Характер Діріхле

Характер (або числовий характер, або характер Діріхле) по модулю ${\displaystyle k}$ (де ${\displaystyle k\geqslant 1}$ — ціле число) — комплекснозначна періодична функція ${\displaystyle \chi (n)}$ на множині цілих чисел. Характери Діріхле мають важливі застосування у теорії чисел зокрема при означенні L-функції Діріхле ${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$.

Означення

Аксіоматичне означення

Характером Діріхле по модулю ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ називається функція ${\displaystyle \chi }$ із множини цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ у множину комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, що задовольняє умови:

• ${\displaystyle \chi (n)\not \equiv 0}$.
• ${\displaystyle \chi (nm)=\chi (n)\chi (m)}$ для будь-яких ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ (мультиплікативність).
• Існує натуральне число, таке що ${\displaystyle \chi (n+k)=\chi (n)}$ для будь-якого ${\displaystyle n}$ (періодичність).

Якщо деяка функція цілочислового аргументу є періодичною із періодом ${\displaystyle k}$ то вона є також періодичною із періодом ${\displaystyle -k}$. Відповідно існує найменше додатне число, що є періодом функції. Воно називається основним модулем характеру Діріхле. Всі періоди розклад яких на прості множники містить, ті ж прості числа, що містяться у основному періоді називаються модулями характеру Діріхле (і тоді функція є характером Діріхле по цьому модулю).

За допомогою класів лишків

Нехай ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}}$ — множина оборотних елементів кільця лишків ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )}$ за модулем ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Елементами є класи лишків ${\displaystyle {\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n\mod k\}}$ де числа ${\displaystyle n}$ є взаємно простими з ${\displaystyle k}$. ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}}$ є комутативною групою порядок якої дорівнює значенню функції Ейлера ${\displaystyle \varphi (k)}$. Характером Діріхле називається гомоморфізм груп:

${\displaystyle \chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$.

Еквівалентність означень

Для гомоморфізму груп ${\displaystyle \chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$ можна ввести функцію ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$, як

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ({\hat {n}})&n\in {\hat {n}},\ {\hat {n}}\in (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\\0&(n,k)>1\end{cases}}}$

Тоді ${\displaystyle \chi (1)=1}$, тобто функція не є рівною нулю для всіх значень. Також функція є періодичною оскільки згідно означення вона приймає однакові значення на всіх елементах будь-якого класу лишків. З властивостей гомоморфізмів груп і класів лишків також випливає мультиплікативність функції. Тобто кожен характер Діріхле у другому означенні породжує характер Діріхле у першому означенні.

Навпаки, якщо ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$ — характер Діріхле згідно першого означення і ${\displaystyle k}$ — його основний модуль то згідно періодичності він визначає відображення на класах лишків за модулем ${\displaystyle k}$. Також якщо ${\displaystyle \chi (n)\neq 0}$ для деякого ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ то ${\displaystyle \chi (n)=\chi (n\cdot 1)=\chi (n)\cdot \chi (1)}$ і тому ${\displaystyle \chi (1)=1}$. Із мультиплікативності випливає, що індукована функція на класах лишків за модулем ${\displaystyle k}$ є теж мультиплікативною.

Для того щоб довести, що кожен характер Діріхле у першому означенні породжується характером Діріхле у другому означенні достатньо довести, що ${\displaystyle \chi (n,k)\neq 0}$ якщо ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle k}$ є взаємно простими числами і ${\displaystyle \chi (n,k)=0}$ якщо ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle k}$ не є взаємно простими.

Нехай ${\displaystyle (n,k)=1}$. Тоді існують такі два цілих числа ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle x}$, що ${\displaystyle nx-ky=1}$. Отже, враховуючи періодичність ${\displaystyle \chi (nx)=\chi (n)\chi (x)=1}$ і тому ${\displaystyle \chi (n)\neq 0}$.

Нехай тепер ${\displaystyle (n,k)=d>1}$ і ${\displaystyle n=n'd,\ k=k'd}$. Оскільки ${\displaystyle k'<k}$, то існує таке ціле число ${\displaystyle a}$, що ${\displaystyle \chi (a+k')-\chi (a)\neq 0}$, бо в іншому випадку ${\displaystyle k'}$ було б періодом ${\displaystyle \chi (n,k)}$. Але

${\displaystyle \chi (d)(\chi (a+k')-\chi (a))=\chi (ad+k)-\chi (ad)=0}$

Тому ${\displaystyle \chi (d)=0}$ і з мультиплікативності ${\displaystyle \chi (n)=\chi (n')\chi (d)=0}$.

