Алгебраїчне замикання поля

Алгебричне розширення — розширення поля ${\displaystyle \ L/K}$, кожен елемент ${\displaystyle \ \alpha }$ якого є алгебричним над ${\displaystyle \ K}$, тобто існує многочлен ${\displaystyle \ f(x)}$ з коефіцієнтами з ${\displaystyle \ K}$ для якого ${\displaystyle \ \alpha }$ є коренем.

Розширення, що не є алгебричними називаються трансцендентними. Елемент такого розширення, що не є коренем деякого многочлена теж називається трансцендентним.

Властивості

• Всі скінченні розширення алгебричні.

Для всіх трансцендентних елементів ${\displaystyle \ \alpha ,}$ елементи ${\displaystyle \ 1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }$ є лінійно незалежними. Отже при існуванні хоча б одного трансцендентного елементу, розширення не може бути скінченним.

• Для вежі полів ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq F}$, розширення ${\displaystyle F/K}$ — алгебричне, тоді й лише тоді коли ${\displaystyle F/L}$ та ${\displaystyle L/K}$ є алгебричними.

Справді, якщо α — який-небудь елемент F, то він за визначенням є коренем деякого многочлена f(x) з коефіцієнтами a₁…a_n з L. Оскільки всі ці a_i алгебричні над K, то розширення K(a₁,…a_n) є скінченним над K, а оскільки α алгебричне над L=K(a₁,…a_n) , то маємо з властивості скінченних розширень, що L(α) скінченне над K, а елемент α алгебричний над K. Зворотне твердження очевидне.

• Якщо α і β алгебричні над K, то з попереднього випливає, що K(α,β)=K(α)(β) алгебричне над K, а значить, α+β,α-β,αβ,α/β теж алгебричні. Звідси випливає, що якщо K ⊆ L, то K^* ⊆ L, — алгебричні елементи над К утворюють поле. Якщо L є алгебраїчно замкнутим, то і K^* алгебрично замкнуте. Якщо узяти за K поле раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, а за L алгебрично замкнуте поле комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, то одержимо поле алгебраїчних чисел A.

• Якщо L/ K алгебричне розширення, то для будь-якого розширення F / K (якщо F і L містяться в деякому полі) композит полів LF є алгебричним розширенням F). Це легко випливає з попереднього.

Приклади

• Розширення ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$, тобто поле дійсних чисел як розширення раціональних чисел є трансцендентним. Дійсно множина алгебричних чисел є зліченною, а потужність множини дійсних чисел — континуум.
• Розширення ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ є алгебричним розширенням.

Див. також

• Степінь трансцендентності

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
• J.M. Howie, Fields and Galois Theory, London: , 2006, .