Елементарна алгебра

Елемента́рна а́лгебра (англ. Elementary algebra) — алгебра, що подається у вигляді навчальної дисципліни, орієнтованої на вивчення у загальноосвітній школі. Разом з арифметикою, елементарною геометрією та плоскою тригонометрією належить до елементарної математики, яка вивчається у рамках шкільної програми. Дисципліна розглядає: основні поняття алгебри, основи комбінаторики, алгебраїчні вирази, раціональні та ірраціональні рівняння, системи рівнянь, функції та їх графіки, числові послідовності тощо.

Основні поняття

В алгебрі прийнято записувати математичні вирази (формули) в узагальненому виді, замінюючи конкретні числа на літерні символи, завдяки чому при вирішенні однотипних задач досягається максимальна узагальненість результату. Основним змістом алгебри є правила тотожних перетворень формул, що є необхідними для вирішення рівнянь, аналізу залежностей, оптимізації системи, що розглядається та інших практичних задач.

Крім літер і чисел, у формулах елементарної алгебри використовуються арифметичні операції: (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня) та елементарні функції (логарифм, тригонометричні функції). Дві формули, об'єднані знаком рівності, називаються рівнянням.

Алгебраїчна нотація визначає загальні особливості запису алгебраїчних виразів. Тут є певні правила, домовленості та спеціальна термінологія. Наприклад у виразі ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$ є наступні компоненти:

1 : Показник степеня, 2 : Коефіцієнт, 3 : Доданок, 4 : Оператор, 5. Константа, ${\displaystyle x,y}$ : змінні

Якщо символ операції між двома виразами не вказаний, то мається на увазі операція множення:

${\displaystyle ab=a\cdot b;\;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x;\;\pi (a^{2}+b^{2})=\pi \cdot (a^{2}+b^{2})}$

Приклад формули: площа трикутника ${\displaystyle S}$ так виражається через довжину однієї із сторін ${\displaystyle a}$ і величину висоти ${\displaystyle h}$, опущеної на сторону ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle S={1 \over 2}ah}$

Найпростіший алгебраїчний вираз — це одночлен, що складається з числового множника, помноженого на один або більше літерних символів. Приклади:

${\displaystyle 1{,}2\ x;\;{\sqrt {2}}abc^{2};\;x^{2}w}$

Алгебраїчні суми (тобто суми та/або різниці) одночленів називають многочленами. Вирази, що мають вид частки від ділення одного многочлена на інший, називається алгебраїчним дробом. Дії з алгебраїчними дробами є аналогічними до дій із звичайними дробами — розкладання чисельника й знаменника на множники, приведення декількох дробів до спільного знаменника, скорочення чисельника й знаменника на спільний множник тощо.

Закони елементарної алгебри

Обчислення значення виразу

Порядок виконання операцій вказується дужками. Якщо дужки відсутні, то пріоритетність у порядку зменшення є наступною:

1. Піднесення до степеня.
2. Обчислення функції.
3. Множення та ділення.
4. Додавання та віднімання.

Приклади:

• ${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}$
• ${\displaystyle \sin x^{2}=\sin(x^{2})}$
• ${\displaystyle \sin a+b=(\sin a)+b}$

При обчисленні значення виразу замість літерних символів підставляють їхні числові значення, виходячи з умови конкретної задачі. Множина числових значень, при яких вираз має зміст, називається областю допустимих значень цього виразу. Приклад: для виразу ${\displaystyle ~{\frac {a+b}{a-b}}}$ область допустимих значень — усе пари ${\displaystyle a,b}$, у яких ${\displaystyle a\neq b}$.

Властивості операцій

• Комутативність (властивість перестановки) додавання:

${\displaystyle a+b=b+a.\ }$

• Віднімання є дією, оберненою до додавання.
• Віднімання числа b є рівнозначним додаванню числа протилежного знаку:

${\displaystyle a-b=a+(-b).\ }$

• Комутативність (властивість перестановки) множення:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\ }$

• Ділення є дією, оберненою до множення.
• Ділення на нуль є неможливим.
• Ділення на число b є рівнозначним множенню на число, обернене до b:

${\displaystyle {a \over b}=a\left({1 \over b}\right).}$

• Піднесення до степеня не є комутативним. Тому у нього є дві обернені операції: добування кореня й логарифмування.
  • Приклад: якщо ${\displaystyle 3^{x}=10}$, то ${\displaystyle x=\log _{3}10.}$ Якщо ${\displaystyle x^{2}=10}$, то ${\displaystyle ~x={\sqrt {10}}.}$
• Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує (серед дійсних чисел).
• Асоціативна (сполучна) властивість додавання: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$
• Асоціативна (сполучна) властивість множення: ${\displaystyle (ab)c=a(bc).}$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість множення: ${\displaystyle c(a+b)=ca+cb.}$
• Дистрибутивна (розподільна) властивість для піднесення до степеня: ${\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}.}$
• Додавання показників степеня: ${\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}.}$
• Множення показників степеня: ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}.}$

Властивості рівності

• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle b=c}$, то ${\displaystyle a=c}$ (транзитивність рівності).
• ${\displaystyle a=a}$ (рефлексивність).
• Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle b=a}$ (симетричність).

Інші закони

• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle a+c=b+d.}$ (адитивність рівності)
  • Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle a+c=b+c}$ для будь-якого c
• Якщо ${\displaystyle a=b}$ і ${\displaystyle c=d}$, то ${\displaystyle ac}$ = ${\displaystyle bd.}$ (мультиплікативність рівності)
  • Якщо ${\displaystyle a=b}$, то ${\displaystyle ac=bc}$ для будь-якого c
• Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки).
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle b>c}$, то ${\displaystyle a>c}$ (транзитивність порядку).
• Якщо ${\displaystyle a>b}$, то ${\displaystyle a+c>b+c}$ для будь-якого c.
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle ac>bc.}$
• Якщо ${\displaystyle a>b}$ і ${\displaystyle c<0}$, то ${\displaystyle ac<bc.}$

Деякі алгебраїчні тотожності

Див. також: Біном Ньютона

${\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2};\;(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};\;(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});\;a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$

Розв'язування рівнянь

Докладніше: Рівняння

Рівняння — це рівність виду:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2}\dots )=g(x_{1},x_{2}\dots )}$

 — сукупність дій стосовно рівності, для знаходження таких значень аргументів, при яких ця рівність забезпечується. На можливі значення аргументів можуть бути накладені додаткові умови (цілочисельності, дійсності тощо). Розв'язування рівнянь — одна з головних задач алгебри зокрема і математики взагалі. У ході історичного розвитку науки були розроблені різноманітні методи (алгоритми) розв'язування для великої кількості різновидів цієї задачі.

Див. також

• Алгебра
• Таблиця математичних символів
• Історія математичних позначень

Примітки

1. Туманов С. И., 1970, с. 5.
2. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И., 1976, с. 70..
3. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И., 1976, с. 73..
4. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И., 1976, с. 71..

Джерела

• Завало С. Т. Елементарна математика. Алгебра. — К. : Вища школа, 1971. — 356 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : Астрель, 2001. — 509 с. — .
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 592 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. 1: Арифметика и алгебра // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. — 5-е издание. — М. : Наука, 1976. — 384 с.
• Туманов С. И. Элементарная алгебра: пособие для самообразования. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Просвещение, 1970. — 864 с.