Властивості

• Як було показано при доведенні еквівалентності означень ${\displaystyle \chi (1)=1}$ і ${\displaystyle \chi (n,k)=0}$ якщо ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle k}$ не є взаємно простими, де ${\displaystyle k}$ — основний модуль. Якщо ж ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle k}$ є взаємно простими, то згідно теореми Ейлера ${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$, де ${\displaystyle \varphi }$ — функція Ейлера і тому також ${\displaystyle \chi (a)^{\varphi (n)}=1}$, тобто ненульові значення характера Діріхле модуля ${\displaystyle k}$ є коренями з одиниці степеня ${\displaystyle \varphi (k)}$.
• Нехай ${\displaystyle \chi _{1}(n),\ldots ,\chi _{m}(n)}$ — характери Діріхле з основними модулями ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ відповідно. Тоді добуток ${\displaystyle \chi _{1}(n)\cdot \ldots \cdot \chi _{m}(n)}$ є характером Діріхле основний модуль якого є дільником найменшого спільного кратного чисел ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$.
• Нехай ${\displaystyle \chi (n)}$ — характер Діріхле з основним модулем ${\displaystyle k=k_{1}\cdot \ldots \cdot k_{m}}$, де всі числа ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ — попарно взаємно прості. Тоді існує єдина система характерів ${\displaystyle \chi _{1}(n),\ldots ,\chi _{m}(n)}$ основні модулі яких рівні ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ і також ${\displaystyle \chi (n)=\chi _{1}(n)\cdot \ldots \cdot \chi _{m}(n)}$.
• Існує ${\displaystyle \varphi (k)}$ різних характерів по модулю ${\displaystyle k}$. Вони утворюють групу порядку ${\displaystyle \varphi (k)}$, ізоморфну мультиплікативній підгрупі ${\displaystyle \mathbb {Z} _{k}^{*}}$ оборотних елементів кільця лишків за модулем ${\displaystyle k}$.

Приклади

• Функція ${\displaystyle \chi (n)\equiv 1}$ є характером, що називається тривіальним характером.
• Характер, ${\displaystyle \chi _{0}(n)={\begin{cases}1&(n,k)=1\\0&(n,k)>1\end{cases}}}$, називається головним характером по модулю ${\displaystyle k}$. В групі характерів по модулю ${\displaystyle k}$ він є одиничним елементом.
• Нехай ${\displaystyle k>1}$ — непарне натуральне число. Введемо функцію:

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\left({\frac {n}{k}}\right)&(n,k)=1\\0&(n,k)>1\end{cases}}}$,

де ${\displaystyle \left({\frac {n}{k}}\right)}$ — символ Якобі. Ця функція буде характером Діріхле за модулем ${\displaystyle k}$.

• Нехай ${\displaystyle p}$ — непарне просте число, ${\displaystyle a\geqslant 1}$ — натуральне число, ${\displaystyle g}$ — первісний корінь по модулю ${\displaystyle p^{a}}$ і якщо ${\displaystyle p\not \mid n}$ то ${\displaystyle v=\operatorname {ind} _{g}n}$, тобто найменше натуральне число для якого ${\displaystyle g^{v}=1\mod p^{a}}$. Нарешті, нехай число ${\displaystyle \rho }$ — будь-який корінь рівняння ${\displaystyle \rho ^{h}=1}$, де ${\displaystyle h=\varphi (p^{a})}$. Визначимо функцію ${\displaystyle \chi (n)}$ умовами:

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\rho ^{v}&(n,p)=1,\ \\0&(n,p)>1\end{cases}}}$

Ця функція є характером по модулю ${\displaystyle p^{a'}}$, де ${\displaystyle a'\leqslant a}$.

