Симетричний многочлен — многочлен від n змінних , що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки
справедлива рівність:
Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри многочленів від n змінних над кільцем R.
Приклади
Для двох змінних x1, x2 прикладами симетричних многочленів є:
для трьох змінних x1, x2, x3 наступний многочлен теж буде симетричним
Наступний многочлен буде симетричний для довільного n:
Натомість многочлен:
не є симетричним, оскільки після перестановки x1 і x2 одержується не рівний вихідному многочлен, x2 − x1.
Для трьох змінних прикладом несиметричного многочлена є:
Особливі види симетричних многочленів
Степеневі симетричні многочлени
Степеневими симетричними многочленами називаються суми k — их степенів змінних, тобто:
Елементарні симетричні многочлени
Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:
і так далі до
Для довільного многочлена можна записати:
Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що
Тотожності Ньютона
Між степеневими і елементарними функціями існує залежність:
Для перших кільком многочленів рівності мають вигляд:
Звідси також можна навпаки визначити степеневі симетричні функції через елементарні:
Теорема Вієта
Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:
тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:
Фундаментальна теорема про симетричні многочлени
Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних з коефіцієнтами з R.
Доведення
Для симетричного многочлена визначимо T = Th як множину усіх наборів чисел для яких коефіцієнт в не рівний нулю. Визначимо розмір h, як де є елементом T для якого є найбільшим з можливих, — найбільше з можливих при даному і т. д. Оскільки є симетричним, то якщо і тільки якщо кожна перестановка належить T. Звідси випливає, що . З використанням введеного поняття розміру всі елементи можна впорядкувати: якщо h1 має розмір і h2 має розмір тоді h1 > h2 якщо для деякого виконується і Елементи що мають розмір (0, 0, …, 0) є константами, тобто елементами R.
Припустимо що є розміром деякого симетричного многочлена . Для невід'ємних цілих чисел d1, …, dn, розмір є рівним . Взявши одержуємо, що розмір h рівний . Коефіцієнт при в h рівний одиниці. Звідси випливає, що існує елемент такий, що g − ah має менший розмір ніж g.
Як наслідок для довільного симетричного існують і такі, що має розмір (0, 0, …, 0). Це завершує доведення теореми.
Див. також
Джерела
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
- Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — .(рос.)
- Smith, Larry (1995), Polynomial invariants of finite groups, Research notes in mathematics, т. 6, AK Peters, ISBN
- M. Filaseta
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Simetrichnij mnogochlen mnogochlen vid n zminnih F x1 x2 xn displaystyle F x 1 x 2 ldots x n sho ne zminyuyetsya pri vsih perestanovkah zminnih Tobto mnogochlen F R x1 xn displaystyle F in R x 1 dots x n vid n zminnih nad komutativnim kilcem R ye simetrichnim yaksho dlya dovilnoyi perestanovki s x1x2x3 xnxs 1 xs 2 xs 3 xs n displaystyle sigma begin pmatrix x 1 amp x 2 amp x 3 amp ldots amp x n x sigma 1 amp x sigma 2 amp x sigma 3 amp ldots amp x sigma n end pmatrix spravedliva rivnist F x1 xn F xs 1 xs n displaystyle F x 1 dots x n F x sigma 1 dots x sigma n Simetrichni mnogochleni utvoryuyut pidalgebru R algebri R x1 xn displaystyle R x 1 dots x n mnogochleniv