Було запропоновано цю статтю на декілька: Доведення (математика) та Математичний доказ. Ця стаття може бути надто велика або логічно незв'язна, але, можливо, це варто додатково . |
Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. (листопад 2015) |
Доведення у математиці — процедура, яка дозволяє встановити істинність гіпотези або будь-якого твердження.
Принципи доведення вивчаються у спеціальній галузі математики — теорії доказів.
Математичний доказ
У математиці доказом називається ланцюжок логічних висновків, який показує, що при якомусь наборі аксіом і правил виводу є правильним деяке твердження. Залежно від контексту, може матися на увазі формальний доказ (побудована за спеціальними правилами послідовність тверджень, записана формальною мовою) або текст природною мовою, за яким за бажанням можна відновити формальний доказ. Доказові твердження в математиці називають теоремами (у математичних текстах зазвичай мається на увазі, що доказ знайдений певною особою; виняток з цього звичаю в основному складають роботи з логіки, в яких досліджується саме поняття доказу); якщо ані твердження, ані його заперечення ще не доведені, то таке твердження називають гіпотезою. Іноді в процесі доведення теореми виділяються докази менш складних допоміжних тверджень, званих лемами.
Формальними доказами займається спеціальна гілка математики — теорія доказів. Самі формальні докази математики майже ніколи не використовують, оскільки для людського сприйняття вони достатньо складні і часто займають багато місця. Звичайний доказ має вид тексту, в якому автор, спираючись на аксіоми і доведені раніше теореми, за допомогою логічних засобів показує істинність деякого твердження. На відміну від інших наук, в математиці недопустимі емпіричні докази: всі твердження доводяться виключно логічними способами. У математиці важливу роль грають математична інтуїція і аналогії між різними об'єктами і теоремами; проте, всі ці засоби використовуються вченими тільки при пошуку доказів, самі докази не можуть ґрунтуватися на таких засобах. Докази, написані на природних мовах, можуть бути не зовсім докладними з розрахунку на те, що підготовлений читач сам зможе відновити деталі. Строгість доказу гарантується тим, що його можна представити у вигляді запису формальною мовою (це і відбувається при комп'ютерній перевірці доказів).
Помилковим доказом називається текст, що містить логічні помилки, тобто такий, за яким не можна відновити формальний доказ. У історії математики були випадки, коли видатні учені публікували невірні «докази», проте зазвичай їхні колеги або вони самі досить швидко знаходили помилки. (Одна з теорем, що найчастіше неправильно доводилася, — Велика теорема Ферма. Досі трапляються люди, що не знають про те, що вона доведена, і пропонують нові невірні «докази»). Помилковим може бути тільки визнання «доказу» на природній або формальній мові. Формальний доказ помилковим не може бути за визначенням.
У математиці існують невирішені проблеми, рішення яких ученим дуже хотілося б знайти. За докази особливо цікавих і важливих тверджень математичні товариства призначають премії.
Формальне доведення
Коли говорять про формальний доказ, перш за все описують формальну модель — набір (або множину) аксіом, записаних за допомогою формальної мови, і правил виводу. Формальним виводом називається скінчена впорядкована множина рядків, написаних формальною мовою, таких, що кожна з них або є аксіомою, або отримана з попередніх рядків застосуванням одного з правил виводу.
Формальним доказом твердження називається формальний вивід, останнім рядком якого є дане твердження.
Твердження, що має формальний доказ, називається теоремою, а множина всіх теорем в даній формальній моделі (що розглядається разом з алфавітом формальної мови, множиною аксіом і правил виводу) називається формальною теорією.
Теорія називається повною, якщо для будь-якого твердження доведено або воно, або його заперечення, і несуперечливою, якщо в ній не існує тверджень, які можна довести разом з їхніми запереченнями. Більшість математичних теорій, як показує перша теорема Геделя про неповноту, є неповними, тобто в них існують твердження, про істинність яких нічого сказати не можна. Найпоширенішим набором аксіом у наш час є аксіоматика Цермело — Френкеля з аксіомою вибору (хоча деякі математики виступають проти використання останньої). Теорія на основі цієї системи аксіом не повна (наприклад, континуум-гіпотеза не може бути ані доведена, ані спростована в ній). Не зважаючи на повсюдне використання цієї теорії в математиці, її несуперечність не може бути доведена методами її самої. Проте, переважна більшість математиків вірять в її несуперечність, вважаючи, що інакше суперечності вже давно були б виявлені.