• Нехай ${\displaystyle k}$ — натуральне число і ${\displaystyle k=2^{a}p_{1}^{a_{1}}\ldots p_{m}^{a_{m}}}$ — його розклад на прості множники. Нехай ${\displaystyle C=C_{0}=1}$, якщо ${\displaystyle a=0}$ або ${\displaystyle a=1}$ і ${\displaystyle C=2,\ C_{0}=2^{a-2}}$, якщо ${\displaystyle a>1}$. Нехай також ${\displaystyle C_{i}=\varphi (p_{i}^{a_{i}}),\;i\in 1,\ldots ,m}$ і ${\displaystyle v_{i}=\operatorname {ind} n,\;i\in 1,\ldots ,m}$ — індекси, як вище (відповідно по модулях ${\displaystyle p_{i}^{a_{i}}}$), а ${\displaystyle v,v_{0}}$ — найменші натуральні числа для яких ${\displaystyle n=(-1)^{v}5^{v_{0}}\mod 2^{a}}$. Якщо — ${\displaystyle \rho ,\rho _{0},\rho _{1},\ldots ,\rho _{m}}$ — корені з одиниці степенів ${\displaystyle C,C_{0},C_{1},\ldots ,C_{m}}$, то функція

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\rho ^{v}\rho _{0}^{v_{0}}\rho _{1}^{v_{1}}\ldots \rho _{m}^{v_{m}}&(n,p)=1,\ \\0&(n,p)>1\end{cases}}}$

є характером Діріхле за модулем ${\displaystyle k}$. Вибираючи різні корені з одиниці одержуються усі ${\displaystyle \varphi (k)}$ характери Діріхле за модулем ${\displaystyle k}$.

Основні співвідношення

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{k}{\chi (n)}=\left\{{\begin{array}{ll}\varphi (k),&\chi =\chi _{0};\\0,&\chi \neq \chi _{0}.\end{array}}\right.}$;

${\displaystyle \sum \limits _{\chi }{\chi (n)}=\left\{{\begin{array}{ll}\varphi (k),&n\equiv 1{\pmod {k}};\\0,&n\not \equiv 1{\pmod {k}}.\end{array}}\right.}$, де сума є за всіма характерами.

Відношення ортогональності:

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (k)}}\sum \limits _{\chi }{\chi (n)}{\chi (l)}=\left\{{\begin{array}{ll}1,&n\equiv l{\pmod {k}};\\0,&n\not \equiv l{\pmod {k}}.\end{array}}\right.}$

Відповідно при інтерпретації характера Діріхле як гомоморфізму груп ${\displaystyle \chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$, характери Діріхле утворюють ортогональну базу усіх характерів групи ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}}$.

Примітивний характер

Нехай ${\displaystyle \chi (n,k)}$ — характер Діріхле за модулем ${\displaystyle k}$. Найменший дільник ${\displaystyle d}$ числа ${\displaystyle k}$ такий, що для всіх цілих чисел ${\displaystyle a,b}$ таких що ${\displaystyle (a,k)=1}$, ${\displaystyle (b,k)=1}$ і ${\displaystyle a\equiv b\mod d}$ виконується ${\displaystyle \chi (a,k)=\chi (b,k)}$ називається провідним модулем або кондуктором характера.

Якщо кондуктор характера Діріхле за модулем ${\displaystyle k}$ є рівним ${\displaystyle k}$, то характер називається примітивним.

Якщо ${\displaystyle \chi (n,k)}$ — непримітивний характер кондуктора ${\displaystyle d}$, то існує примітивний характер ${\displaystyle \chi ^{*}(n,d)}$ з модулем ${\displaystyle d}$, що породжує (індукує) характер ${\displaystyle \chi (n,k)}$, тобто:

${\displaystyle \chi (n,k)={\begin{cases}\chi ^{*}(n,d)&(n,k)=1\\0&(n,k)>1\end{cases}}.}$

Характер ${\displaystyle \chi (n,k)}$ є примітивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа ${\displaystyle d}$, що ділить ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle d<k}$, існує ціле число ${\displaystyle a}$, що задовольняє умови:

${\displaystyle a\equiv 1\mod d,\;\chi (a,k)\neq 1}$.

У термінах гомоморфізмів груп характер ${\displaystyle \chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$ називається примітивним, якщо не існує власного дільника ${\displaystyle d}$ числа ${\displaystyle k}$, характера ${\displaystyle \chi ^{*}:(\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$ і гомоморфізму ${\displaystyle \psi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{*}}$ для яких ${\displaystyle \chi =\chi ^{*}\circ \psi .}$

Див. також

• Сума Гаусса
• L-функція Діріхле

Література

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — Москва: УРСС, 2004.
• Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.