vid n zminnih nad kilcem R PrikladiDlya dvoh zminnih x1 x2 prikladami simetrichnih mnogochleniv ye x13 x23 7 displaystyle x 1 3 x 2 3 7 4x12x22 x13x2 x1x23 x1 x2 4 displaystyle 4x 1 2 x 2 2 x 1 3 x 2 x 1 x 2 3 x 1 x 2 4 dlya troh zminnih x1 x2 x3 nastupnij mnogochlen tezh bude simetrichnim x1x2x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3 displaystyle x 1 x 2 x 3 2x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 Nastupnij mnogochlen bude simetrichnij dlya dovilnogo n 1 i lt j n Xi Xj 2 displaystyle prod 1 leq i lt j leq n X i X j 2 Natomist mnogochlen x1 x2 displaystyle x 1 x 2 ne ye simetrichnim oskilki pislya perestanovki x1 i x2 oderzhuyetsya ne rivnij vihidnomu mnogochlen x2 x1 Dlya troh zminnih prikladom nesimetrichnogo mnogochlena ye x14x22x3 x1x24x32 x12x2x34 displaystyle x 1 4 x 2 2 x 3 x 1 x 2 4 x 3 2 x 1 2 x 2 x 3 4 Osoblivi vidi simetrichnih mnogochlenivStepenevi simetrichni mnogochleni Stepenevimi simetrichnimi mnogochlenami nazivayutsya sumi k ih stepeniv zminnih tobto pk x1 xn x1k x2k xnk displaystyle p k x 1 ldots x n x 1 k x 2 k cdots x n k Elementarni simetrichni mnogochleni Dokladnishe Elementarnij simetrichnij mnogochlen Elementarni simetrichni mnogochleni mayut viglyad e0 x1 x2 xn 1 e1 x1 x2 xn 1 j nxj e2 x1 x2 xn 1 j lt k nxjxk e3 x1 x2 xn 1 j lt k lt l nxjxkxl displaystyle begin aligned e 0 x 1 x 2 dots x n amp 1 e 1 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j leq n x j e 2 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j lt k leq n x j x k e 3 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j lt k lt l leq n x j x k x l end aligned i tak dali do en x1 x2 xn x1x2 xn displaystyle e n x 1 x 2 dots x n x 1 x 2 cdots x n Dlya dovilnogo mnogochlena mozhna zapisati ek x1 xn 1 j1 lt j2 lt lt jk nxj1 xjk displaystyle e k x 1 ldots x n sum 1 leq j 1 lt j 2 lt cdots lt j k leq n x j 1 cdots x j k Elementarni simetrichni mnogochleni ye algebrayichno nezalezhnimi tobto dlya bud yakogo n gt 0 ne isnuye takogo nenulovogo mnogochlena P vid n zminnih sho P e1 en 0 displaystyle P e 1 ldots e n 0 Totozhnosti Nyutona Dokladnishe Totozhnosti Nyutona Mizh stepenevimi i elementarnimi funkciyami isnuye zalezhnist kek x1 xn i 1k 1 i 1ek i x1 xn pi x1 xn displaystyle ke k x 1 ldots x n sum i 1 k 1 i 1 e k i x 1 ldots x n p i x 1 ldots x n Dlya pershih kilkom mnogochleniv rivnosti mayut viglyad e1 p1 2e2 e1p1 p2 3e3 e2p1 e1p2 p3 4e4 e3p1 e2p2 e1p3 p4 displaystyle begin aligned e 1 amp p 1 2e 2 amp e 1 p 1 p 2 3e 3 amp e 2 p 1 e 1 p 2 p 3 4e 4 amp e 3 p 1 e 2 p 2 e 1 p 3 p 4 end aligned Zvidsi takozh mozhna navpaki viznachiti stepenevi simetrichni funkciyi cherez elementarni p1 e1 p2 e1p1 2e2 p3 e1p2 e2p1 3e3 p4 e1p3 e2p2 e3p1 4e4 displaystyle begin aligned p 1 amp e 1 p 2 amp e 1 p 1 2e 2 p 3 amp e 1 p 2 e 2 p 1 3e 3 p 4 amp e 1 p 3 e 2 p 2 e 3 p 1 4e 4 amp vdots end aligned Teorema ViyetaDokladnishe Teorema Viyeta Odniyeyu z prichin shirokogo zastosuvannya elementarnih simetrichnih mnogochleniv ye teorema Viyeta Nehaj P mnogochlen iz koeficiyentami z deyakogo polya starshim koeficiyentom rivnim odinici U svoyemu algebrayichnomu zamikanni cej mnogochlen maye kilkist koreniv rivnu jogo stepenyu z urahuvannyam kratnosti koreniv i mozhna zapisati P tn an 1tn 1 a2t2 a1t a0 t x1 t x2 t xn displaystyle P t n a n 1 t n 1 cdots a 2 t 2 a 1 t a 0 t x 1 t x 2 cdots t x n todi koeficiyenti