Методи доказів
Пряме доведення
При прямому доведенні висновок встановлюється через логічну комбінацію аксіом, визначень і раніше доведених теорем. Для прикладу розглянемо доведення, що сума двох парних цілих чисел також є парною:
- кожне з двох парних чисел x та y ми можемо за визначенням записати у вигляді x = 2a та y = 2b, де a і b — деякі цілі числа, бо x та y діляться на 2. Але тоді сума x + y = 2a + 2b = 2(a + b) також ділиться на 2, так що вона є парною за визначенням.
Цей доказ використовує визначення парних цілих чисел, і також дистрибутивний закон додавання.
Індуктивний доказ
Припустимо, що потрібно встановити справедливість нескінченної послідовності тверджень, занумерованих натуральними числами: . Припустимо, що
- Встановлене, що P1 вірно. (Це твердження називається базою індукції.)
- Для будь-якого n доведено, що якщо вірно Pn, то вірно Pn + 1. (Це твердження називається індукційним переходом.)
Тоді всі твердження нашої послідовності вірні.
Метод перестановки
Метод перестановки встановлює істинність твердження «Якщо А, то Б» доведенням еквівалентного твердження «Якщо не Б, то не А».
Доведення від зворотного
Цей метод доведення відомий також як приведення до абсурду (лат. reductio ad absurdum). Доказ твердження A проводиться таким чином: спочатку приймають припущення, що твердження A хибне; доводять, що за такого припущення було б істинне деяке твердження B, яке заздалегідь хибне; отримана суперечність показує, що початкове припущення («твердження A хибне») було хибним, і тому істинне твердження ¬¬A, яке за законом подвійного заперечення рівносильно твердженню A.
Конструктивний доказ
Конструктивний доказ або доведення наданням прикладу — це конструювання конкретного прикладу з властивостями, мета якого — довести, що існують приклади з цими властивостями. Наприклад, Жозеф Ліувілль, для того щоб довести існування трансцендентних чисел, явно сконструював таке число.
Метод витягів
При доведенні методом витягів висновок про істинність твердження досягається розділенням твердження на скінчену кількість випадків і доведенням кожного такого випадку окремо. Кількість таких випадків може бути дуже великою. Наприклад, перший доказ проблеми чотирьох фарб складався з розгляду 1936 випадків. Більшість цих випадків розглядала комп'ютерна програма, а не людина. Сучасніші коротші докази теореми про чотири фарби все одно вимагають розгляду понад 600 випадків.
Ймовірнісний доказ
Ймовірнісним доказом називають метод, коли існування прикладу доводиться засобами теорії ймовірності. Тільки не треба плутати цей метод з аргументом, що теорема «ймовірно» істинна. Такого типу аргументи називаються «правдоподібністю» і не можуть вважатися доказом. Ймовірнісний доказ, поруч із конструктивним методом, є одним з багатьох шляхів доведення теореми існування.
Комбінаторний доказ
Суть комбінаторного доказу полягає у встановлені еквівалентності різних виразів, так що вони представляють той самий об'єкт, але в різний спосіб. Зазвичай, для того щоб показати, що дві інтерпретації дають той самий об'єкт, використовується бієкція.
Неконструктивне доведення
Неконструктивне доведення встановлює, що певний математичний об'єкт повинен існувати (тобто певний X, що задовільняє f(X)), без пояснення, як цей об'єкт може бути встановлений. Часто це робиться зведенням до суперечності твердження, що такого об'єкта не існує. На противагу цьому, конструктивне доведення встановлює існування об'єкта представленням способу визначення об'єкта.
Відомим прикладом неконструктивного доведення є доказ існування двох ірраціональних чисел a і b, таких що ab є числом раціональним.
- Або є раціональним числом і ми маємо приклад (де ),
- або ж показує, що ми маємо та .
Ані доказу, ані заперечення
Існує клас математичних тверджень, для яких не існує ані доказу, ані спростування (тобто доведення зворотного твердження) в рамках аксіоматики Цермело — Френкеля, стандартної основи теорії множин. Як приклад можна навести континуум-гіпотезу. Якщо погодитися з непротиречивістю аксіом Френкеля — Цермело, існування таких прикладів нам гарантує перша теорема неповноти Геделя. Чи можна довести певне твердження чи його спростування — не завжди очевидно і може вимагати надзвичайної техніки для встановлення цього факту.
Елементарний доказ
Елементарним доведенням називають докази, що не потребують складного аналізу.
В деяких випадках теореми, як наприклад теорема про асимптотичний розподіл простих чисел, вимагала застосування «вищої» математики. Але з часом були отримані нові докази з використанням елементарної техніки.
Що і треба було довести
Традиційно завершення доказу позначалося абревіатурою «Q.E.D.», від латинського виразу лат. Quod Erat Demonstrandum, Що і треба було довести.
