Тотожності Ньютона

В математиці тотожності Ньютона, також відомі як формули Ньютона-Жирара, задають співвідношення між двома типами симетричних многочленів , а саме між симетричним многочленом суми степеневого ряду та елементарним симетриченим многочленом. Для монічного многочлена ${\displaystyle P}$ вони дають можливість знайти суму ${\displaystyle k}$-тих степенів всіх коренів ${\displaystyle P}$ (з урахуванням кратності), виражену через коефіцієнти ${\displaystyle P}$, без фактичного знаходження цих коренів. Перші чотири формули були знайдені у 1629 році Альбертом Жираром. Усі тотожності в загальній формі були близько 1666 року (незалежно) відкриті Ісааком Ньютоном. Вони знаходять застосування в багатьох галузях математики, в тому числі теорії Галуа, теорії інваріантів, теорії груп, комбінаторики, а також в інших науках, в тому числі в загальній теорії відносності.

Albert Girard. Invention Nouvelle en l’Algèbre, Amsterdam, 1629, 70 p.

Математичні твердження

Формулювання з допомогою симетричних поліномів

Нехай ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ будуть змінними, для ${\displaystyle k\geq 1}$ позначимо суму ${\displaystyle k}$-тих степенів цього ряду як ${\displaystyle p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}$:

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k},}$

і для ${\displaystyle k\geq 0}$ позначимо ${\displaystyle e_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ елементарний симетричний многочлен, який являє собою суму всіх можливих різних добутків ${\displaystyle k}$ різних змінних, зокрема

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\\dots \\e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\\e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\quad {\text{for}}\ k>n.\\\end{aligned}}}$

Тоді тотожності Ньютона можна записати так

${\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

для всіх ${\displaystyle k\geq 1}$. Для кількох перших значень ${\displaystyle k}$ отримаємо:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\\\end{aligned}}}$

Форма і правильність цих рівнянь не залежить від кількості змінних (хоча після ${\displaystyle n-}$ї тотожності лівий бік дорівнює нулю), що дозволяє записати їх як тотожності у кільці симетричних многочленів. У цьому кільці маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4},\\\end{aligned}}}$

і т.д.; тут лівий бік ніколи не стає нулем. Ці рівняння дозволяють виразити ${\displaystyle e_{i}}$ через ${\displaystyle p_{k}}$; також можна

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Загалом, ми маємо

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(-1)^{k-1}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum _{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

виконується для всіх ${\displaystyle n\geq 1}$ і ${\displaystyle k\geq 1}$.

Також маємо

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=k-n}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

для всіх ${\displaystyle k>n\geq 1}$.

Застосування до коренів многочлена

Многочлен з коренями ${\displaystyle x_{i}}$ можна записати як

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}e_{n-k}x^{k},}$

де коефіцієнти ${\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ це симетричні многочлени, означені вище.

Див. також

• Многочлен Ньютона

Примітки

1. Tignol, Jean-Pierre (2004). Galois' theory of algebraic equations (вид. Reprinted). River Edge, NJ: World Scientific. с. 37–38. ISBN .
2. Albert Girard (1595–1632) had shown that the sum of the squares of the solutions, the sum of their cubes, and the sum of their fourth powers, can be calculated from the coefficients [33, p. F2 r^o]
   [33] Albert Girard. Invention Nouvelle en l’Algèbre, 1629; réimpression par ^[en], Leiden, Imprimé chez Muré frères, 1884, 72 p. // Reprint, Nobel Press, 80 p. // Reprint, ^[nl], v. 11, p. [85]-152.
3. Around 1666, general formulas for the sum of any power of the solutions were found by Isaac Newton (1642–1727) [56, p. 519], who was probably unaware of Girard’s work: see footnote (12) in [56, p. 518]
   [56] The Mathematical Papers of Isaac Newton, vol. I: 1664–1666 / edited by D. T. Whiteside / Cambridge Univ. Press, 1967.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Newton-Girard Formulas(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• A Matrix Proof of Newton's Identities
• Application on the number of real roots