Цілочисельна ґратка

n-вимірна цілочисельна ґратка (або кубічна ґратка), позначувана Zⁿ, — це ґратка в евклідовому просторі Rⁿ, точки якої є n-кортежами цілих чисел. Двовимірну цілочисельну ґратку називають також квадратною ґраткою. Zⁿ є найпростішим прикладом ґратки коренів. Цілочисельна ґратка є непарною унімодулярною ґраткою.

Група автоморфізмів

Група автоморфізмів (або група конгруенції) цілої ґратки складається з усіх перестановок і зміною знаків координат і має порядок 2ⁿn!. Як матрична група ця група задається множиною всіх n×n . Ця група ізоморфна напівпрямому добутку

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}}$,

де симетрична група S_n діє (Z₂)ⁿ шляхом перестановки (є класичним прикладом ^[en]).

Група квадратної ґратки є групою квадратів або діедральною групою порядку 8. Для тривимірної кубічної ґратки маємо групу кубів, ^[en] порядку 48.

Діофантова геометрія

Докладніше: Діофантова геометрія

Під час вивчення діофантової геометрії квадратну ґратку точок із цілими координатами часто називають діофантовою площиною. В математичних термінах діофантова площина є прямим добутком ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ кільця всіх цілих чисел ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$. Вивчення ^[en] фокусується на виборі вузлів діофантової площини, таких, що всі попарні відстані між точками є цілими.

Груба геометрія

У ^[en] цілочисельна ґратка грубо еквівалентна евклідовому простору.

Див. також

• ^[en]

Примітки

Література

• Olds C.D. [1] — Mathematical Association of America, 2000. — . з джерела 22 листопада 2021