Зараз для позначення того ж завершення доведення частіше використовується знак □ або ∎, що можна з іронією інтерпретувати як надгробний камінь.
Див. також
Література
- Доведення // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК (87я2). — .
- Правила доведення // ФЕС, с.507
Посилання
- Довід // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (січень 2020) |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Bulo zaproponovano cyu stattyu rozdiliti na dekilka Dovedennya matematika ta Matematichnij dokaz Cya stattya mozhe buti nadto velika abo logichno nezv yazna ale mozhlivo ce varto dodatkovo obgovoriti Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami listopad 2015 Dovedennya u matematici procedura yaka dozvolyaye vstanoviti istinnist gipotezi abo bud yakogo tverdzhennya Principi dovedennya vivchayutsya u specialnij galuzi matematiki teoriyi dokaziv Matematichnij dokazU matematici dokazom nazivayetsya lancyuzhok logichnih visnovkiv yakij pokazuye sho pri yakomus nabori aksiom i pravil vivodu ye pravilnim deyake tverdzhennya Zalezhno vid kontekstu mozhe matisya na uvazi formalnij dokaz pobudovana za specialnimi pravilami poslidovnist tverdzhen zapisana formalnoyu movoyu abo tekst prirodnoyu movoyu za yakim za bazhannyam mozhna vidnoviti formalnij dokaz Dokazovi tverdzhennya v matematici nazivayut teoremami u matematichnih tekstah zazvichaj mayetsya na uvazi sho dokaz znajdenij pevnoyu osoboyu vinyatok z cogo zvichayu v osnovnomu skladayut roboti z logiki v yakih doslidzhuyetsya same ponyattya dokazu yaksho ani tverdzhennya ani jogo zaperechennya she ne dovedeni to take tverdzhennya nazivayut gipotezoyu Inodi v procesi dovedennya teoremi vidilyayutsya dokazi mensh skladnih dopomizhnih tverdzhen zvanih lemami Formalnimi dokazami zajmayetsya specialna gilka matematiki teoriya dokaziv Sami formalni dokazi matematiki majzhe nikoli ne vikoristovuyut oskilki dlya lyudskogo sprijnyattya voni dostatno skladni i chasto zajmayut bagato miscya Zvichajnij dokaz maye vid tekstu v yakomu avtor spirayuchis na aksiomi i dovedeni ranishe teoremi za dopomogoyu logichnih zasobiv pokazuye istinnist deyakogo tverdzhennya Na vidminu vid inshih nauk v matematici nedopustimi empirichni dokazi vsi tverdzhennya dovodyatsya viklyuchno logichnimi sposobami U matematici vazhlivu rol grayut matematichna intuyiciya i analogiyi mizh riznimi ob yektami i teoremami prote vsi ci zasobi vikoristovuyutsya vchenimi tilki pri poshuku dokaziv sami dokazi ne mozhut gruntuvatisya na takih zasobah Dokazi napisani na prirodnih movah mozhut buti ne zovsim dokladnimi z rozrahunku na te sho pidgotovlenij chitach sam zmozhe vidnoviti detali Strogist dokazu garantuyetsya tim sho jogo mozhna predstaviti u viglyadi zapisu formalnoyu movoyu ce i vidbuvayetsya pri komp yuternij perevirci dokaziv Pomilkovim dokazom nazivayetsya tekst sho mistit logichni pomilki tobto takij za yakim ne mozhna vidnoviti formalnij dokaz U istoriyi matematiki buli vipadki koli vidatni ucheni publikuvali nevirni dokazi prote zazvichaj yihni kolegi abo voni sami dosit shvidko znahodili pomilki Odna z teorem sho najchastishe nepravilno dovodilasya Velika teorema Ferma Dosi traplyayutsya lyudi sho ne znayut pro te sho vona dovedena i proponuyut novi nevirni dokazi Pomilkovim mozhe buti tilki viznannya dokazu na prirodnij abo formalnij movi Formalnij dokaz pomilkovim ne mozhe buti za viznachennyam U matematici isnuyut nevirisheni problemi rishennya yakih uchenim duzhe hotilosya b znajti Za dokazi osoblivo cikavih i vazhlivih tverdzhen matematichni tovaristva priznachayut premiyi Formalne dovedennyaKoli govoryat pro formalnij dokaz persh za vse opisuyut formalnu model