Лема Шура

Лема Шура — твердження, що є одним з основних при побудові теорії представлень груп.

Формулювання леми

Представлення групи ${\displaystyle G}$ автоморфізмами деякого векторного простору ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle \sigma :G\to GL(V)}$ називається незвідним, якщо не існує ніякого інваріантного щодо ${\displaystyle \sigma }$ підпростору за винятком нульового підпростору і самого ${\displaystyle V}$.

Лема Шура: Нехай ${\displaystyle f}$ — лінійне відображення векторних просторів ${\displaystyle f:V_{1}\to V_{2}}$ над деяким полем ${\displaystyle K}$ таке, що існують два незвідні представлення ${\displaystyle \sigma :G\to GL(V_{1})}$ і ${\displaystyle \tau :G\to GL(V_{2})}$, такі, що ${\displaystyle \tau _{g}f=f\sigma _{g}}$ для всіх ${\displaystyle g}$. тоді:

1. Відображення ${\displaystyle f}$ є або ізоморфізмом або нульовим відображенням.
2. Якщо ${\displaystyle V_{1}=V_{2}}$ є скінченновимірними над алгебраїчно замкнутим полем ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle \sigma =\tau }$, то ${\displaystyle f}$ є множенням на певний елемент поля ${\displaystyle f:x\to \lambda x}$.

Також лемою Шура називають твердження з теорії модулів, пов'язане з попереднім: Нехай ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle F}$ модулі над кільцем ${\displaystyle R}$, які є простими (тобто не мають підмодулів, відмінних від нульового і самого себе). Тоді будь-який гомоморфізм ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$ є або нульовим, або ізоморфізмом на ${\displaystyle F}$. Зокрема якщо ${\displaystyle E=F}$ то довільний ненульовий ендоморфізм модуля ${\displaystyle E}$ є автоморфізмом і тому має обернений автоморфізм. Іншими словами кільце ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(E)}$ (кільце ${\displaystyle R}$-лінійних ендоморфізмів модуля ${\displaystyle E}$) є тілом.

Доведення

Доведемо спершу твердження для модулів, а потім на його основі і лему Шура для представлень груп.

Справді, так як ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f}$ і ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$ є підмодулями, то якщо ${\displaystyle f}$ є ненульовим гомоморфізмом, маємо ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,f=0}$, а ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f=F}$, тобто ${\displaystyle f}$ — ізоморфізм на весь модуль ${\displaystyle F}$.

Тепер визначимо групове кільце ${\displaystyle K[G]}$. Елементами цього кільця будуть лінійні комбінації ${\displaystyle k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}}$. Множення визначається ${\displaystyle (k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})}$ і далі по лінійності. Ясно, що ${\displaystyle K[G]}$ кільце. На просторі ${\displaystyle V_{1}}$ визначимо множення елемента з ${\displaystyle K[G]}$ на елемент ${\displaystyle x\in V_{1}}$: ${\displaystyle (k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma _{g_{1}}x+k_{2}\sigma _{g_{2}}x+...+k_{n}\sigma _{g_{n}}x}$. Тим самим ми перетворюємо ${\displaystyle V_{1}}$ в модуль над кільцем ${\displaystyle K[G]}$. Перевірка аксіом модуля тривіальна, тому що ${\displaystyle \sigma }$ є представленням. ${\displaystyle V_{2}}$ аналогічно, замінюючи ${\displaystyle \sigma }$ на ${\displaystyle \tau }$, буде модулем над ${\displaystyle K[G]}$, а рівність ${\displaystyle \tau _{g}f=f\sigma _{g}}$ те, що відображення ${\displaystyle f}$ є гомоморфізмом модулів. Так як ${\displaystyle \sigma }$ і ${\displaystyle \tau }$ є незвідними, а це означає простоту ${\displaystyle V_{1}}$ і ${\displaystyle V_{2}}$ як модулів над ${\displaystyle K[G]}$, то перша частина леми доведена.

Для доведення другої частини використовуємо відоме твердження лінійної алгебри про існування власного вектора ${\displaystyle x\neq 0}$ для скінченновимірного простору над алгебраїчно замкнутим полем, що відповідає власному значенню ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle f(x)=\lambda x}$. Для будь-якого елемента ${\displaystyle g\in G}$ маємо ${\displaystyle \sigma _{g}(f-\lambda \operatorname {id} )=(f-\lambda \operatorname {id} )\sigma _{g}}$, причому для власного вектора ${\displaystyle (f-\lambda \operatorname {id} )(x)=0,}$ отже ${\displaystyle f-\lambda \operatorname {id} }$ по першій частині леми є нульовим гомоморфізмом, отже ${\displaystyle f}$ є множенням на деякий ${\displaystyle \lambda }$.

Див. також

• Представлення групи
• Теорема Джекобсона про щільність

Література

• Пилипів В. М. -Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008.-156с.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, , .
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. .
• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. .