Матрична механіка

Матрична механіка — математичний формалізм квантової механіки, розроблений Вернером Гайзенберґом, Максом Борном та Паскуалем Йорданом у 1925.

Матрична механіка була першою незалежною та послідовною квантовою теорією. Вона розвиває ідеї теорії Бора, зокрема відповідає на питання, як відбуваються квантові стрибки. Основна ідея матричної механіки полягає в тому, що фізичні величини, які характеризують частинку, описуються матрицями, що змінюються в часі. Такий підхід цілком еквівалентний хвильовій механіці Ервіна Шредінгера та є основою для бра-кет нотації Дірака для хвильової функції.

Математичний апарат

В матричні механіці вважається, що фізична система може перебувати в одному із дискретного набору станів n або в суперпозиції цих станів, тож загалом стан квантовомеханічної системи задається вектором стану: скінченною або нескінченною сукупністю комплексних чисел

${\displaystyle \phi =\left({\begin{matrix}c_{1}\\\vdots \\c_{i}\\\vdots \end{matrix}}\right)}$,

а кожній фізичній величині A, які можна спостерігати на експерименті відповідає певна матриця

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{matrix}}\right)}$

Реальним фізичним величинам відповідають самоспряжені матриці, для яких

${\displaystyle a_{nm}=a_{mn}^{*}}$.

Особливе місце посідає матриця енергії H.

Комплексні величини ${\displaystyle c_{n}}$ задають амплітуду ймовірності того, що квантовомеханічна система перебуває в стані n.

Діагональні елементи матриці A відповідають значенням фізичної величини, коли вона перебуває в певному стані, а недіагональні елементи описують ймовірність переходів системи із одного стану в інший.

Рівняння руху

Докладніше: Картина Гейзенберга

Матриця, яка описує фізичну величину, задовольняє рівнянню руху

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}[H,A]}$,

де часткова похідна задає явну залежність фізичної величини від часу, а квадратні дужки означають комутатор матриць A та H. В цій формулі i — уявна одиниця, ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка.

Якщо матриця A відома в початковий момент часу, то, розв'язуючи дане рівняння, можна визначити її в будь-який момент часу.

Еквівалентність матричної механіки та хвильової механіки

Як показав Джон фон Нойман, матрична механіка повністю еквівалентна хвильовій механіці Шредінгера. Еквівалентність випливає з того, що в хвильову функцію ${\displaystyle \psi \,}$ можна розкласти в ряд, використовуючи певний ортонормований базис функцій ${\displaystyle \varphi _{i}}$:

${\displaystyle \psi =\sum _{n}c_{n}\varphi _{n}}$.

Коефіцієнти цього розкладу ${\displaystyle c_{n}\,}$ задаватимуть вектор стану.

Матриця, яка відповідає певній фізичній величині A задається матричними елементами оператора ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle A_{nm}=\int \varphi _{n}^{*}{\hat {A}}\varphi _{m}d\tau }$.

Зважаючи на еквівалентність формулювань, у сучасній квантовій механіці матричний підхід використовується на рівних із описом за допомогою хвильових функцій.

Див. також

• Бра-кет нотація

Література

• Грин Х. Матричная квантовая механика. — М. : Мир, 1968. — 164 с.