В теорії категорій нульовий морфізм — морфізм, що узагальнює властивості лінійних відображень в нульовий вектор.
Означення
Нехай C — категорія, і f : X → Y — морфізм в C. F називається постійним морфізмом, якщо для будь-якого об'єкта W в C і будь-яких g, h : W → X, fg = fh. Відповідно, f називається копостійним морфізмом, якщо для будь-якого об'єкта Z і будь-яких g, h ∈ MorC(Y, Z), gf = hf.
Нульовий морфізм — морфізм, що є одночасно постійним і копостійним.
Категорія з нульовими морфізмами — категорія, в якій для будь-яких двох об'єктів A і B зафіксований морфізм 0AB : A → B, такий що для будь-яких об'єктів X, Y, Z в C і будь-яких морфізмів f : Y → Z, g : X → Y діаграма нижче є комутативною:
Тоді морфізм 0XY обов'язково є нульовими. Якщо C — категорія з нульовими морфізмами, то 0XY визначені однозначно.
Приклади
- У (або модулів) нульовий морфізм — це гомоморфізм f : G → H, що відображає всі елементи G в нейтральний елемент H. Нульовим об'єктом в категорії груп є тривіальна група 1 = {1}. Кожен нульовий морфізм розкладається через 1, тобто f : G → 1 → H.
- Більш загально, нехай C — категорія з нульовим об'єктом 0. Тоді для будь-яких двох об'єктів X і Y існує єдина послідовність морфізмів
- 0XY : X → 0 → Y
- сім'я таких морфізмів задає на C структуру категорії з нульовими морфізмами.
- Якщо C — , то кожна множина морфізмів Mor ( X, Y) є абелевою групою і має нульовий елемент. Ці нульові елементи утворюють сім'ю нульових морфізмів, і C є категорією з нульовими морфізмами.
- Категорія множин не має нульового об'єкта, але має початковий об'єкт, порожня множина ∅. Єдиними копостійними функціями у Set є функції виду ∅ → X.
Література
- Pareigis, Bodo (1970). Categories and functors. Pure and applied mathematics. Т. 39. Academic Press. ISBN .
- Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1973). Category Theory. Allen and Bacon, Inc. Boston.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi kategorij nulovij morfizm morfizm sho uzagalnyuye vlastivosti linijnih vidobrazhen v nulovij vektor OznachennyaNehaj C kategoriya i f X Y morfizm v C F nazivayetsya postijnim morfizmom yaksho dlya bud yakogo ob yekta W v C i bud yakih g h W X fg fh Vidpovidno f nazivayetsya kopostijnim morfizmom yaksho dlya bud yakogo ob yekta Z i bud yakih g h MorC Y Z gf hf Nulovij morfizm morfizm sho ye odnochasno postijnim i kopostijnim Kategoriya z nulovimi morfizmami kategoriya v yakij dlya bud yakih dvoh ob yektiv A i B zafiksovanij morfizm 0AB A B takij sho dlya bud yakih ob yektiv X Y Z v C i bud yakih morfizmiv f Y Z g X Y diagrama nizhche ye komutativnoyu Todi morfizm 0XY obov yazkovo ye nulovimi Yaksho C kategoriya z nulovimi morfizmami to 0XY viznacheni odnoznachno PrikladiU abo moduliv nulovij morfizm ce gomomorfizm f G H sho vidobrazhaye vsi elementi G v nejtralnij element H Nulovim ob yektom v kategoriyi grup ye trivialna grupa 1 1 Kozhen nulovij morfizm rozkladayetsya cherez 1 tobto f G 1 H Bilsh zagalno nehaj C kategoriya z nulovim ob yektom 0 Todi dlya bud yakih dvoh ob yektiv X i Y isnuye yedina poslidovnist morfizmiv 0XY X 0 Y dd sim ya takih morfizmiv zadaye na C strukturu kategoriyi z nulovimi morfizmami Yaksho C to kozhna mnozhina morfizmiv Mor X Y ye abelevoyu grupoyu i maye nulovij element Ci nulovi elementi utvoryuyut sim yu nulovih morfizmiv i C ye kategoriyeyu z nulovimi morfizmami Kategoriya mnozhin ne maye nulovogo ob yekta ale maye pochatkovij ob yekt porozhnya mnozhina Yedinimi kopostijnimi funkciyami u Set ye funkciyi vidu X LiteraturaPareigis Bodo 1970 Categories and functors Pure and applied mathematics T 39 Academic Press ISBN 978 0 12 545150 5 Herrlich Horst Strecker George E 1973 Category Theory Allen and Bacon Inc Boston