, якщо будь-які дві події з цього сімейства незалежні, тобто

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j}),\;\forall i\not =j}$.

Означення 3. Нехай є сімейство (скінчене або нескінчене) випадкових подій ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}}$. Тоді ці події сукупно незалежні, якщо для будь-якого кінцевого набору цих подій ${\displaystyle \{A_{i_{k}}\}_{k=1}^{N}}$ вірно:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{n}})=\mathbb {P} (A_{i_{1}})\ldots \mathbb {P} (A_{i_{n}})}$.

Приклад 1. Монета кидається двічі. Ймовірність появи герба в першому випробуванні не залежить від появи чи відсутності герба в другому випробуванні. В свою чергу, ймовірність того, що герб випаде в другому випробуванні не залежить від результатів першого випробування. Отже, події А — «поява герба в першому випробуванні» і В — «поява герба в другому випробуванні» — незалежні.

Приклад 2. В урні 5 білих і 4 чорних кульки. Із неї навмання беруть кульку. Ймовірність появи білої кульки (подія А) дорівнює ${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$. Взяту кульку повертають в урну і продовжують випробування. Ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні (подія В), також дорівнює ${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$. В свою чергу, ймовірність витягти білу кульку при першому випробуванні, не залежить від другого випробування. Отже, події А і В — незалежні.

Приклад 3. Хай кинуто три урівноважені монети. Визначимо події таким чином:

• ${\displaystyle ~A_{1}}$: монети 1 і 2 впали однією і тією ж стороною;
• ${\displaystyle ~A_{2}}$: монети 2 і 3 впали однією і тією ж стороною;
• ${\displaystyle ~A_{3}}$: монети 1 і 3 впали однією і тією ж стороною;

залежні, бо знаючи, наприклад, що події ${\displaystyle ~A_{1},A_{2}}$ сталися, ми знаємо точно, що ${\displaystyle ~A_{3}}$ також сталося.

Те що три і більше події попарно незалежні, не означає, що вони незалежні в сукупності. Дивіться приклад Бернштейна.

Незалежні σ-алгебри

Означення 4. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}$ дві сигма-алгебри на одному і тому ж ймовірнісному просторі. Вони називаються незалежними, якщо будь-які їх представники незалежні між собою, тобто:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2}),\;\forall A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},\,A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}}$.

Якщо замість двох є ціле сімейство (можливо нескінчене) сигма-алгебр, то для нього визначається попарна і спільна незалежність очевидним чином.

Спадкова незалежність

Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо ${\displaystyle \xi }$ та ${\displaystyle \eta }$ - незалежні випадкові величини, а ${\displaystyle f(\cdot ),g(\cdot )}$ - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень ${\displaystyle \xi }$ та ${\displaystyle \eta }$ відповідно, то ${\displaystyle f(\xi )}$ та ${\displaystyle g(\eta )}$ - незалежні випадкові величини.

• Нехай ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,y}}$ - розподіл випадкового вектора ${\displaystyle (X,y)}$, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ - розподіл ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \mathbb {P} ^{Y}}$ - розподіл ${\displaystyle Y}$. Тоді ${\displaystyle X,Y}$ незалежними тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}}$,

де ${\displaystyle \otimes }$ позначає (прямий) добуток мір;

• Нехай ${\displaystyle F_{X,y},F_{x},F_{y}}$ - кумулятивні функції розподілу ${\displaystyle (X,y),X,Y}$ відповідно. Тоді ${\displaystyle X,Y}$ незалежні тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle F_{X,y}(x,y)=F_{x}(x)\cdot F_{y}(y)}$;

• Нехай випадкові величини ${\displaystyle X,Y}$ дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle \mathbb {P} (X=i,Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j)}$.

• Нехай випадкові величини ${\displaystyle X,Y}$ спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$,

де ${\displaystyle f_{X}(x),f_{Y}(y)}$ - щільність випадкових величин ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ відповідно.

Див. також

• Незалежні однаково розподілені випадкові величини

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)

Примітки

1. Сеньо П. С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання, 2007. — С. 291.
2. Patrick Billingsley — Probability and Measure. Second edition. (New York: John Wiley and Sons, 1986). MR 80h:60001.