Теорема про рівні вписані кола

Теорема про рівні вписані кола бере початок у японських сангаку і стосується такої побудови: серія променів проводиться з якоїсь точки до перетину з заданою прямою так, що кола, вписані в трикутники, утворені суміжними променями і прямою, однакові. На ілюстрації однакові сині кола визначають кути між променями, як описано вище.

Якщо сині кола рівні, то зелені кола також рівні.

Формулювання теореми

Теорема стверджує, що за описаної вище побудови кола, вписані в трикутники, утворені променями через один (тобто отримані об'єднанням двох сусідніх трикутників), через два і т. д., також рівні. Випадок сусідніх трикутників показано на малюнку зеленими колами: всі вони однакові.

З факту, що твердження теореми не залежить від кута між початковим променем і заданою прямою, можна зробити висновок, що теорема скоріше належить до математичного аналізу, а не геометрії, і повинна мати стосунок до неперервної масштабної функції, яка визначає відстань між променями. Фактично цією функцією є гіперболічний синус.

Лема

Теорема є прямим наслідком такої леми.

Припустимо, що n-й промінь утворює з нормаллю до базової прямої кут ${\displaystyle \gamma _{n}}$. Якщо ${\displaystyle \gamma _{n}}$ параметризовано відповідно до рівності ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n}}$, то значення ${\displaystyle \theta _{n}=a+nb}$, де ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — дійсні сталі, визначають послідовність променів, які задовольняють умовам вписаних кіл (див. вище), і щобільше, будь-яку послідовність променів, що задовольняють цим умовам, можна отримати належним вибором параметрів ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$.

Доведення леми

На малюнку суміжні промені PS і PT утворюютьють з прямою PR, перпендикулярною до базової прямої RT, кути ${\displaystyle \gamma _{n}}$ і ${\displaystyle \gamma _{n+1}}$.

Проведемо через центр O вписаного в трикутник ${\displaystyle \triangle }$ PST кола пряму QY, паралельну до базової прямої. Це коло дотикається до променів у точках W і Z. відрізок PQ має довжину ${\displaystyle h-r}$, а відрізок QR має довжину ${\displaystyle r}$, що дорівнює радіусу вписаного кола.

Тоді ${\displaystyle \triangle }$ OWX подібний ${\displaystyle \triangle }$ PQX, ${\displaystyle \triangle }$ OZY подібний ${\displaystyle \triangle }$ PQY, а з XY = XO + OY ми отримуємо

${\displaystyle (h-r)(\mathrm {tg} \,\gamma _{n+1}-\mathrm {tg} \,\gamma _{n})=r(\sec \gamma _{n}+\sec \gamma _{n+1}).}$

Це відношення на множині кутів ${\displaystyle \{\gamma _{m}\}}$ виражає умову рівності вписаних кіл.

Для доведення леми покладемо ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)}$. Цей вираз можна перетворити на ${\displaystyle \sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)}$.

Використовуючи рівність ${\displaystyle a+(n+1)b=(a+nb)+b}$, застосовуємо додаткові правила для ${\displaystyle \mathrm {sh} \,}$ і ${\displaystyle \mathrm {ch} \,}$ і перевіряємо, що відношення рівності кіл задовольняється виразом

${\displaystyle {\frac {r}{h-r}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {b}{2}}.}$

Ми отримали вираз для параметра ${\displaystyle b}$ в термінах геометричних величин ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle r}$. Далі, визначаючи ${\displaystyle b}$, отримуємо вираз для радіусів ${\displaystyle r_{N}}$ вписаних кіл, утворених вибором кожного N-го променя стороною трикутника:

${\displaystyle {\frac {r_{N}}{h-r_{N}}}=\mathrm {th} \,{\tfrac {Nb}{2}}.}$

Див. також

• Японська теорема про вписані в коло многокутники
• Японська теорема про вписаний чотирикутник

Література

• Tabov J. A note on the five-circle theorem [ 2 травня 2021 у Wayback Machine.] // Mathematics Magazine. — 1989. — Т. 63. — № 2. — С. 92-94.