P virazhayutsya cherez elementarni simetrichni mnogochleni vid jogo koreniv A same an 1 x1 x2 xnan 2 x1x2 x1x3 x2x3 xn 1xn 1 i lt j nxixj an d 1 d 1 i1 lt i2 lt lt id nxi1xi2 xid a0 1 nx1x2 xn displaystyle begin aligned a n 1 amp x 1 x 2 cdots x n a n 2 amp x 1 x 2 x 1 x 3 cdots x 2 x 3 cdots x n 1 x n textstyle sum 1 leq i lt j leq n x i x j amp vdots a n d amp textstyle 1 d sum 1 leq i 1 lt i 2 lt cdots lt i d leq n x i 1 x i 2 cdots x i d amp vdots a 0 amp 1 n x 1 x 2 cdots x n end aligned Fundamentalna teorema pro simetrichni mnogochleniNehaj R komutativne kilce z odiniceyu Todi dovilnij simetrichnij mnogochlen vid n zminnih z koeficiyentami z R mozhe buti zapisanij yak mnogochlen vid zminnih e1 en displaystyle e 1 ldots e n z koeficiyentami z R Dovedennya Dlya simetrichnogo mnogochlena h x1 xn R x1 xn displaystyle h x 1 ldots x n in R x 1 dots x n viznachimo T Th yak mnozhinu usih naboriv chisel l1 ln displaystyle l 1 ldots l n dlya yakih koeficiyent x1l1 xnln displaystyle x 1 l 1 dots x n l n v h x1 xn displaystyle h x 1 ldots x n ne rivnij nulyu Viznachimo rozmir h yak k1 kn displaystyle k 1 ldots k n de k1 kn displaystyle k 1 ldots k n ye elementom T dlya yakogo k1 displaystyle k 1 ye najbilshim z mozhlivih k2 displaystyle k 2 najbilshe z mozhlivih pri danomu k1 displaystyle k 1 i t d Oskilki h x1 xn displaystyle h x 1 ldots x n ye simetrichnim to l1 ln T displaystyle l 1 ldots l n in T yaksho i tilki yaksho kozhna perestanovka l1 ln displaystyle l 1 ldots l n nalezhit T Zvidsi viplivaye sho k1 k2 kn displaystyle k 1 geq k 2 geq ldots geq k n Z vikoristannyam vvedenogo ponyattya rozmiru vsi elementi R x1 xn displaystyle R x 1 dots x n mozhna vporyadkuvati yaksho h1 maye rozmir k1 kn displaystyle k 1 ldots k n i h2 maye rozmir k1 kn displaystyle k 1 ldots k n todi h1 gt h2 yaksho dlya deyakogo i 1 n 1 displaystyle i in 1 ldots n 1 vikonuyetsya k1 k1 ki ki displaystyle k 1 k 1 ldots k i k i i ki 1 gt ki 1 displaystyle k i 1 gt k i 1 Elementi R x1 xn displaystyle R x 1 dots x n sho mayut rozmir 0 0 0 ye konstantami tobto elementami R Pripustimo sho k1 kn displaystyle k 1 ldots k n ye rozmirom deyakogo simetrichnogo mnogochlena g R x1 xn displaystyle g in R x 1 dots x n Dlya nevid yemnih cilih chisel d1 dn rozmir h e1d1e2d2 endn displaystyle h e 1 d 1 e 2 d 2 dots e n d n ye rivnim d1 d2 dn d2 dn dn 1 dn dn displaystyle d 1 d 2 dots d n d 2 dots d n ldots d n 1 d n d n Vzyavshi d1 k1 k2 d2 k2 k3 dn 1 kn 1 kn dn kn displaystyle d 1 k 1 k 2 d 2 k 2 k 3 ldots d n 1 k n 1 k n d n k n oderzhuyemo sho rozmir h rivnij k1 kn displaystyle k 1 ldots k n Koeficiyent pri x1k1 xnkn displaystyle x 1 k 1 dots x n k n v h rivnij odinici Zvidsi viplivaye sho isnuye element a R displaystyle a in R takij sho g ah maye menshij rozmir nizh g Yak naslidok dlya dovilnogo simetrichnogo f R x1 xn displaystyle f in R x 1 dots x n isnuyut a1 am R displaystyle a 1 ldots a m in R i h1 hm R x1 xn displaystyle h 1 ldots h m in R x 1 dots x n taki sho f a1h1 amhm displaystyle f a 1 h 1 dots a m h m maye rozmir 0 0 0 Ce zavershuye dovedennya teoremi Div takozhSimetrichna funkciyaDzherelaKurosh A G Lekcii po obshej algebre 2 izd M Nauka 1973 400 s ros Mnogochleny 2 e Moskva MCNMO 2001 336 s ISBN 5 94057 077 1 ros Smith Larry 1995 Polynomial invariants of finite groups Research notes in mathematics t 6 AK Peters ISBN 9781568810539 M Filaseta