nabir abo mnozhinu aksiom zapisanih za dopomogoyu formalnoyi movi i pravil vivodu Formalnim vivodom nazivayetsya skinchena vporyadkovana mnozhina ryadkiv napisanih formalnoyu movoyu takih sho kozhna z nih abo ye aksiomoyu abo otrimana z poperednih ryadkiv zastosuvannyam odnogo z pravil vivodu Formalnim dokazom tverdzhennya nazivayetsya formalnij vivid ostannim ryadkom yakogo ye dane tverdzhennya Tverdzhennya sho maye formalnij dokaz nazivayetsya teoremoyu a mnozhina vsih teorem v danij formalnij modeli sho rozglyadayetsya razom z alfavitom formalnoyi movi mnozhinoyu aksiom i pravil vivodu nazivayetsya formalnoyu teoriyeyu Teoriya nazivayetsya povnoyu yaksho dlya bud yakogo tverdzhennya dovedeno abo vono abo jogo zaperechennya i nesuperechlivoyu yaksho v nij ne isnuye tverdzhen yaki mozhna dovesti razom z yihnimi zaperechennyami Bilshist matematichnih teorij yak pokazuye persha teorema Gedelya pro nepovnotu ye nepovnimi tobto v nih isnuyut tverdzhennya pro istinnist yakih nichogo skazati ne mozhna Najposhirenishim naborom aksiom u nash chas ye aksiomatika Cermelo Frenkelya z aksiomoyu viboru hocha deyaki matematiki vistupayut proti vikoristannya ostannoyi Teoriya na osnovi ciyeyi sistemi aksiom ne povna napriklad kontinuum gipoteza ne mozhe buti ani dovedena ani sprostovana v nij Ne zvazhayuchi na povsyudne vikoristannya ciyeyi teoriyi v matematici yiyi nesuperechnist ne mozhe buti dovedena metodami yiyi samoyi Prote perevazhna bilshist matematikiv viryat v yiyi nesuperechnist vvazhayuchi sho inakshe superechnosti vzhe davno buli b viyavleni Metodi dokazivPryame dovedennya Pri pryamomu dovedenni visnovok vstanovlyuyetsya cherez logichnu kombinaciyu aksiom viznachen i ranishe dovedenih teorem Dlya prikladu rozglyanemo dovedennya sho suma dvoh parnih cilih chisel takozh ye parnoyu kozhne z dvoh parnih chisel x ta y mi mozhemo za viznachennyam zapisati u viglyadi x 2a ta y 2b de a i b deyaki cili chisla bo x ta y dilyatsya na 2 Ale todi suma x y 2a 2b 2 a b takozh dilitsya na 2 tak sho vona ye parnoyu za viznachennyam Cej dokaz vikoristovuye viznachennya parnih cilih chisel i takozh distributivnij zakon dodavannya Induktivnij dokaz Dokladnishe Matematichna indukciya Pripustimo sho potribno vstanoviti spravedlivist neskinchennoyi poslidovnosti tverdzhen zanumerovanih naturalnimi chislami P 1 P 2 P n P n 1 displaystyle P 1 P 2 ldots P n P n 1 ldots Pripustimo sho Vstanovlene sho P1 virno Ce tverdzhennya nazivayetsya bazoyu indukciyi Dlya bud yakogo n dovedeno sho yaksho virno Pn to virno Pn 1 Ce tverdzhennya nazivayetsya indukcijnim perehodom Todi vsi tverdzhennya nashoyi poslidovnosti virni Metod perestanovki Metod perestanovki vstanovlyuye istinnist tverdzhennya Yaksho A to B dovedennyam ekvivalentnogo tverdzhennya Yaksho ne B to ne A Dovedennya vid zvorotnogo Dokladnishe Dovedennya vid suprotivnogo Cej metod dovedennya vidomij takozh yak privedennya do absurdu lat reductio ad absurdum Dokaz tverdzhennya A provoditsya takim chinom spochatku prijmayut pripushennya sho tverdzhennya A hibne dovodyat sho za takogo pripushennya bulo b istinne deyake tverdzhennya B yake zazdalegid hibne otrimana superechnist pokazuye sho pochatkove pripushennya tverdzhennya A hibne bulo hibnim i tomu istinne tverdzhennya A yake za zakonom podvijnogo zaperechennya rivnosilno tverdzhennyu A Konstruktivnij dokaz Dokladnishe Konstruktivnij dokaz abo dovedennya nadannyam prikladu ce konstruyuvannya konkretnogo prikladu z vlastivostyami meta yakogo dovesti sho isnuyut prikladi z cimi vlastivostyami Napriklad Zhozef Liuvill dlya togo shob dovesti isnuvannya transcendentnih chisel yavno skonstruyuvav take chislo Metod vityagiv Pri