Многочлен Ергарта

Многочленом Ергарта для заданого багатогранника в багатовимірному просторі називається многочлен, значення якого в будь-якій цілій точці ${\displaystyle t>0}$ збігається з кількістю цілих точок простору (взагалі кажучи, точок будь-якої ґратки), що містяться всередині даного багатогранника, збільшеного в ${\displaystyle t}$ разів.

Обсяг самого багатогранника (з коефіцієнтом гомотетії ${\displaystyle k=1}$) дорівнює старшому коефіцієнту многочлена Ергарта, що можна розглядати як варіант багатовимірного узагальнення теореми Піка.

Названі на честь ^[en], який вивчав їх у 1960-х роках.

Визначення

Нехай ${\displaystyle P}$ — багатогранник з цілими вершинами, і ${\displaystyle t\cdot P}$ — його гомотетія з цілим коефіцієнтом ${\displaystyle t}$. Позначимо через ${\displaystyle L_{P}(t)}$ кількість цілих точок ${\displaystyle t\cdot P}$. Можна довести, що число ${\displaystyle L_{P}(t)}$ виражається як многочлен від ${\displaystyle t}$; цей многочлен називають многочленом Ергарта.

Приклади

• ${\displaystyle L_{Q}(t)=(t+1)^{d}}$ для одиничного цілого ${\displaystyle d}$-вимірного куба ${\displaystyle Q}$.

Властивості

• (Взаємність Ергарта — Макдональда) Число внутрішніх цілих точок в ${\displaystyle t\cdot P}$ дорівнює

  ${\displaystyle (-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),}$

де d — розмірність P.

• Будь-яка валюація на цілих багатогранниках, інваріантна відносно цілих зсувів і ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )}$, виражається як лінійна комбінація коефіцієнтів многочлена Ергарта.

• Для будь-якого ${\displaystyle d}$-вимірного багатогранника ${\displaystyle P}$, три коефіцієнти многочлена Ергарта мають просту інтерпретацію:
  • вільний член многочлена Ергарта дорівнює 1;
  • головний коефіцієнт при ${\displaystyle t^{d}}$ дорівнює об'єму багатогранника;
  • коефіцієнт при ${\displaystyle t^{d-1}}$ дорівнює половині суми відношень площ граней до визначника ґратки, одержуваної перетином цілочилових точок із продовженням грані.
• Зокрема, при ${\displaystyle d=2}$ многочлен Ергарта багатокутника дорівнює

  ${\displaystyle S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,}$

де ${\displaystyle S}$ — площа багатокутника, а ${\displaystyle \Gamma }$ — кількість цілочислових точок на його кордоні. Підставивши ${\displaystyle t=1}$, отримаємо формулу Піка.

Примітки

1. Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202—208.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Ehrhart Polynomial(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел. — Сборник . Третья серия. — 2017. — Вип. 21. — С. 104—118.