Розширення Галуа

Розширення Галуа — алгебричне розширення ${\displaystyle E/K}$, що є нормальним і сепарабельним, тобто алгебричне розширення, для якого нерухоме поле групи автоморфізмів ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/K)}$ збігається з ${\displaystyle K}$.

Розширення Галуа
Названо на честь	Еварист Галуа
Підтримується Вікіпроєктом

Важливість розширень Галуа полягає в тому, що для них існує група Галуа, й тому виконується основна теорема теорії Галуа.

Пов'язані визначення

Група автоморфізмів факторгрупи ${\displaystyle E/K}$ — це підгрупа групи ${\displaystyle \operatorname {Aut} E}$, яка складається з тих автоморфізмів групи ${\displaystyle E}$, що переводять елементи підмножини ${\displaystyle K}$ в себе. Позначається ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/K)}$.

Для розширення Галуа, група автоморфізмів називається групою Галуа та позначається ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/K)}$ чи ${\displaystyle \operatorname {G} (E/K)}$.

Якщо група ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/K)}$ є абелевою, циклічною тощо, то розширення Галуа називається відповідно абелевим, циклічним тощо.

Властивості

• За цих умов ${\displaystyle E}$ матиме найбільшу кількість автоморфізмів над ${\displaystyle K}$, якщо ${\displaystyle E}$ — скінченне розширення:

${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/K)|=[E:K]}$ кількість автоморфізмів дорівнює степеню розширення.

• ${\displaystyle E}$ — поле розкладу многочлена з коефіцієнтами з ${\displaystyle K}$.

Іноді розглядають групу Галуа для розширення ${\displaystyle E}$, яке є сепарабельним, але необов'язково нормальним. В цьому випадку під групою Галуа ${\displaystyle E/K}$ розуміють групу ${\displaystyle \operatorname {Gal} (M/K)}$, де ${\displaystyle M}$ — нормальне замикання ${\displaystyle K}$, що містить ${\displaystyle E}$ (у скінченному випадку, коли сепарабельне розширення є простим ${\displaystyle E=K(\alpha )}$ для деякого α, що є коренем незвідного многочлена ${\displaystyle f(x)}$ над ${\displaystyle K}$. ${\displaystyle M}$ є полем розкладу цього многочлена).

Див. також

• Абелеве розширення
• Нормальне розширення
• Сепарабельне розширення
• Теорія Галуа

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)