dovedenni metodom vityagiv visnovok pro istinnist tverdzhennya dosyagayetsya rozdilennyam tverdzhennya na skinchenu kilkist vipadkiv i dovedennyam kozhnogo takogo vipadku okremo Kilkist takih vipadkiv mozhe buti duzhe velikoyu Napriklad pershij dokaz problemi chotiroh farb skladavsya z rozglyadu 1936 vipadkiv Bilshist cih vipadkiv rozglyadala komp yuterna programa a ne lyudina Suchasnishi korotshi dokazi teoremi pro chotiri farbi vse odno vimagayut rozglyadu ponad 600 vipadkiv Jmovirnisnij dokaz Jmovirnisnim dokazom nazivayut metod koli isnuvannya prikladu dovoditsya zasobami teoriyi jmovirnosti Tilki ne treba plutati cej metod z argumentom sho teorema jmovirno istinna Takogo tipu argumenti nazivayutsya pravdopodibnistyu i ne mozhut vvazhatisya dokazom Jmovirnisnij dokaz poruch iz konstruktivnim metodom ye odnim z bagatoh shlyahiv dovedennya teoremi isnuvannya Kombinatornij dokaz Sut kombinatornogo dokazu polyagaye u vstanovleni ekvivalentnosti riznih viraziv tak sho voni predstavlyayut toj samij ob yekt ale v riznij sposib Zazvichaj dlya togo shob pokazati sho dvi interpretaciyi dayut toj samij ob yekt vikoristovuyetsya biyekciya Nekonstruktivne dovedennya Dokladnishe Nekonstruktivne dovedennya Nekonstruktivne dovedennya vstanovlyuye sho pevnij matematichnij ob yekt povinen isnuvati tobto pevnij X sho zadovilnyaye f X bez poyasnennya yak cej ob yekt mozhe buti vstanovlenij Chasto ce robitsya zvedennyam do superechnosti tverdzhennya sho takogo ob yekta ne isnuye Na protivagu comu konstruktivne dovedennya vstanovlyuye isnuvannya ob yekta predstavlennyam sposobu viznachennya ob yekta Vidomim prikladom nekonstruktivnogo dovedennya ye dokaz isnuvannya dvoh irracionalnih chisel a i b takih sho ab ye chislom racionalnim Abo 2 2 displaystyle sqrt 2 sqrt 2 ye racionalnim chislom i mi mayemo priklad de a b 2 displaystyle a b sqrt 2 abo zh 2 2 2 2 2 2 displaystyle sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 2 2 pokazuye sho mi mayemo a 2 2 displaystyle a sqrt 2 sqrt 2 ta b 2 displaystyle b sqrt 2 Ani dokazu ani zaperechennya Isnuye klas matematichnih tverdzhen dlya yakih ne isnuye ani dokazu ani sprostuvannya tobto dovedennya zvorotnogo tverdzhennya v ramkah aksiomatiki Cermelo Frenkelya standartnoyi osnovi teoriyi mnozhin Yak priklad mozhna navesti kontinuum gipotezu Yaksho pogoditisya z neprotirechivistyu aksiom Frenkelya Cermelo isnuvannya takih prikladiv nam garantuye persha teorema nepovnoti Gedelya Chi mozhna dovesti pevne tverdzhennya chi jogo sprostuvannya ne zavzhdi ochevidno i mozhe vimagati nadzvichajnoyi tehniki dlya vstanovlennya cogo faktu Elementarnij dokaz Elementarnim dovedennyam nazivayut dokazi sho ne potrebuyut skladnogo analizu V deyakih vipadkah teoremi yak napriklad teorema pro asimptotichnij rozpodil prostih chisel vimagala zastosuvannya vishoyi matematiki Ale z chasom buli otrimani novi dokazi z vikoristannyam elementarnoyi tehniki Sho i treba bulo dovestiTradicijno zavershennya dokazu poznachalosya abreviaturoyu Q E D vid latinskogo virazu lat Quod Erat Demonstrandum Sho i treba bulo dovesti Zaraz dlya poznachennya togo zh zavershennya dovedennya chastishe vikoristovuyetsya znak abo sho mozhna z ironiyeyu interpretuvati yak nadgrobnij kamin Div takozhPortal Matematika Matematichna logika Dokaz Biyektivne dovedennyaLiteraturaDovedennya Filosofskij enciklopedichnij slovnik V I Shinkaruk gol redkol ta in Kiyiv Institut filosofiyi imeni Grigoriya Skovorodi NAN Ukrayini Abris 2002 742 s 1000 ekz BBK 87ya2 ISBN 966 531 128 X Pravila dovedennya FES s 507PosilannyaDovid Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno sichen 2020 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi