Трилінійні координати точки по відношенню до даного трикутника описуюють відносні відстані від трьох сторін цього трикут

Трилінійні координати точки по відношенню до даного трикутника описуюють відносні відстані від трьох сторін цього трикутника. Трилінійні координати — це частковий випадок .

Приклади

Інцентр має трилінійні координати 1 : 1 : 1; це означає що відстані від інцентру до сторін BC, CA, AB трикутника ABC пропорційні вказаним координатам, які визначаються абсолютними трилінійними координатами (r, r, r), де r — це радіус вписаного кола трикутника ABC. Відзначимо, що в записі x : y : z використовується двокрапка, що відрізняє трилінійні координати від відстаней. Через кому (kx, ky, kz) зазвичай записують абсолютні координати, які можна отримати з x : y : z використовуючи коефіцієнт:

k={\frac {2\sigma }{ax+by+cz}}

де a, b, c — відповідні довжини сторін BC, CA, AB, а σ — площа трикутника ABC. (Розділення комою для трилінійних координат слід уникати тому що запис (x, y, z), який означає абсолютні координати, не дозволяє наприклад такого (x, y, z) = (2x, 2y, 2z), тоді як розділення двокрапкою це дозволяє x : y : z = 2x : 2y : 2z.)

Нехай A, B і C вершини довільного трикутника чи кути при відповідних вершинах. Тоді трилінійні координати для деяких відомих точок такі:

A = 1 : 0 : 0
B = 0 : 1 : 0
C = 0 : 0 : 1
інцентр = 1 : 1 : 1
центроїд = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C
центр описаного кола = cos A : cos B : cos C
ортоцентр = sec A : sec B : sec C
центр кола дев'яти точок = cos(B − C): cos(C − A): cos(A − B)

Центри зовнівписаних кіл

навпроти A = −1 : 1 : 1
навпроти B = 1 : −1 : 1
навпроти C = 1 : 1 : −1

Посилання

Трилінійні координати на сайті MathWorld.(англ.)
Кларк Кімберлінґ: Енциклопедія центрів трикутника. Список 3200 точок пов’язаних з трикутником.(англ.)