Характеристичні функції випадкової величини

Під характеристи́чною фу́нкцією ${\displaystyle \psi (t)}$ випадкової величини ${\displaystyle X}$ розуміють математичне сподівання випадкової величини ${\displaystyle e^{itX}}$:

${\displaystyle \psi (t)=M(e^{itX})\qquad (1)}$,

де ${\displaystyle t}$ — дійсний параметр.

Якщо ${\displaystyle F(x)}$ — функція розподілу ${\displaystyle \!X}$, то

${\displaystyle \psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF(x)}$

У випадку дискретного розподілу

${\displaystyle \psi (t)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}}$

(ряд Фур'є з коефіцієнтами ${\displaystyle p_{k}}$). У випадку неперервного розподілу

${\displaystyle \psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f(x)dx\,\!}$

(перетворення Фур'є)

Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини

• Коли випадкова величина ${\displaystyle X}$ дискретна, тобто ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots }$, то

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}}$.

Приклад. Нехай ${\displaystyle X}$ має розподіл Бернуллі. Тоді

${\displaystyle \phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q}$.

• Коли ${\displaystyle X}$ — це абсолютно неперервна випадкова величина, тобто має щільність ${\displaystyle f_{X}(x)}$, то

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx}$.

Приклад. Нехай ${\displaystyle X\sim U[0,1]}$ має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}}$.

Властивості характеристичних функцій

Для будь-якої характеристичної функції ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle \psi (0)=1\qquad |\psi (t)|\leq 1\qquad (-\infty <t<\infty )}$,

Якщо ${\displaystyle Y=aX+b\;}$ з константами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$, то ${\displaystyle \psi _{Y}(t)=\psi _{X}(at)e^{i\;b\;t}}$ (${\displaystyle \psi _{X}}$ — характеристична функція ${\displaystyle X}$).

Якщо ${\displaystyle X}$ є ${\displaystyle n}$ раз диференційованою по ${\displaystyle t}$, то при ${\displaystyle k\leq n}$

${\displaystyle \psi ^{(k)}(0)=i^{k}MX^{k}.}$

${\displaystyle \psi (t)}$ є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.

Якщо ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ - незалежні випадкові величини, та ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ - деякі константи, тоді

${\displaystyle \psi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}(t)=\psi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdots \psi _{X_{n}}(a_{n}t).}$

Характеристична функція є самоспряженою: ${\displaystyle \psi _{\xi }(-t)=\psi _{-\xi }(t)={\overline {\psi _{\xi }(t)}}}$

Випадкова величина ${\displaystyle \xi }$ є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція ${\displaystyle \psi _{\xi }(t)}$ є дійснозначною.

Формули перетворення і теорема єдиності

Нехай ${\displaystyle F(x)}$ — функція розподілу, а ${\displaystyle \psi (t)}$ — характеристична функція випадкової величиини ${\displaystyle X}$. Якщо ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ — точки неперервності ${\displaystyle F(x)}$, то

${\displaystyle F(x_{2})-F(x_{1})={1 \over {2\pi }}\lim _{c\to \infty }\int _{\infty }^{\infty }{{e^{itx_{1}}-e^{itx_{2}}} \over it}\ \psi (t)dt}$

Якщо ${\displaystyle \!X}$ — неперервна, а ${\displaystyle \!f(x)}$ — густина ${\displaystyle \!F(x)}$, то спрощується

${\displaystyle f(x)={1 \over {2\pi }}\int _{\infty }^{\infty }e^{itx}\psi (t)\;dt}$

Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.

з формули перетворення (рос. обращения) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.

Якщо, наприклад, якимось чином для ${\displaystyle X}$ отримано характеристичну функцію ${\displaystyle e^{iat-{\sigma ^{2}t^{2} \over 2}}}$, то, згідно з теоремою єдиності і ${\displaystyle X\in N(x;a,\sigma )}$

Гранична теорема для характеристичних функцій

Послідовність ${\displaystyle \left\{F(x)\right\}}$ функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу ${\displaystyle F(x)}$, якщо у всіх точках неперервності

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$

У дискретному випадку збіжність в основному ${\displaystyle F_{n}(x)}$ до ${\displaystyle F(x)}$, означає, що відповідні функції збігаються: ${\displaystyle p_{k}^{n}\rightarrow p_{k}}$ для всіх ${\displaystyle k}$.

У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо ${\displaystyle f_{n}(x)}$ неперервні) ${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x)}$ для всіх ${\displaystyle \!x}$.

Якщо послідовність ${\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}}$ функції розподілу збігається в основному до функції розподілу ${\displaystyle {F(x)}}$, то послідовність відповідних характеристичних функцій ${\displaystyle \left\{\psi _{n}(t)\right\}}$ збігається до ${\displaystyle {\psi (t)}}$ — характеристичної функції ${\displaystyle {F(x)}}$. Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.

Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій ${\displaystyle \left\{\psi _{n}(t)\right\}}$ збігається до неперервної функції ${\displaystyle \psi (t)}$, то послідовність відповідних функцій розподілу ${\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}}$ збігається до деякої функції розподілу ${\displaystyle F(x)}$ і ${\displaystyle \psi (t)}$ є характеристичною функцією ${\displaystyle F(x)}$).

Твірні функції

У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення ${\displaystyle 0,\;1,\;\ldots }$ часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.

Нехай ${\displaystyle \!p_{k}}$ є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини ${\displaystyle X}$ вказаного типу, а ${\displaystyle z}$ — комплексний параметр. Тоді

${\displaystyle \phi (t)=\sum _{k}p_{k}\;z^{k}}$

називається твірною функцією випадкової величини ${\displaystyle X}$. Функція ${\displaystyle \phi (z)}$ — аналітична в ${\displaystyle |z|<1}$. Її границя при ${\displaystyle z\rightarrow e^{it}}$ дає характеристичну функцію ${\displaystyle F(x)}$.

Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.

Характеристичні функції багатомірних випадкових величин

Під характеристичною функцією ${\displaystyle n}$-мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини ${\displaystyle \exp \sum _{k}t_{k}X_{k}}$:

${\displaystyle \psi (t_{1},\ldots ,t_{n})=M{\exp {i\sum _{k}^{n}t_{k}X_{k}}}}$,

де ${\displaystyle t_{1},...,}$, ${\displaystyle t_{n}}$ — дійсні параметри.

Див. також

• Твірна функція моментів
• Генератриса (твірна функція)
• Генератриса цілочисельної випадкової величини

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.