Ознака Діріхле збіжності ряду

Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду, названа на честь німецького математика Діріхле.

Твердження і доведення

Нехай виконуються такі умови:

• Послідовність ${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ обмежена, тобто ${\displaystyle \exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$.

Тоді ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ є збіжним.

Доведення

Із збіжності ${\displaystyle a_{n}}$ до нуля маємо, що для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,}$ що ${\displaystyle a_{n}<\varepsilon }$ виконується для всіх ${\displaystyle n>N}$. Т

Також:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})+a_{n}B_{n}}$

Оскільки ${\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ то також :

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leqslant \sum _{k=1}^{n-1}|B_{k}|(a_{k}-a_{k+1})\leqslant M\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n})}$

Відповідно ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ є абсолютно збіжним і ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ збіжним оскільки його часткові суми відрізняються на ${\displaystyle a_{n}B_{n}}$, що прямує до нуля.

Приклади застосування

• Нехай ${\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ є монотонною послідовністю і ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$. Якщо взяти ${\displaystyle b_{i}=(-1)^{i-1}}$ то із ознаки Діріхле випливає збіжність ряду ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$. Таким чином теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле.
• Якщо ${\displaystyle a_{n}}$ є монотонно спадною і ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$. Нехай тепер ${\displaystyle b_{j}=\cos jx}$ і ${\displaystyle b_{j}=\sin jx}$ де дійсне число ${\displaystyle x\neq 2\pi m,\,m\in \mathbb {Z} .}$ Згідно елементарних тригонометричних тотожностей:

${\displaystyle 2\sin jx\sin {1 \over 2}x=\cos \left(j-{1 \over 2}\right)x-\cos \left(j+{1 \over 2}\right)x}$

${\displaystyle 2\cos jx\sin {1 \over 2}x=\sin \left(j+{1 \over 2}\right)x-\sin \left(j-{1 \over 2}\right)x}$

Таким чином:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\cos jx={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos {\frac {3}{2}}x+\cos {\frac {3}{2}}x-\cos {\frac {5}{2}}x+\ldots -\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {\cos {\frac {1}{2}}x-\cos \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sin jx={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin {\frac {3}{2}}x-\sin {\frac {3}{2}}x+\sin {\frac {5}{2}}x-\ldots +\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}={\frac {-\sin {\frac {1}{2}}x+\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin {\frac {1}{2}}x}}}$

Із цих формул одержується, що всі суми ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\cos jx}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sin jx}$ за абсолютним значенням є обмеженими числом ${\displaystyle {\frac {1}{\left|\sin {\frac {x}{2}}\right|}}.}$

Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\cos jx}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\sin jx}$ є збіжними.

Конкретними прикладами таких рядів є ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\cos jx}{j}}}$ і ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\sin jx}{j}}.}$ Оскільки комплексне число ${\displaystyle z}$ для якого ${\displaystyle |z|=1}$ можна записати як ${\displaystyle z=\cos x+\sin x\cdot i}$ і ${\displaystyle z^{j}=\cos jx+\sin jx\cdot i}$, то із збіжності цих рядів випливає збіжність комплексного ряду ${\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j}}}$ для ${\displaystyle |z|=1}$ і ${\displaystyle z\neq 1.}$

Ознака Діріхле для невласного інтегралу

Нехай виконуються умови:

• ${\displaystyle f(x)\in C[a,\;+\infty ]}$ і має на ${\displaystyle [a,\;+\infty ]}$ обмежену первісну ${\displaystyle F(x)}$, тобто ${\displaystyle \exists M>0:\quad |F(x)|\leqslant M\quad \forall x>a}$;
• функція ${\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad \forall x>a}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g(x)=0}$.

Тоді ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx}$ існує.

• Очевидно, також можна було визначити такі умови ${\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad \forall x>a}$.
• Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.

${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .}$

Проте ця умова не є необхідною:

${\displaystyle \int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx}$ — збігається.

Див. також

• Ознака Абеля
• Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)