У диференціальній геометрії, скрут кривої (англ. torsion of a curve) — це кількісна міра відхилення кривої від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.
Для плоскої кривої скрут дорівнює нулю. Коли скрут кривої є мірою відхилення від площини, то кривина кривої є мірою відхилення від прямої.
Визначення
Нехай — довільна точка регулярної кривої , — точка кривої, що близька до . Позначимо через кут між стичними площинами кривої в точках та , а через — довжину дуги кривої. Тоді , якщо він існує, називається абсолютним скрутом кривої в точці і позначається через .
Геометричний зміст абсолютного скруту й знака скруту
Абсолютний скрут кривої в точці дорівнює кутовій швидкості обертання бінормалі кривої навколо точки , тобто де — кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги . Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінця вектора швидкості вектор бінормалі при русі точки по кривій обертається проти (по) годинникової стрілки.
Нехай — регулярна крива класу . Тоді в кожній точці кривої, в якій кривина , визначений абсолютний скрут . Якщо — натуральна параметризація кривої, то
,
де — вектор-функція одиничних бінормалей кривої .
Доведення. Розглянемо властивості вектора :
- , бо — одиничний вектор, отже , ;
- (оскільки , з першої формули Френе: і ); Тут познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори, — кривину кривої у відповідній точці.
- (третя формула Френе).
- Таким чином, .
- Знайдемо тепер , , або .
Враховуючи властивість 2 та першу формулу Френе і розглядаючи кривину як функцію , маємо:
- .
- Отже,
Скрут кривої в довільній параметризації
Нехай — регулярна параметризація кривої , . Тоді, — абсолютний скрут в довільній параметризації. Для скрут кривої обчислюється за формулою:
- .
Зауваження
Якщо скрут кривої дорівнює нулю , то крива плоска.
Приклад
Обчислимо скрут гвинтової лінії: . Оскільки
то
Тоді
Примітки
Література
- Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — . Архівовано з джерела 23 січня 2022
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cej termin maye takozh inshi znachennya Dokladnishe u statti Skrut U diferencialnij geometriyi skrut krivoyi angl torsion of a curve ce kilkisna mira vidhilennya krivoyi vid stichnoyi ploshini Takim chinom skrut vkazuye naskilki kriva vidriznyayetsya vid formi ploskoyi krivoyi Dlya ploskoyi krivoyi skrut dorivnyuye nulyu Koli skrut krivoyi ye miroyu vidhilennya vid ploshini to krivina krivoyi ye miroyu vidhilennya vid pryamoyi ViznachennyaNehaj P displaystyle P dovilna tochka regulyarnoyi krivoyi g displaystyle gamma Q displaystyle Q tochka krivoyi sho blizka do P displaystyle P Poznachimo cherez D a displaystyle Delta alpha kut mizh stichnimi ploshinami krivoyi v tochkah P displaystyle P ta Q displaystyle Q a cherez D s displaystyle Delta s dovzhinu dugi P Q displaystyle PQ krivoyi Todi lim Q P D a D s displaystyle lim Q to P frac Delta alpha Delta s yaksho vin isnuye nazivayetsya absolyutnim skrutom krivoyi g displaystyle gamma v tochci P displaystyle P i poznachayetsya cherez k 2 displaystyle k 2 Geometrichnij zmist absolyutnogo skrutu j znaka skrutuAbsolyutnij skrut krivoyi v tochci P displaystyle P dorivnyuye kutovij shvidkosti obertannya binormali krivoyi navkolo tochki Q displaystyle Q tobto k 2 lim D s 0 D a D s displaystyle k 2 lim Delta s to 0 frac Delta alpha Delta s de D a displaystyle Delta alpha kut povorotu binormali sho vidpovidaye prirostu dovzhini dugi D s displaystyle Delta s Skrut bude dodatnim vid yemnim yaksho pri sposterezhenni z kincya vektora shvidkosti vektor binormali pri rusi tochki po krivij obertayetsya proti po godinnikovoyi strilki Teorema Nehaj g displaystyle gamma regulyarna kriva klasu C 3 displaystyle C 3 Todi v kozhnij tochci krivoyi v yakij krivina k 1 0 displaystyle k 1 neq 0 viznachenij absolyutnij skrut k 2 displaystyle k 2 Yaksho r r s displaystyle bar r bar r s naturalna parametrizaciya krivoyi to k 2 b s r s r s r s k 1 2 displaystyle k 2 bar beta s frac bar r s bar r s bar r s k 1 2 de b s displaystyle bar beta s vektor funkciya odinichnih binormalej krivoyi g displaystyle gamma Dovedennya Rozglyanemo vlastivosti vektora b displaystyle bar beta b b displaystyle bar beta bot bar beta bo b displaystyle bar beta odinichnij vektor otzhe b 2 c o n s t displaystyle bar beta 2 const 2 b b 0 displaystyle 2 bar beta bar beta 0 b t displaystyle bar beta bot bar tau oskilki b t n displaystyle bar beta bar tau bar nu z pershoyi formuli Frene d t d s k 1 n displaystyle frac d bar tau ds k 1 bar nu i d b d s d t d s n t d n d s t n displaystyle frac d bar beta ds frac d bar tau ds bar nu bar tau frac d bar nu ds bar tau bar nu Tut t n displaystyle bar tau bar nu poznadayut vidpovidno odinichni dotichnij i normalnij vektori k 1 displaystyle k 1 krivinu krivoyi u vidpovidnij tochci d b d s k 2 n displaystyle frac d bar beta ds k 2 bar nu tretya formula Frene Takim chinom k 2 d b d s displaystyle k 2 frac d bar beta ds Znajdemo teper d b d s displaystyle frac d bar beta ds b k 2 n displaystyle bar beta k 2 bar nu b n k 2 n 2 displaystyle bar beta cdot bar nu k 2 bar nu 2 abo k 2 b n 2 displaystyle k 2 bar beta cdot nu 2 Vrahovuyuchi vlastivist 2 ta pershu formulu Frene i rozglyadayuchi krivinu k displaystyle k yak funkciyu s displaystyle s mayemo k 2 t n n r 1 k 1 r 1 k 1 r 1 k 1 3 r r k 1 r k 1 r 1 k 1 3 r r k 1 r r r r k 1 r r r k 1 2 displaystyle k 2 bar tau bar nu cdot bar nu bar r frac 1 k 1 bar r cdot frac 1 k 1 bar r frac 1 k 1 3 bar r bar r k 1 bar r k 1 bar r frac 1 k 1 3 bar r bar r k 1 bar r bar r bar r bar r k 1 frac bar r bar r bar r k 1 2 Otzhe k 2 r s r s r s k 1 2 displaystyle k 2 frac bar r s bar r s bar r s k 1 2 Skrut krivoyi v dovilnij parametrizaciyi Nehaj r r t displaystyle bar r bar r t regulyarna parametrizaciya krivoyi g displaystyle gamma r C 3 displaystyle bar r in mathbb C 3 Todi k 2 r t r t r t r t r t 2 displaystyle k 2 frac bar r t bar r t bar r t bar r t bar r t 2 absolyutnij skrut v dovilnij parametrizaciyi Dlya F x y z 0 displaystyle F x y z 0 skrut krivoyi obchislyuyetsya za formuloyu k 2 x y z y z y x z x z z x y x y y z y z 2 x z x z 2 x y x y 2 displaystyle k 2 frac x y z y z y x z x z z x y x y y z y z 2 x z x z 2 x y x y 2 Zauvazhennya Yaksho skrut krivoyi dorivnyuye nulyu k 2 0 displaystyle k 2 0 to kriva ploska PrikladObchislimo skrut gvintovoyi liniyi x t a cos t y t a sin t z t b t displaystyle begin cases x t a cdot cos t y t a cdot sin t z t b cdot t end cases Oskilki r t a sin t a cos t b displaystyle bar r t a cdot sin t a cdot cos t b r t a cos t a sin t 0 displaystyle bar r t a cdot cos t a cdot sin t 0 r t a sin t a cos t 0 displaystyle bar r t a cdot sin t a cdot cos t 0 to lt r r gt a 2 b 2 displaystyle lt bar r bar r gt a 2 b 2 lt r r gt a 2 displaystyle lt bar r bar r gt a 2 lt r r gt 0 displaystyle lt bar r bar r gt 0 r r 2 r 2 r 2 lt r r gt 2 a 2 b 2 a 2 displaystyle bar r bar r 2 bar r 2 bar r 2 lt bar r bar r gt 2 a 2 b 2 a 2 r r r b a 2 displaystyle bar r bar r bar r ba 2 Todi k 2 b a 2 b 2 displaystyle k 2 frac b a 2 b 2 PrimitkiBorisenko ta 36 LiteraturaBorisenko O A Diferencialna geometriya i topologiya Navch posibnik dlya stud Harkiv Osnova 1995 S 41 46 ISBN 5 7768 0388 8 Arhivovano z dzherela 23 sichnya 2022 Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr