Норма ідеалу

У комутативній алгебрі, нормою ідеалу називається узагальнення норми елемента у скінченному розширенні поля. Дане поняття є дуже важливим зокрема у теорії чисел оскільки він визначає розмір ідеалів складних кілець чисел за допомогою ідеалів менш складних кілець. У випадку коли цим менш складним кільцем є кільце цілих чисел Z, норма ненульового ідеалу I числового кільця R є рівною кількості елементів скінченного факторкільця R/I.

Відносна норма

Нехай A — кільце Дедекінда з полем часток K і B — ціле замикання в скінченному сепарабельному розширенні L поля K (у цьому випадку B також є кільцем Дедекінда). Нехай ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}$ — групи ненульових дробових ідеалів кілець A і B, відповідно. Тоді відображенням норми за означенням є єдиний гомоморфізм груп

${\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}$,

що задовольняє

${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}$

для всіх ненульових простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ у B, де ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}$. Оскільки A і B є кільцями Дедекінда то всі їх прості ідеали є максимальними і тому ${\displaystyle B/{\mathfrak {q}}}$ і ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$ є полями і перше є скінченним розширенням другого.

Еквівалентно, для будь-якого ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}$ норма ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}$ є дробовим ідеалом у A породженим множиною ${\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}$ норм елементів із ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.

Для ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}$ з означень випливає, що ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}$, де ${\displaystyle n=[L:K]}$. Норма головного ідеалу є рівною нормі відповідного елемента: ${\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}$

Нехай ${\displaystyle L/K}$ — розширення Галуа числового поля з кільцем цілих чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$. Тоді з попереднього для ${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}$, і для будь-якого ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}$ отримуємо

${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})={\mathcal {O}}_{K}\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}$

що є елементом ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}$. Позначення ${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}$ іноді спрощується до ${\displaystyle N_{L/K}}$.

У випадку ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, доцільно обмежитися додатними раціональними числами як множиною значень для ${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,}$ оскільки ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ має тривіальні групу класів ідеалів і групу оборотних елементів ${\displaystyle \{\pm 1\}}$, тож кожен ненульовий дробовий ідеал ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ породжений єдиним додатним раціональним числом.

Абсолютна норма

Нехай ${\displaystyle L}$ — числове поле з кільцем цілих чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ — ненульовий ідеал у ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$. Абсолютна норма ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ є рівною

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}$

Норма нульового ідеалу вважається рівною нулю.

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}$ є головним ідеалом, то ${\displaystyle N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|}$.

Норма є цілком мультиплікативною: якщо ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ є ідеалами у ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$, то ${\displaystyle N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})}$. Тому абсолютна норма у єдиний спосіб продовжується до гомоморфізму

${\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },}$

заданого для всіх ненульових дробових ідеалів кільця ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$.

Норма ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ задає верхню межу для норми деякого ненульового елемента ідеалу: завжди існує ненульовий ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$ для якого

${\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|D_{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}$

де ${\displaystyle D_{L}}$ - дискримінант числового поля ${\displaystyle L}$ і ${\displaystyle s}$ є кількістю пар вкладень L у ${\displaystyle \mathbb {C} }$, що не є дійсними.

Див. також

• Дискримінант (теорія полів)
• Норма (теорія полів)
• Диферентний ідеал
• Норма (теорія груп)

Література

• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic number fields, Graduate Studies in Mathematics, т. 7 (вид. second), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN , MR 1362545
• Marcus, Daniel A. (1977), Number fields, Universitext, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0457396
• Neukirch, Jurgen (1999), Algebraic number theory, Berlin: Springer-Verlag, ISBN , MR 1697859
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, т. 67, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0554237