Дискретну випадкову величину яка приймає значення з множини будемо називати цілочисельною, а її розподіл будемо визначати ймовірностями , де .
Генератрисою цілочисельної випадкової величини будемо називати функцію
- ,
яка виражається через закон розподілу такою функцією:
- ,
яка очевидно збігається при .
Застосування в теорії ймовірностей
Якщо — додатня цілочисленна випадкова величина, то її математичне сподівання може бути виражене через генератрису як значення першої похідної в одиниці: .
Дійсно,
- .
При підстановці отримаємо величину , яка за визначенням є математичним сподіванням дискретної випадкової величини.
Якщо цей ряд розбігається, то -- а має нескінченне математичне сподівання,
- Тепер візьмемо твірну функцію послідовності «хвостів» розподілу
Ця твірна функція пов'язана з визначеною раніше функцією властивістю: при . З цього з теореми про середнє випливає, що математичне очікування рівне просто значенню цієї функції в одиниці:
- Диференціюючи і використовуючи співвідношення , отримаємо:
Для того, щоб отримати дисперсію , до цього виразу треба додати , що приводить до наступних формул для обчислення дисперсії:
- .
У випадку нескінченної дисперсії .
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Diskretnu vipadkovu velichinu 3 displaystyle xi yaka prijmaye znachennya z mnozhini Z 0 1 displaystyle Z 0 1 ldots budemo nazivati cilochiselnoyu a yiyi rozpodil budemo viznachati jmovirnostyami p n P 3 n n Z displaystyle p n P xi n n in Z de n 0 p n 1 displaystyle sum n 0 infty p n 1 Generatrisoyu cilochiselnoyi vipadkovoyi velichini budemo nazivati funkciyu PS 3 s M s 3 s 1 displaystyle Psi xi s Ms xi s leq 1 yaka virazhayetsya cherez zakon rozpodilu takoyu funkciyeyu PS 3 s n 0 p n s n displaystyle Psi xi s sum n 0 infty p n s n yaka ochevidno zbigayetsya pri s 1 displaystyle s leq 1 Zastosuvannya v teoriyi jmovirnostejYaksho 3 displaystyle xi dodatnya cilochislenna vipadkova velichina to yiyi matematichne spodivannya mozhe buti virazhene cherez generatrisu yak znachennya pershoyi pohidnoyi v odinici M X PS 1 displaystyle M X Psi 1 Dijsno PS s n 1 n p n s n 1 displaystyle Psi s sum n 1 infty np n s n 1 Pri pidstanovci s 1 displaystyle s 1 otrimayemo velichinu PS 1 n 1 n p n displaystyle Psi 1 sum n 1 infty np n yaka za viznachennyam ye matematichnim spodivannyam diskretnoyi vipadkovoyi velichini Yaksho cej ryad rozbigayetsya tolim s 1 P s displaystyle lim s to 1 P s infty a X displaystyle X maye neskinchenne matematichne spodivannya P 1 M X displaystyle P 1 M X infty Teper vizmemo tvirnu funkciyu Q s displaystyle Q s poslidovnosti hvostiv rozpodilu q k displaystyle q k q k P X gt j j k 1 p j Q s k 0 q k s k displaystyle q k mathbb P X gt j sum j k 1 infty p j quad Q s sum k 0 infty q k s k Cya tvirna funkciya pov yazana z viznachenoyu ranishe funkciyeyu P s displaystyle P s vlastivistyu Q s 1 P s 1 s displaystyle Q s frac 1 P s 1 s pri s lt 1 displaystyle s lt 1 Z cogo z teoremi pro serednye viplivaye sho matematichne ochikuvannya rivne prosto znachennyu ciyeyi funkciyi v odinici M X P 1 Q 1 displaystyle M X P 1 Q 1 Diferenciyuyuchi P s k 1 k p k s k 1 displaystyle P s sum k 1 infty kp k s k 1 i vikoristovuyuchi spivvidnoshennya P s Q s 1 s Q s displaystyle P s Q s 1 s Q s otrimayemo M X X 1 k k 1 p k P 1 2 Q 1 displaystyle M X X 1 sum k k 1 p k P 1 2Q 1 Dlya togo shob otrimati dispersiyu D X displaystyle D X do cogo virazu treba dodati M X M 2 X displaystyle M X M 2 X sho privodit do nastupnih formul dlya obchislennya dispersiyi D X P 1 P 1 P 2 1 2 Q 1 Q 1 Q 2 1 displaystyle D X P 1 P 1 P 2 1 2Q 1 Q 1 Q 2 1 U vipadku neskinchennoyi dispersiyi lim s 1 P s displaystyle lim s to 1 P s infty DzherelaKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi